第3章 一元二次方程 学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

第3章学情评估 评估内容：一元二次方程 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 进 1.下列方程是一元二次方程的是 A.（x-7)x=x2 B.x3+2x+1=0 C.2x+1+1=0 x D.x2=1 2.方程x2=一2x十8化为一元二次方程的一般形式后，二次项 系数、一次项系数、常数项分别是 A.1,-2,8 B.-1,2,8 C.1,2,-8 D.1,2,8 数 密 3.(中考·武威)用配方法解方程x2一2x=2时，配方后正确 的是 A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6 C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6 如 4.(中考·天津)方程x2十4x十3=0的两个根为 封 A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3 5.关于x的一元二次方程x2一3x十2=x十7的根的情况是 ( 盞 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根 线 6.如果关于x的一元二次方程x2+px十q=0的两根分别为 x1=2,x2=1,那么p,q的值分别是 ( A.-3,2 B.3,-2 北 C.2,-3 D.2,3 7.关于x的一元二次方程(k一1)x2一2x十1=0有两个实数 进 根，则k的非负整数解有 ( 进 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.已知m,,4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， 且m,n是关于x的一元二次方程x2一6x十k十2=0的两 个根，则的值等于 A.7 B.7或6 串串串 C.6或-7 D.6 9.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽 20米的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条 等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少 米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为( ) A.35×20-35x-20x+2x2=600 B.35×20-35x-2×20x=600 C.(35-2x)(20-x)=600 D.(35-x)(20-2x)=600 10.月历中含有丰富的数学知识，如在图①所示的月历中用阴 影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小 慧在2026年某月的月历中也按图①所示方式圈出 9个数（如图②），发现这9个数中最大的数与最小的数乘 积是297，则这9个数中，中间的数e是 a 20 2526 2728293031 图① 图② A.17 B.18 C.19 D.20 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.关于x的方程x2一4x+m=0有一个根为一1，则另一个 根为 12.(永州期末)已知x=一1是一元二次方程x2十2mx+m=0 的一个实数根，则m的值为 13.当m=时，方程(m-2)xm-5m+8十(m-3)x十5=0 是关于x的一元二次方程. 14.若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,则x2+y2= 15.已知a,b为实数，现规定一种新运算：a*b=a2一b,那么当 (2x十9)(3一x)=0时，实数x= 16.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感， 每轮传染中平均每人传染了个人。 一探究在线·九年级数学（上）·XJ一 17.某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理 定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是 50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元， 每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过65元.要使 每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价 应为元. 18.已知关于x的一元二次方程：x2一2x一a=0.有下列结论： ①当a>一1时，方程有两个不相等的实根； ②当a>0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a>一1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a>3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3. 以上4个结论中，正确的有个. 三、解答题（共66分） 19.(6分)用适当的方法解下列方程： (1)3x2-5x+2=0; (2)3x(x-√2)=√2-x. 20.(6分)已知m是方程x-x-1=0的一个根，求(m子 品》的位 07 21.(8分)已知关于x的方程x2十kx一2=0的一个根与方程 }3的根相同。 (1)求k的值； (2)求方程x2+kx一2=0的另一个根. 22.(8分)已知x1,x2是一元二次方程x2一2x十k十2=0的两 个实数根， (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式】十】=k一2成立？如果 C1 2 存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由. 23.(9分)有n个方程：x2+2x一8=0；x2+2×2x一8×22=0； …;x2+2n.x-8n2=0. 小静同学解第1个方程x2+2x一8=0的步骤为： “①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9; ④x+1=士3；⑤x=1±3；⑥x1=4,x2=-2.” (1)小静的解法是从第几步开始出现错误的？请写出正确 的解法； (2)用配方法解第n个方程x2十2mx一8m=0.(用含有n的式 08 子表示方程的根) 24.(9分)如图，AO=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB, 蚂蚁甲由A点以2c/s的速度向B点爬行，同时蚂蚁乙 由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的 时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm? AO B C 25.(10分)定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根x,x2, 且满足引十x2=x·x2,则称此类方程为“和积方程”. 例如：2-号x+号-0，即(x-3)0x-多》=0， 解得-32号， 13+多1=3×， ∴2-》+号=0是“和积方程 (1)方程x2-5x十6=0 （填“是”或“不是”)“和积 方程”； 一探究在线·九年级数学（上）·X一 (2)关于x的方程x2一(n十3)x十3n=0是“和积方程”，则 n= (3)若关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x十m2+2m= 0是“和积方程”，求m的值. 26.(10分)（中考·宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿 色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规 模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨，其中 4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨. (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸 产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 受%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求m的值： (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月份每吨 再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增 长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.PA=2PC,∴.PA=2BE .|2m+11=|m2+2m, .∠APD=∠BED=90°，∠ADP=∠BDE, ①当2m+1=m2+2m时，解得m=1或m=-1, ∴.△PAD∽△EBD. .AD=PA=2.:.AD=2BD. :m≤4m=1舍去，m=-1符合； 'BD BE ②当2m+1=-(m2+2m)时，解得m=-2士√3， 第3章学情评估 1.D2.C3.C4.D5.B6.A7.C8.B9.C :-2+5<,-2-5<,均符合条件， 10.C11.512.113.314.615.-2或-1216.10 综上，m的值为-1或-2十√3或-2一√5. 17.5518.3 2 26.(1)设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量 19.(1)x=1,x=3.(2)=2,x=-3 为(2x100)吨， 20.(2=11 m+1 m ÷m2m 由题意，得x+(2x一100)=800，解得x=300, .2x-100=500. m2+2m+1 答：4月份再生纸的产量为500吨， =2m-m-1 .(m+1)2 m(m+1) m(m-1) (2)由题意，得50(1+m%)·100(1+受%）=66000， m-1 (m+1)2 解得m%=20%或m%=-3.2(不合题意，舍去)， m(m+1)m(m-1) ∴.m=20,.m的值为20. m+1 (3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y, 72 5月份再生纸的产量为a吨， ,m是方程x2一x一1=0的一个根，.m2一m一1=0， 1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)X1200(1+y)·a, 州0+1原式-1 .1200(1+y)2=1500. 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元. 21.(1)解方程x十1 =3,得x=2 第4章学情评估 x-1 1.D2.B3.C4.D5.A6.D7.A8.C9.B 经检验，x=2是+-3的解。 10.B11.312.y=-(x+2)2+713.<14.13 x-1 15.x=1或x=316.y=3(x-2)2+117.121 将x=2代人方程x2十kx一2=0，得4十2k一2=0， 18.平行四边形一1 解得k=一1. (2)将=-1代入方程x2+kx-2=0,得x2-x-2=0, 19.()二次函数y=一号(z+1)”+3的图象的顶点坐标为 解这个方程，得x1=2,x2=一1. (一1,3)，把点（一1,3）先向右平移2个单位长度，再向 .方程的另一个根为一1. 下平移4个单位长度得到点的坐标为(1，一1)， 22.(1):一元二次方程x2一2x十k十2=0有两个实数根， .△=(-2)2-4×1X(k十2)≥0，解得≤-1. “原二次函数的表达式为y=-2(x-1)2-1. (2)存在.理由如下： :,x是一元二次方程x2一2x十k十2=0的两个实数根， ∴a=-2h=1,k=-1. x十x2=2,x1x2=k+2. :1+1=k-2,…西+= 2 (2)由(1)可知，二次函数y=a(x一h)2+k,即y=一2（x x1 x2 西2gb+2=k-2. -1)2-1, ∴.2-6=0，解得1=一√6,2=√6， ,.二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1,顶点 经检验，k1=一√6，k2=√6均为上述方程的解。 坐标为(1，一1). 又≤一1，∴.k=一√6 20.(1)下直线x=1 (2)把(-1,0)，(0,3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c,得 “存在实数，使得等式十1=-2成立，k的值为一6. 抛物线的表达式为y=一x2十2x十3. 23.(1)小静的解法是从第⑤步开始出现错误的.正确解法如下： 当x=一2时，m= -(-2)2-2×2+3=-4-4+3=-5: x2+2x-8=0,.x2+2x=8,.x2+2x+1=8+1, 当x=1时，n=-12+2×1十3=-1+2+3=4. 即(x十1)2=9，则x十1=±3， ∴.|m-n=-5-4|=9. ∴.x=-1±3，x1=2,x2= -4. 21.(1)证明：.b-4ac=[2(m-1)]2一4X(一1)×(m+1) (2)x2+2nx-8n2=0,∴.x2+2nx=8n2, =(2m一1)2十7>0，∴.抛物线与x轴总有两个不同的交点. .x2+2nx+n2=8n2+n2,.(x十n)2=9n2 (2)设A(x1,0),B(x2,0),则x1>0,x2<0, .x十n=士3n,'.x1=2n,x2=一4n. ,.x1x2=-(m十1)<0..m>-1. 24.①当蚂蚁甲在AO段时，设t(0≤t25)s后，两只蚂蚁与 22.(1)由题意，得y=50-2(x-25)=-2x+100(x≥25). (2)设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天 0点组成的三角形的面积是450cm2,根据题意，得号(50 获得的利润为w元，由题意，得w=(100-2x)(x-20) -2t)·3t=450. =-2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450, 整理，得2一25t+150=0,解得=10，t2=15. ,一2<0，.当x=35时，w有最大值，最大值为450. ②当蚂蚁甲在OB段时，设x(x>25)s后，两只蚂蚁与O ∴.柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获 得的利润最大，最大利润为450元. 点组成的三角形的面积为450cm,依题意，得7×(2x 23.(1)根据题意，得AP=2tcm,BQ=4tcm, 则BP=(12-2t)cm, 一50)X3x=450,解得x1=30,x2=-5(舍去)，即这时 蚂蚁爬了30s. .S= 2BP·BQ-=2(12-2)·4t=-4+240<K6). 答：分别在10s,15s,30s时，两只蚂蚁与O点组成的三 角形的面积为450cm2. (2)当S=20时，-4t+24t=20. 解得t1=1,t2=5.∴.t的值为1或5. 25.(1)不是(2)号或- (3)S=-4t+24t=-4(t-3)2+36, (3)方程有两个实数根 ∴.当t=3时，面积S最大，最大值为36cm2. 24.(1)由题意，得缆索L1所在抛物线的顶点P的坐标为 ,'.△=(2m+1)2-4(m2十2m)≥0， 整理，得4m2+4m+1-4m2-8m≥0，即-4m+1≥0， (50,2),点A的坐标为(0,17)， 设缆索L所在抛物线的函数表达式为y=a(x一50)2+2， 解得m≤4， 把(0,17)代入，得17=a(0-50)2+2,解得a=50: 由根与系数的关系，得x1十x2=一(2m十1)，x1·x2= 3 m2+2m, 缆索L所在抛物线的函数表达式为)y一00(x-50》+2, ·方程是“和积方程”， (2).缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于 则x十x2|=x1·x2|, y轴对称， 即|-(2m+1)|=|m2+2m, 24 一探究在线·九年 :缆素☑所在抛物线的函数表达式为y一忌x十50+2 22.PA∥QN, ∴.∠PNQ=B=30°，∠PMQ=a=45°， “EF=2.6,把y=2.6代人，得2.6=00(x+50)2+2, 3 ..在Rt△PMQ中，QM= 300 tan∠MQ tand45 =300(米)， 解得x1=-40,x2=-60..∴.FO=40m或FO=60m. PQ tan∠NQ tans30≈300W3(米)， 300 .FO<OD,.FO的长为40m. 在Rt△PQN中，QN 25.(1)①-31②③如图. ..MN=QN-QM=300W3-300≈219（米）. 答：这条河的宽度MN约为219米。 23.(1)设通道的宽度为xm,依题意，得(50一2x)(40-2x) =1200,即x2-45x+200=0, 解得x1=5,x2=40(舍去). 3-2-10123456x 答：通道的宽度为5m. 2 (2)设每次降价的百分率为y,依题意，得80(1一y)2=51.2, 解得y1=0.2=20%,y2=1.8(舍去). 答：每次降价的百分率为20%. (2)函数的图象关于y轴对称（答案不唯一） (3)士2或0(4)一4<k<一3 24.(1)y=-号2+号x+1 26.(1)把(-1,0)和(0，-3)代入，得 1 (2>设点C(m,-号m+号m+1),L为鲷架ECD的长度， 2一b十c一0，程得b二一， c=-3, c=-3. 根据题意，得L=CE十CD=m-弓m十号n十1 小二次函数的表达式为y合产- 2x-3. m2+ 1 m-9121101 +号m+1=-号(m-号)+g. (2②)令y=0,则0=2-号x-3,解得=-1，=6， 当m=2时，= 点B的坐标为(6,0). .BC=√OB2+OC=√62+32=3√5. 所以该农户需要准备米钢材。 设直线BC的表达式为y=mx十n,将(0，一3)和(6,0)代 25.(1)y=-x2-2x+3. 入，得 (2)当y=0时，-x2-2x十3=0，即x2+2x-3=0, 1 解得x=一3或x=1(舍去)， (6+30,解得m= 故A(-3,0). (n=-3. 当x=0时，y=3,故B(0,3). ,直线BC的表达式为y= 1 x-3. 设直线AB的表达式为y=kx十b, 将点A(-3,0)与点B(0,3)代入，得b=3,k=1, 过点P作PD⊥x轴交BC于点D, .直线AB的表达式为y=x+3. 设底P的坐标为(2，合r- x-3), 5 向上平移m个单位长度后，直线表达式为y=x十3十m. 与抛物线y=一x2-2x十3联立，得-x2-2x十3=x十3 1 则点D的坐标为(x,2x一3)小 十m, 整理，得x2十3x+m=0, -3-(-8x PD=1 当抛物线与直线有交点时，△=32一4×1×m=9一4m≥0， Γ2x-3）= 2 -x2十3x. 解得m≤是又：m>0, ∴Sm=PD0B=×6(-2+3)= 3(x 9 m的取值范围为0<m≤4 3)2+27 2 (3)存在点P,其横坐标为-2或一3+或3,7 2 2 5m最大为贸PN-2整-27-95 BC 3√55 26.1E明：A0=DF.DB提-8. 期末学情评估 '∠ADF=∠BDA,∴.△ADFO△BDA, 1.D2.D3.A4.D5.C6.A7.B8.A9.B .∠ABD=∠FAD, 0.C1.1412.y=3x2-213.3 △ABC,△DCE都是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°， 14.∠B=∠C(答案不唯一) ∴.∠ACD=60°，.∠ACD=∠BAF, 15.316.5巨1.318.-2<a<0或>2 .△ADC≌△BFA(ASA),.AD=BF (2)①过点D作DG⊥BE于点G. 19.原式=1-2+2×号-1=1-2+1-1=-1. .∠BAD=90°，∠BAC=60°， .∠DAC=30°， 20.(1)x1=0,x2=2. ∠ACD=60°，.∠ADC=90°， DC=2AC,∴CE=2BC, 2 21.(1)证明：，AB∥CD,AB=40m,BD=60m,CD=90m, BE=6,.CE=2,BC=4, ∠A8D-∠BDc部铝台B28号 ∴.CG=EG=1,BG=5,DG=√3， 铝腮景， ∴an∠DBE-Be-S ②在Rt△BDG中，：∠BGD=90°，DG=√3，BG=5, .△ABD∽△BDC. .BD=√DG+BG=√52+(W3)2=2√7， (2)由(I),知△ABDn△BDC,且相似比为号， '∠ABC=∠DCE=60°，'.CD∥AB: ∴.△CDFC∽△ABF, SAABD=800 m, 骠-器-器-言D2 3 ÷5Aac=是SMD=180m2. 级数学（上）·X灯一