专题06 一元二次方程解法的综合题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

专题06 一元二次方程解法的综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用适当的方法解一元二次方程 题型二、换元法解一元二次方程 题型三、解分式方程(化为一元二次方程) 题型四、十字相乘法解一元二次方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程解法综合题型是初中数学核心重难点，所有题型均围绕方法选择、根与系数关系、根的几何与实际意义、多知识点综合四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是含参方程必须讨论二次项系数是否为0，二是涉及实数根必须验证判别式Δ≥0，所有结果最终均需结合题意与实际意义合规检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用适当的方法解一元二次方程 典例1 解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， 即或， 解得，； （2）解： ， 移项得， 整理得， 因式分解得， 即或， 解得，； （3）解：， 因式分解得， 即或， 解得，； （4）解：， ，，， ∵， ∴， ∴，． 题型模版 一、题型特征 题干直接给出一个一元二次方程，要求求解，但未指定具体方法。核心特征是"先观察方程结构，再选择最简便的解法"，解题关键是按"直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法"的优先级顺序选择方法，避免盲目套公式浪费时间。 二、解题方法 判断方程类型：先将方程化为一般形式 （ ），再观察结构选择方法。 方法选择顺序： 直接开平方法：适用于形如 （ ）或 （ 、 异号）的方程，直接两边开平方求解。 因式分解法：适用于方程一边为0、另一边容易分解为两个一次因式乘积的情况。优先尝试提公因式、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。这是最快的方法，能分解就优先用。 公式法：适用于所有一元二次方程，是"万能方法"。当方程不易分解时，直接套用求根公式 。使用前先计算判别式 ： 有两个不等实根， 有两个相等实根， 无实数根。 配方法：一般不作为首选（计算量大），但当二次项系数为1且一次项系数为偶数时较简便，或题目明确要求用配方法时使用。步骤：移常数项→二次项系数化1→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方形式→开平方求解。 规范作答：写出方程的两个解（可能相等），若 则注明"无实数根"。 三、易错提醒 方法选择不当：明明可以因式分解的方程却硬套公式，计算量大且容易出错；或该用公式法的方程强行分解，浪费时间。 未化一般形式：方程未整理为 就直接判断系数 、 、 ，导致符号或数值错误。 公式法系数代错：使用求根公式时， 、 、 的符号带错，尤其是 为负数时， 应变为正数。 判别式算错： 中 是 的平方（恒非负），不要写成 。 漏写解：因式分解法得到两个因式，应分别令每个因式为0求解，不要只写一个解。 开平方漏正负：直接开平方法中， （ ）的解为 ，不要漏掉负根。 四、解题底线 选择方法的原则是"先简后繁"：能直接开方就直接开方，能分解就分解，分解不了再用公式法，配方法留作最后选择或题目要求时使用。 无论用哪种方法，最终结果都应代入原方程快速验证，确保计算无误。 变式1-1解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或 解得，； （4）解： ，， ∴ 解得，． 变式1-2用适当的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）整理后利用直接开平方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： 移项，得， 系数化，得， 两边开平方，得， ，． （2）解： 因式分解，得， 或， ，． 变式1-3用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用公式法解方程； （2）用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 分解因式得：， 或， 解得：，． 类型二、换元法解一元二次方程 典例2 若关于的一元二次方程有一个根为2027，则一元二次方程必有一个根为______． 【答案】 【分析】观察两个方程的结构，通过换元将待求方程转化为与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求解待求方程的根． 【详解】解：将待求方程移项，得， 设，则上述方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为2027， ∴方程有一个根为，即， 解得． 题型模版 一、题型特征 方程中含有重复出现的相同代数式，直接展开整理后次数过高（如四次方程）或结构复杂难以求解。核心特征是"整体替换、降次化简"，解题关键是识别方程中重复出现的代数式，设其为新未知数，将原方程转化为关于新未知数的一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 二、解题方法 观察找"整体"：找出方程中重复出现的代数式（如 、 、 等），将其视为一个整体。 设元换元：设该整体为新未知数 （或其他字母），用 替换原方程中所有出现该整体的位置，得到关于 的一元二次方程。 解新方程：用因式分解法、公式法或配方法解出 的值。 回代求解：将 的值代回 原代数式，得到关于 的方程（可能是一次或二次），解出 的值。 检验（视情况）：若换元过程中涉及分母、根号等限制条件，需检验所求 是否使原方程有意义。 三、常见换元场景 高次方程：如 ，设 ，化为 。 分式方程：如 ，设 ，则 ，化为 ，再去分母求解。 根式方程：如 ，设 （ ），化为 。 对称结构：如 ，将 与 配对，两者均含 ，设 化简求解。 四、易错提醒 整体找错：未识别出真正的重复结构，或设元后方程并未简化，反而更复杂。 回代遗漏：解出 后忘记回代求 ，或回代时方程列错。 忽略新元限制：如设 时隐含 ，设 时隐含 ，解出 后需先排除不符合限制的解再回代。 回代后漏解：回代得到的关于 的方程可能是一元二次方程，有两个解，不要只写一个。 忘记检验：换元涉及分母或根号时，最终结果需代入原方程检验是否有意义。 五、解题底线 换元的目的是"化繁为简、降次转化"，设元后必须确认新方程确实比原方程更容易求解。 换元法解题必须完成"设元→解新方程→回代→检验"完整流程，回代和检验不可省略。 变式2-1已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． (2)已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例“换根法”解答即可； （）仿照题例“换根法”解答即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入方程，得， 化简，得， ∴所求方程为； （2）解：设所求方程的根为，则， ∵已知方程的根不为零， ∴，，， ∴， 把代入方程，得， 化简，得， ∴所求方程为． 变式2-2已知，求的值． 【答案】 【分析】设，则，整理并使用因式分解法解方程即可得出答案． 【详解】解：设， 则， 整理得：， ， 或， 解得，（不合题意，舍去）， 故的值为． 变式2-3问题背景： 我们知道，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，我们还可以用换元法来解某些方程，如：解方程，可以将看作一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程无实数解．故原方程的解为，． 解决问题： (1)请用换元法解方程：． (2)已知实数x，y满足，求的值． 【答案】(1)， (2)9 【分析】（1）令，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用因式分解法求出y，即可解答； （2）设（），将原方程化为关于t的一元二次方程，再利用因式分解法求出t，即可解答． 【详解】（1）解：令，则原方程为：， ∴或者， 解得，， 当时，，∴； 当时，，∴； ∴，． （2）解：设（） 则原方程化为， 解得或（舍去）， ∴． 题型三、解分式方程(化为一元二次方程) 典例3 解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般形式是________． 【答案】 【分析】先确定分式方程的最简公分母，给方程两边同乘最简公分母去分母，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项得． 题型模版 一、题型特征 方程中含有未知数的分母（即分母里含有未知数），去分母整理后得到一元二次方程。核心特征是"分母含未知数+去分母后二次"，解题关键是先找最简公分母去分母化为整式方程，解出后必须代入原方程检验分母是否为零。 二、解题方法 找最简公分母：将各分母因式分解（能分解的先分解），取所有因式的最高次幂之积作为最简公分母。例如分母为 、 、 ，则最简公分母为 。 去分母化为整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，约去所有分母，得到一个整式方程（通常为一元二次方程）。注意：常数项也要乘以最简公分母，不要漏乘。 解整式方程：用因式分解法、公式法或配方法解出整式方程的根。 检验（验根）：将求出的根代入最简公分母（或原方程各分母），若最简公分母的值不为0，则该根是原方程的解；若最简公分母的值为0，则该根是增根，必须舍去。 作答：写出原方程的解（可能有一个解、两个解或无解）。 三、易错提醒 漏乘常数项：去分母时，方程中的常数项（不含分母的项）忘记乘以最简公分母，导致整式方程列错。 符号错误：分母前有负号时，去分母后符号处理出错，如 去分母后应为 。 忘记验根：解出整式方程的根后直接作答，未检验是否为增根，这是最致命的错误。 增根概念不清：增根是使最简公分母为0的根，它虽然是整式方程的解，但不是原分式方程的解，必须舍去。 分母未分解就找公分母：如分母为 和 ，应先分解 ，再确定最简公分母为 ，而非 。 无解情况漏判：若整式方程的两个根都是增根，或整式方程本身无实数根，则原分式方程无解。 四、解题底线 解分式方程的核心步骤是"去分母→解整式方程→验根"，验根是不可省略的必经步骤。 增根的产生源于去分母时两边同乘了可能为0的最简公分母，因此必须逐一检验每个根是否使最简公分母为0。 变式3-1对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，……，按照这个规定，如果．求此时x的值． 【答案】的值为或 【分析】得出，则分两种情况：①，②，分别建立方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可知，． ①当时，， ∵， ∴， 解得，符合题设，且经检验，都是所列分式方程的解； ②当时，， ∵， ∴， 解得（不符合题设，舍去），，符合题设，且经检验，是所列分式方程的解； 综上，的值为或． 变式3-2解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 常数项移到等号右侧： 两边同除以4， 得， 等号左右两边同时加1， 得， 即 开平方， 得， ∴，． （2）解：， 因式分解，得， 方程两边同乘最简公分母，去分母， 得， 展开整理，得， 解得 验根：把代入最简公分母， 得， ∴是增根，舍去； 把代入最简公分母， 得， ∴是原方程的解， ∴原方程的解是． 变式3-3解方程：． 【答案】，，， 【分析】利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】解：， 设，则， ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，，，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据其中一个根为另一个根的2倍，分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得，． 关于的一元二次方程的其中一个根为另一个根的2倍， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 2．已知多项式能被整除，求的值________． 【答案】 【分析】由于，而多项式能被整除，则能被整除．运用待定系数法，可设商是A，则，则和时，，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值. 【详解】解：∵， ∴能被整除， 设商是A． 则， 则和时，右边都等于0，所以左边也等于0． 当时， ① 当时， ② ，得， ∴， ∴． ∴， 3．已知，则___________． 【答案】 【分析】将原等式展开移项后进行分组，凑出几个完全平方式，然后整体换元，化繁为简后再配方，利用平方的非负性求解． 【详解】解：将原等式右边展开为：， 移项整理得：． 将拆分为，把式子分为三组分别配方： 设，，原式化为， 配方： 代回原式得： ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0， ∴ 移项得． 4．已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【分析】利用换元法将原方程转化为整式方程，整理后换元求解，结合的范围舍去增根，检验后得到原方程的解集． 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 5．换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，新变量求出结果之后，返回去求原变量的结果．在解一些复杂的因式分解问题时，常用到换元法．试用换元法解方程：． 【答案】， 【分析】利用换元法，将进行平方，用表示出，代入化简计算即可． 【详解】解：设， 则，，， ∴原方程化为， 即， 解得，或（舍去）， ∴， 即， 解得，， 经检验，均为原方程的解． 6．用双十字相乘法分解： 【答案】 【分析】先根据十字相乘法把前三项分解因式后得，再把拆分为，再验证，，即可得双十字相乘法分解的结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴. 7．解下列方程： ． 【答案】，， 【分析】设 ，换元后将原方程转化为关于的一元二次方程，求出的值后，进一步解关于x的方程，检验后得出结果． 【详解】解：设 ，则， 原方程转化为：， 化简，得 ， 因式分解，得 ， 解得，，， 当时，， 化简，得， 因式分解，得， 解得，，； 当时， ， 化简，得， 解得，； 经检验，，，都是原方程的解， ∴方程的解为，，． 8．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程求出m的值，再仿照题意求出x的值即可； （2）设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出n的值，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为； （2）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 9．综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程求解即可； （3）将所求方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得， 化简，得； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得； （3）解：将所求方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大2， ∴的两个实数根分别是，． 10．已知关于x的一元二次方程，若等腰三角形的一边长a为1，另两边长为b，c恰好为该方程的两个根，求三角形的周长． 【答案】5 【分析】解方程可得，再分两种情况：腰长为1和腰长为2，确定此时等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件验证即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 若腰长为1，则，此时三角形三边长为1，1，2， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 若腰长为2，则，此时三角形三边长为1，2，2， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴三角形的周长为； 综上所述，三角形的周长为5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次方程解法的综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用适当的方法解一元二次方程 题型二、换元法解一元二次方程 题型三、解分式方程(化为一元二次方程) 题型四、十字相乘法解一元二次方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程解法综合题型是初中数学核心重难点，所有题型均围绕方法选择、根与系数关系、根的几何与实际意义、多知识点综合四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是含参方程必须讨论二次项系数是否为0，二是涉及实数根必须验证判别式Δ≥0，所有结果最终均需结合题意与实际意义合规检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用适当的方法解一元二次方程 典例1 解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 题型模版 一、题型特征 题干直接给出一个一元二次方程，要求求解，但未指定具体方法。核心特征是"先观察方程结构，再选择最简便的解法"，解题关键是按"直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法"的优先级顺序选择方法，避免盲目套公式浪费时间。 二、解题方法 判断方程类型：先将方程化为一般形式 （ ），再观察结构选择方法。 方法选择顺序： 直接开平方法：适用于形如 （ ）或 （ 、 异号）的方程，直接两边开平方求解。 因式分解法：适用于方程一边为0、另一边容易分解为两个一次因式乘积的情况。优先尝试提公因式、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。这是最快的方法，能分解就优先用。 公式法：适用于所有一元二次方程，是"万能方法"。当方程不易分解时，直接套用求根公式 。使用前先计算判别式 ： 有两个不等实根， 有两个相等实根， 无实数根。 配方法：一般不作为首选（计算量大），但当二次项系数为1且一次项系数为偶数时较简便，或题目明确要求用配方法时使用。步骤：移常数项→二次项系数化1→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方形式→开平方求解。 规范作答：写出方程的两个解（可能相等），若 则注明"无实数根"。 三、易错提醒 方法选择不当：明明可以因式分解的方程却硬套公式，计算量大且容易出错；或该用公式法的方程强行分解，浪费时间。 未化一般形式：方程未整理为 就直接判断系数 、 、 ，导致符号或数值错误。 公式法系数代错：使用求根公式时， 、 、 的符号带错，尤其是 为负数时， 应变为正数。 判别式算错： 中 是 的平方（恒非负），不要写成 。 漏写解：因式分解法得到两个因式，应分别令每个因式为0求解，不要只写一个解。 开平方漏正负：直接开平方法中， （ ）的解为 ，不要漏掉负根。 四、解题底线 选择方法的原则是"先简后繁"：能直接开方就直接开方，能分解就分解，分解不了再用公式法，配方法留作最后选择或题目要求时使用。 无论用哪种方法，最终结果都应代入原方程快速验证，确保计算无误。 变式1-1解方程： (1) (2) (3) (4) 变式1-2用适当的方法解下列方程． (1) (2) 变式1-3用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2)． 类型二、换元法解一元二次方程 典例2 若关于的一元二次方程有一个根为2027，则一元二次方程必有一个根为______． 题型模版 一、题型特征 方程中含有重复出现的相同代数式，直接展开整理后次数过高（如四次方程）或结构复杂难以求解。核心特征是"整体替换、降次化简"，解题关键是识别方程中重复出现的代数式，设其为新未知数，将原方程转化为关于新未知数的一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 二、解题方法 观察找"整体"：找出方程中重复出现的代数式（如 、 、 等），将其视为一个整体。 设元换元：设该整体为新未知数 （或其他字母），用 替换原方程中所有出现该整体的位置，得到关于 的一元二次方程。 解新方程：用因式分解法、公式法或配方法解出 的值。 回代求解：将 的值代回 原代数式，得到关于 的方程（可能是一次或二次），解出 的值。 检验（视情况）：若换元过程中涉及分母、根号等限制条件，需检验所求 是否使原方程有意义。 三、常见换元场景 高次方程：如 ，设 ，化为 。 分式方程：如 ，设 ，则 ，化为 ，再去分母求解。 根式方程：如 ，设 （ ），化为 。 对称结构：如 ，将 与 配对，两者均含 ，设 化简求解。 四、易错提醒 整体找错：未识别出真正的重复结构，或设元后方程并未简化，反而更复杂。 回代遗漏：解出 后忘记回代求 ，或回代时方程列错。 忽略新元限制：如设 时隐含 ，设 时隐含 ，解出 后需先排除不符合限制的解再回代。 回代后漏解：回代得到的关于 的方程可能是一元二次方程，有两个解，不要只写一个。 忘记检验：换元涉及分母或根号时，最终结果需代入原方程检验是否有意义。 五、解题底线 换元的目的是"化繁为简、降次转化"，设元后必须确认新方程确实比原方程更容易求解。 换元法解题必须完成"设元→解新方程→回代→检验"完整流程，回代和检验不可省略。 变式2-1已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． (2)已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 变式2-2已知，求的值． 变式2-3问题背景： 我们知道，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，我们还可以用换元法来解某些方程，如：解方程，可以将看作一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程无实数解．故原方程的解为，． 解决问题： (1)请用换元法解方程：． (2)已知实数x，y满足，求的值． 题型三、解分式方程(化为一元二次方程) 典例3 解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般形式是________． 题型模版 一、题型特征 方程中含有未知数的分母（即分母里含有未知数），去分母整理后得到一元二次方程。核心特征是"分母含未知数+去分母后二次"，解题关键是先找最简公分母去分母化为整式方程，解出后必须代入原方程检验分母是否为零。 二、解题方法 找最简公分母：将各分母因式分解（能分解的先分解），取所有因式的最高次幂之积作为最简公分母。例如分母为 、 、 ，则最简公分母为 。 去分母化为整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，约去所有分母，得到一个整式方程（通常为一元二次方程）。注意：常数项也要乘以最简公分母，不要漏乘。 解整式方程：用因式分解法、公式法或配方法解出整式方程的根。 检验（验根）：将求出的根代入最简公分母（或原方程各分母），若最简公分母的值不为0，则该根是原方程的解；若最简公分母的值为0，则该根是增根，必须舍去。 作答：写出原方程的解（可能有一个解、两个解或无解）。 三、易错提醒 漏乘常数项：去分母时，方程中的常数项（不含分母的项）忘记乘以最简公分母，导致整式方程列错。 符号错误：分母前有负号时，去分母后符号处理出错，如 去分母后应为 。 忘记验根：解出整式方程的根后直接作答，未检验是否为增根，这是最致命的错误。 增根概念不清：增根是使最简公分母为0的根，它虽然是整式方程的解，但不是原分式方程的解，必须舍去。 分母未分解就找公分母：如分母为 和 ，应先分解 ，再确定最简公分母为 ，而非 。 无解情况漏判：若整式方程的两个根都是增根，或整式方程本身无实数根，则原分式方程无解。 四、解题底线 解分式方程的核心步骤是"去分母→解整式方程→验根"，验根是不可省略的必经步骤。 增根的产生源于去分母时两边同乘了可能为0的最简公分母，因此必须逐一检验每个根是否使最简公分母为0。 变式3-1对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，……，按照这个规定，如果．求此时x的值． 变式3-2解方程： (1)； (2) 变式3-3解方程：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知多项式能被整除，求的值________． 3．已知，则___________． 4．已知，则方程的解集是_______； 5．换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，新变量求出结果之后，返回去求原变量的结果．在解一些复杂的因式分解问题时，常用到换元法．试用换元法解方程：． 6．用双十字相乘法分解： 7．解下列方程： ． 8．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 9．综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 10．已知关于x的一元二次方程，若等腰三角形的一边长a为1，另两边长为b，c恰好为该方程的两个根，求三角形的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $