单元综合复习(三) 一元二次方程-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

(3)依题意，得20[x(60一x)一132]十100×132=27840， 所以二次函数y=(x十1)(x一1)化为一般形式为 整理，得x2一60x十864=0，解得x1=24,x2=36. y=x2一1，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-1. x60一x,.x30,.x=24. 4.C5.C6.y=16π-πx20<x<4 答：AB的长为24米. 7.(1)正方体的棱长为xcm,它的棱长的和为Lcm,表面 阶段测评5(3.33.5) 积为Scm2,∴.L=12x,S=6x2. 1.B2.B3.D4.D5.A6.B7.±6 (2)S=6x2是关于x的二次函数. 8.0(答案不唯一，满足小于1即可)9.一210.3 4 8.B 能力在线 11.10%12.1.4 9.B10.A11.A 13.(1)证明：：△=(k-5)2-4(1-k) 12.(1)0(2)m≠0且m≠1(3)不可能 =k2-6k+21=(k-3)2+12>0, 13.由题意可知，每件商品的销售利润为(x一30)元，那么每 ·无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根 天销售m件的销售利润为y=m(x一30)元. (2)设方程的两个根分别是x1,x2,根据题意，得 .m=162-3x,∴.y=(x-30)(162-3x), (x1-3)(x2-3)<0, 即y=-3x2+252x-4860. 即x1·x2-3(x+x2)+9<0, 又：m>≥0，.162-3x≥0，即x≤54. 又：x十x2=5-k,x1·x2=1-k, 又x≥30，.30≤x≤54. 代入，得1一k-3(5-)+9<0, ∴.所求函数表达式为y=一3.x2+252x一4860(30≤x≤54). 解得<号，则k的最大整数值为2。 拓展在线 14.(1)由题意，得 14.(1)2x(50-x) BP=12-3t,BQ=6t,0<t4. (2)由题意，得(50-x)(30+2x)=2100. ,∴·△PBQ的面积S关于运动时间t(s)的函数表达式为 化简，得x2一35x十300=0. 解得x1=15,x2=20. Sa=2(12-3)X6=-9r+36(0<14. 由于该商场为了尽快减少库存，故x=15不合题意，舍 (2)四边形APQC的面积随运动时间t(s)成二次函数关 去，所以x=20. 系变化， 答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元. 1 15.:在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm,AD S边形APac=SAAIC-SAP0=2X12X24-(-9P+36) 为BC边上的高，∴.AD=BD=CD=8√2cm. =9t2-36t+144(0<t<4). 又.'AP=√2tcm. 4.2二次函数的图象与性质 ∴S,=2AP·BD=2X√21X8E=8(cm2), 4.2.1二次函数y=ax2的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质 PD=(8√2一√2t)cm. 基础在线 易知PE=AP=√2tcm, 1.A2.A3.B 4.(1) ∴.S2=PD·PE=(82-√2t)·√2t(cm2). -3-2-10123 S=2S2,.8t=2(8W2-√2t)·√2t, 1 4 4 y- 3 3 0 3 3 解得t=0(舍去)，t2=6.即t=6s时，S1=2S2 3 3 单元综合复习（三）一元二次方程 (2)如图所示， 1 热门考点突破 1.C2.D3.14.x1=0,z2=45.1 3 6.(1)x1=1,x=2、（2)x1=1,w=-1. 7.A8.C9.10 10.(1).关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k+1=0 43-201234 有两个不等实数根， 5.C6.A7.A8.B △=(2+1)2-4(2+1)>0，解得>3 能力在线 9.C10.B11.D12.B13.D (2)由题意，得x1x2=2+1=5,解得=-2或=2， 14.(1)m=2或m=-3. 由(1)知，>年，则的值为2. 3 (2)当m=2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点 为(0,0)，且当x>0时，y随x的增大而增大. 11.A12.3 拓展在线 13.(1)设该商品每次降价的百分率为x,则 15.（1)把点B(一2,4)代入二次函数y=ax2,得4a=4,解得 60(1-x)2=48.6, a=1. 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). 二次函数的表达式为y=x2 答：该商品每次降价的百分率是10%， 将点A(1,m)代入二次函数表达式，得m=1. (2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售出(20一a)件， 把点A(1,1),B(一2,4)代人一次函数y=x+b,得 由题意，可得 k+b=1, [60(1-10%)-40]a+(48.6-40)×(20-a)≥200， (264,解得82· 解得≥5品 故一次函数的表达式为y=一x十2. (2)一次函数的表达式y=一x十2中，令 ↑yy=ax :a为整数，∴a的最小值是6. x=0,得y=2. 答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价。 设一次函数与y轴交于点C,则OC=2. 核心素养提升 14.1515.B SAN08 SAnoc SAco=2X1+ y=kx+b 第4章二次函数 2×2×2=3. 4.1二次函数 第2课时 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质 基础在线 1.D2.C 基础在线 1.B2.C3.D 3.(1)根据题意，得y=4x2一12x(1十x)=4x2一12x-12x2 =-8x2-12x, 4.(1) x 3 -2 -1 0 1 2 3 所以二次函数y=4x2一12x(1十x)化为一般形式为 1 14 y=一8x2一12x,二次项系数为一8，一次项系数为一12，常 y=- -3 0 一3 3 数项为0. (2)根据题意，得y=(x十1)(x一1)=x2一1， (2)如图所示. 20 一探究在线·九年 第2课时二次函数y=a(x一h)2十 的图象与性质 基础在线 1.C2.D3.C4.B5.C6.C 7.(1)图略.(2)向上 小 -6 8.(1)(0,4)(2)>1 引 (3):二次函数y=-(x-1)2+5中的a=-1<0,顶点 5.下(0,0)y轴<>006.>7.D 坐标为(1,5)， 8.(1),二次函数y=ax2的图象经过点(1，-3)， .二次函数的开口方向向下，最大值为5， .aX1=-3..a=-3. 当x=0时，y=-(0-1)2+5=4, (2)把x=3代人二次函数y=一3x2,得 当x=3时，y=-(3-1)2+5=1, y=-3×32=-27. .当0<x<3时，y的取值范围是1<y≤5. (3)抛物线的开口向下；坐标原点是抛物线的顶点；当x>0 9.C 时，y随着x的增大而减小；抛物线有最高点；当x=0时， 能力在线 y有最大值0等，（答案不唯一，写出三条即可） 10.A11.D12.m≥3或m0 能力在线 9.D10.D11.B12.B13.C 13.1)当m=2时y=-2(x-4)2-1. 14.(1)由题意，得2-4k+5=2且k-2≠0，解得k1=1, :点A(6,n)在该函数图象上， k2=3,.满足条件的的值为1或3. (2)由题意，得k一2<0， ∴n=-之×(6-402-1=-3 .当k=1时，抛物线有最高点，最高点是(0,0)， (2)若顶点是(2，-1)，则2m=2①，1-m=-1②， (3)由题意，得k一2>0， 由①，得m=1;由②，得m=2.1≠2. 当=3时，二次函数有最小值，最小值是0. 故小明的说法错误， 拓展在线 拓展在线 15.设线段AB与y轴的交点为C,由抛物 14.(1)1 线的对称性可得C为AB的中点. (2):y=(x-m)2+n的图象经过点A(3,2), .OA=OB=2√2，∠AOB=90°， ∴.(3-m)2+n=2, ∴.AC=OC=BC=2. ∴n=-(m-3)2+2, .B(2,一2). ∴当0≤m≤2时，n随m的增大而增大. 把B(2,一2)代人抛物线y=ax2(a< 当m=0时，n=-7;当m=2时，n=1. .n的取值范围为一7≤n≤1. 0),得a=一2· (3)A 4.2.2二次函数y=a(x-h)2十k的图象与性质 4.2.3二次函数y=ax2十bx十c 第1课时二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 的图象与性质 基础在线 基础在线 1.C2.B3.D4.C5.A6.C7.B 1.B2.33.A4.A5.C6.< 8.(1)如图. 7.(1)直线x=2(2,一1) (2)其图象如图所示， y=x2-4x+3 ↑y 4 32 -201r234 3-2-02方4 (2)①图象的开口向上， ②对称轴为直线x=1. 2 ③顶点坐标为(1,0).（答案不唯一） (3)x2 9.C 能力在线 8配方：y=2-3x+1=(2-3x+是-是)+1 10.y=2(x一1)2（答案不唯一） 11.B12.A13.B -(-》- 14.(1)y=2（x-2)2. 顶点坐标是（名，-号），于是当x=是时，y达到最小值 (2)平移后的抛物线的函数表达式为y=(x十2。 4 平移方式为向左平移4个单位长度， 9.A 拓展在线 能力在线 15.C 10.D11.A12.C13.B 16.(1)易得抛物线y=a(x一1)2(a≠0)的顶点坐标是(1,0). 14.(1)把a=1代入y=a.x2-2a2x,得y=x2-2x=(x-1)2-1, :点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2(a≠0)上的一点， .抛物线的顶点坐标为(1，一1). ∴.a=a(m一1)2.解得m=2或m=0. 点P在第一象限内，…m=2. (2)抛物线的对称轴是直线x=一 -2a2=a. (2).a<0, 当a>0时，如图①，此时3a<3,a<1. .抛物线y=a(x-1)2(a≠0)的开口向下. 又a>0,∴.0<a<1; 又，抛物线y=a(x一1)2(a≠0)的对称轴为直线x=1, y .当x>1时，y随x的增大而减小. 24T (3)a=3, 3a7 '.抛物线所对应的函数表达式为y=3(x一1)2，点P的 坐标为(2,3). 3a :PQ∥x轴交抛物线y=3(x-1)2于点Q, 由3=3(x-1)2,解得x=2或x=0. 图① 图② 当a<0时，如图②，此时-a>4,解得a<-4 点Q的坐标为(0,3).心PQ=2.SA0=2X3X2=3. 又a<0,∴.a<-4. 综上，当0<a<1或a<-4,都有yh<y2 级数学（上）·XJ一分单元综合复习（目 ■■■热门考点突破■■● 考点1一元二次方程及其相关概念 1.下列关于x的方程是一元二次方程的是( A.ax2+6x+c=0 B.x2+2x=1 C.x2=0 D.x2+y2=1 2.(娄底期末)方程3x(1-x)+10=2(x十2)化 成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数 项分别为 () A.-3x2,1,6 B.3x2,1,6 C.3,1,6 D.3,-1,-6 3.(中考·连云港)若关于x的一元二次方程 mx2+nx一1=0(m≠0)的一个解是x=1,则 m十n的值是， 考点2解一元二次方程 4.方程x2一4x=0的解为 5.(中考·荆州)一元二次方程x2一4x十3=0配 方为(x一2)2=k,则k的值是 6.解下列方程： (1)2x(x-1)+3=3x; (2)(中考·齐齐哈尔)(2x+3)2=(3x+2)2. 一元二次方程 考点3一元二次方程根的判别式及根与系数 的关系 7.(中考·滨州)一元二次方程2x2一5.x十6=0 的根的情况为 () A.无实数根 B.有两个不等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.不能判定 8.(中考·温州)若关于x的方程x2十6x十c=0 有两个相等的实数根，则c的值是 () A.36 B.-36 C.9 D.-9 9.(中考·眉山)设x1,x2是方程x2十2x一3=0 的两个实数根，则x十x的值为 10.（中考·随州)已知关于x的一元二次方程 x2十(2k十1)x+2+1=0有两个不等实数 根x1,x2. (1)求k的取值范围； （2)若x1x2=5,求k的值， 第3章90 考点4一元二次方程的实际应用 11.(中考·泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载 “买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去 买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株 椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的 价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文， 那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等 于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株 椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的 方程是 A.3(x-1)x=6210 B.3(x-1)=6210 C.(3x-1)x=6210 D.3x=6210 12.(中考·永州)我国古代数学家赵爽创制了一 幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定 理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全 等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方 形的面积是1，则AE= 13.某商品原来每件的售价为60元，经过两次降 价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的 百分率相同 (1)求该商品每次降价的百分率； (2)若该商品每件的进价为40元，计划通过 以上两次降价的方式，将库存的该商品20件 全部售出，并且确保两次降价销售的总利润 不少于200元，那么第一次降价至少售出多 91探究在线九年级数学（上）·X灯 少件后，方可进行第二次降价？ ■■●核心素养提升■●■ 14.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数 和“·”的个数差为75时，n的值为 n=3 n=4 15.定义[x]为不大于实数x的最大整数，如 [1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函数 y=[x](一2≤x<2)的图象如图所示，则方 程[x]=2r2+x(-2≤x<2)的解为（) A.x1=0,x2=-2 B.x=0 C.x1=-1十√3， x2=-1-√5 D.x1=0,x2=-1十√3，x3=-1-√3