四川省成都市树德中学2025-2026学年高二下学期数学期中模拟卷1

**基本信息** 本试卷以天坛圜丘坛、斐波那契数列等文化素材及泰勒展开式等科技情境为载体，通过数列、导数、立体几何等知识的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|等差数列、导数几何意义、双曲线离心率|第5题以天坛圜丘坛为背景考查等差数列求和，体现文化传承| |多选题|3/18|等差数列性质、函数新定义（二倍阶值点）|第10题定义“二倍阶值点”，考查函数与方程思想，呼应高考创新题型| |填空题|3/15|泰勒展开式、不等式恒成立|第13题结合泰勒公式考查数学史与近似计算，渗透科技素养| |解答题|5/77|数列递推与求和、立体几何证明、概率传球模型|第18题设计传球问题，构建递推关系求通项，培养数学建模能力|

202学年下期高二数学周末练习试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。） 1. 在等差数列中，，，则（     ） A.15 B.5 C.10 D.0 2. 已知数列满足，若，则（     ） A. B.2 C..1 3. 已知函数在上可导，若，则（     ） A.9 B.12 C.6 D.3 4. 已知是双曲线的一个焦点，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（     ） A. B.2 C. D.3 5. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，每环依次增加相同块数扇面形石板，已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（     ） A.3339块 B.3402块 C.3474块 D.3699块 6. 设函数是上可导的偶函数，且，当时，满足，则的解集为（     ） A. B. C. D. 7. 若函数在上恰有2个极值点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三项起，每个数等于他前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（     ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9.设等差数列的公差为，前项和为，若，，，则下列结论正确的是（     ） A.数列是递减数列　　　　　 B. C.　　　　　　　 D.，，，中最大的值是 10.若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（     ） A. 　　　　　　　 B. C. 　　　　　　　　 D. 11.点是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的有（     ） A.当在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化 B.当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C.若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D.使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.设等差数列，的前项和分别为，，若对任意都有，则的值为            ． 13.英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数和泰勒展开式而闻名于世．计算器在计算，，，等函数的函数值时，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有：．其中是的导数，是的导数，是的导数，阶乘，．取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为            ，精确到0.01的近似值为            ． 14.设函数，若恒成立，则的最小值为            ． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（13分）在数列中，，点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16.（15分）如图，在直三棱柱中，，，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17.（15分）已知的离心率为，椭圆上的点到两焦点距离之和为4， （1）求椭圆方程； （2）设为原点，为椭圆上一点，直线与直线，交于，.与的面积为，，比较与的大小. 18（17分）有甲乙在内的4个人传球，每人接球后传给别人为一次传球.现由甲先发球，经过次传球后，球回到甲手中的不同传球方法记为. （1）求，； （2）经过次传球后，球没有回到甲手中的不同传球方法数记为，请用表示； （3）写出和满足的关系式，并求数列的通项公式. 19.（17分）设函数. （1）讨论函数的极值点； （2）证明：对任意的，，恒成立； （3）令，若的前n项和为，证明：. 202学年下期高二数学周末练习试卷教师版 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。） 1. 在等差数列中，，，则（     ） A.15 B.5 C.10 D.0 【解】：，，，故选D. 2. 已知数列满足，若，则（     ） A. B.2 C..1 【解】：由题意，，，，数列是以3为周期的周期数列，，故选C. 3. 已知函数在上可导，若，则（     ） A.9 B.12 C.6 D.3 【解】：，故选B. 4. 已知是双曲线的一个焦点，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（     ） A. B.2 C. D.3 【解析】：根据对称性，不妨取，则到渐近线的距离为， ，，故选C. 5. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，每环依次增加相同块数扇面形石板，已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（     ） A.3339块 B.3402块 C.3474块 D.3699块 【解析】：由题意可知，每层扇面形石板的块数成等差数列，设为，则有，，整理得： ，故选B. 6. 设函数是上可导的偶函数，且，当时，满足，则 的解集为（     ） A. B. C. D. 【解析】：构造函数，因为是上的可导偶函数，故也是偶函数 ∵当时，，，故在为增函数即，即又为偶函数，∴不等式等价于，故选D. 7.若函数在上恰有2个极值点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【解析】：，在上恰有2个极值点 在有两个变号零点即两个不等根，即与在有 两个不同交点设，则时，，单调递减， 时，，单调递增，， ，∴当时， 与在有两个不同交点，故选A. 8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三项起，每个数等于他前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（     ） A. B. C. D. 【解析】：由题意，当时，，则，，，， ，当时，， ，， 所以，故选A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.设等差数列的公差为，前项和为，若，，，则下列结论正确的是（     ） A.数列是递减数列 C. D. ，，， 中最大的值是 【解析】：因为 ， ， 解得 ，故C错误；， 数列 单调递减，选项A正确； ，选项B正确；， 且数列 单调递减， 时，， 时，，所以 最大，选项D正确.故选ABD. 10.若函数 的定义域为 ，且存在 ，使得 ，则称 是 的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（     ） A. B. C. D. 【解析】：对于A，，，由 得 ， 解得 ，所以函数 存在“二倍阶值点”，A正确； 对于B，，，由 得 ，因为 ，，解得 ， 所以函数 存在“二倍阶值点”，B正确；对于C，，， 由 得 ，令 ， ，当 时，， 单调递减， 当 时，， 单调递增，所以当 时， 有极小值也是最小值 ，所以 无解，所以函数 不存在“二倍阶值点”，C错误； 对于D，，， 由 得 ， 令 ，，所以 在 上单调递增， 又 ，，根据零点存在性定理可知 在 上存在零点，所以方程 有解，所以函数 存在“二倍阶值点”，D正确；故选：ABD 11.点 是棱长为1的正方体 的表面上一个动点，则下列结论中正确的有（     ） A.当 在平面 上运动时，四棱锥 的体积发生变化 B.当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C.若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D.使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 【解析】： 对于选项A，底面正方形的面积不变，当带你在平面上运动时，到平面的距离不变，故四棱锥的体积不发生改变，选项A错误； 对于选项B，，与所成的角即为与所成角 ，为等边三角形 显然当在端点，时，所成角最小，最小角为， 当在中点时，由三线合一可知，，此时所成角最大，为 故与所成角的取值范围是，选项B正确； 对于选项C，以为坐标原点，建立如图坐标系，则，，，； 因为点在平面内，所以不妨设，则，， 设平面的一个法向量为。 则，取，则 平面，， ，当时等号成立，故选项C正确. 对于选项D，直线与平面所成角为 ①当点在平面内时，当与重合时，直线与平面所成角最大，为其他位置不符合要求； ②当点在平面内时，当点与重合时，直线与平面所成角最大，为，其余位置不符合要求； ③点在平面内，点的轨迹为； ④点在平面内，点的轨迹是； ⑤点在平面内时，作平面，如图所示： ， 又因为，， 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的四分之一圆，其轨迹长度为： 故点的轨迹长度为，选项D错误.故选BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.设等差数列，的前项和分别为，，若对任意都有，则的值为            . 【解析】：等差数列有，同理， .故填： 13.英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数和泰勒展开式而闻名于世.计算器在计算，，，等函数的函数值时，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有：。其中是的导数，是的导数，是的导数，阶乘，.取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为            ，精确到的近似值为            . 【解析】：时， 所以的“泰勒展开式”中第三个非零项为；. 故填：；. 14.设函数，若恒成立，则的最小值为            . 【解析】：令，则，令，则 当时，恒成立，此时不符合恒成立； 当时，令，则，因为恒成立，所以， 故，令，则 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故当时，有最小值，为.故填：. 四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（13分）在数列中，，点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和。 【解析】：点在直线上，即 数列是以为公差的等差数列， ， （1）由（1）知： 两式相减得： 。 16.（15分）如图，在直三棱柱中，，，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点。 （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值。 【解析】： （1）证明：直三棱柱中，平面 又，平面 ， 又，， 又，，平面 平面 又平面， ， 又，故 又，，平面 平面 又平面 平面平面 （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图坐标系，则： ，，，，； ， 设平面的一个法向量为 则，即，取，解得：， 故平面的一个法向量为； 又 设直线与平面所成角的大小为， 则，； 即直线与平面所成角的正弦值为. 17.（15分）已知的离心率为，椭圆上的点到两焦点距离之和为4， （1）求椭圆方程； （2）设为原点，为椭圆上一点，直线与直线，交于，．与的面积为，，比较与的大小． 【解析】 （1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得，， 联立，解得，， 所以 ， ， 故 法二：不妨设 ，，易知，当 时，由对称性可知， 故设 ， 联立 ，解得 ，， 联立 ，解得 ，， 则 ， ， ， 又 ，所以 ， 所以 ， ， 则 ，即 ， 所以 18（17分）有甲乙在内的4个人传球，每人接球后传给别人为一次传球.现由甲先发球，经过 次传 球后，球回到甲手中的不同传球方法记为。 （1）求，； （2）经过次传球后，球没有回到甲手中的不同传球方法数记为，请用表示； （3）写出和满足的关系式，并求数列的通项公式。 【解析】： （1）经过1次传球后，球在除了甲以外的3人乙、丙、丁手中， 经过2次传球后，乙丙丁三人都可能传到甲手中，则 同理。 （2）表示经过次传球后，球回到甲手中的不同传球方法数， 经过次传球后，球回到甲手中，说明第次传球后，球一定不在甲手中 即。 （3）4人传球，经过次传球后的传球方法数一共有种。 经过次传球后，球回到甲手中的不同传球方法记为，球没有在甲手中的方法数为，则 故，两边同时除以得： 且 时，数列是以为公比的等比数列 整理得：。 19.（17分）设函数。 （1）讨论函数的极值点； （2）证明：对任意的，，恒成立； （3）令，若的前项和为，证明：。 【解析】 （1） 的定义域为， 时，，在上单调递增，无极值点。 时，令，则 ，随的变化情况如下表： + 0 − 单调递增 极大值 单调递减 从上表可以看出，有唯一的极大值点，无极小值点 综上：时，无极值点； 时，有唯一极大值点，无极小值点 （2）由（1）知，当时，在处取得极大值， 当时，有，即，当且仅当时取等号， 对任意， （3）由（2）知，， 结论成立. 学科网（北京）股份有限公司 $