四川省成都市树德中学2025-2026学年高二下学期数学周考1
2026-08-26
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摘要：
**基本信息**
聚焦高二数学核心内容，通过导数、数列、解析几何等知识的综合考查，培养逻辑推理与数学建模能力，适配周测分层检测需求。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|单选题|8/40|导数运算、双曲线渐近线、数列递推|基础巩固，如第3题导函数求特定值，考查概念理解|
|多选题|3/18|抛物线几何性质、等差数列、数学文化|文化传承，如第11题结合古希腊三角形数与正方形数|
|填空题|2/10|曲线切线斜率、数列求和|运算能力，如第13题累乘法求通项|
|解答题|2/32|数列递推与求和、椭圆综合应用|能力提升，如15题结合圆的弦长与斜率定值证明|
|附加题|1/5|数列单调性与取整函数|创新应用，如第16题通过递推分析数列性质|
内容正文：
树德中学外国语校区高2024级高二下期数学周考（一）
（考试时间：70分钟 满分：100分＋5分）
班级： 姓名：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知双曲线的焦距长为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
4.数列满足，则等于( )
A. B. C. D.
5.双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
7.设等差数列，的前项和分别为，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知圆和点，若过点的条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。
9.抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设中点为E则下列说法正确的有( )
A. 若轴，则 B. 若，，则为定值
C. D. 以线段为直径的圆与轴相切
10.已知等差数列的前项和为，若＜＜，则( )
A. 数列是递减数列 B. 当时，最大
C. 使得＜成立的最小自然数 D. 数列中的最小项为
11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：，，，，……称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：，，，，……称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则数列的前项和为
C. 若=，则数列为公比为2的等比数列
D.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
13.数列满足，则 ．
四、解答题：本题共2小题，共32分。
14.(15分)数列满足，．
求数列的通项公式；
设，设，数列的前项和为，求的最小值．
15.(17分)已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，离心率为，点在椭圆上，直线点在点的右上方被圆截得的线段的长为，且．
求椭圆的方程；
过点的直线交椭圆于点，异于，，设直线，的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值；
设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值．
五、附加题：本题共1小题，共5分。
16.已知数列满足，，数列的前项和为，设，表示不大于的最大整数．则 ．
参考答案答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
解：过圆：内点 作该圆的条弦，其中最大弦长为直径，
最小弦长，所以，
所以当，时，公比取得最大值，此时，即，
因为过点的条弦的长度构成一个递增的等比数列，所以，
所以该数列公比的取值范围是
9. 10. 11. 12.
13.
解：由可得：，当时，，
，，，，所以上述式子相乘可得：，所以，
令，，所以满足，所以，设数列的前项和为，
，
，
减可得：，
，
所以，所以，
所以．
14.解：证明：数列满足，，，
则，所以，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
由得，，则，
所以
，
，所以数列单调递增，则的最小值为．
15.解：由已知有，又由，可得，．
设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知得，解得，
联立消去整理得，解得或．又点在点的右上方，
所以的坐标为，所以，解得，所以椭圆的方程为．
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，
联立，消去整理得，，，
．所以
．
由得直线的方程为，直线的方程为，
联立两条直线方程，解得，所以又，，，，
所以
，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
16.
解：，，则，
数列单调递增，又由可得，则，
，则，
，，
又，，，
，，，则，即，
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