3.2.3 因式分解法-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

6.C7.D8.x(x+2)=3239.1 .0≤a≤2. 能力在线 g280. 10.B11.D12.B a为正整数，∴.a=1或2， 13.(1)根据题意，得x(x十2)=48，化为一般形式为x2十2x 分情况讨论： -48=0. (1)当a=1时，方程为(x一1)2=1，.1=2，x2=0； 二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是一48. (2)当a=2时，方程为x2=2, (2)根据题意，得(3x十1)2十x2=53,化为一般形式为 .x1=√2，x2=一√2，两根都舍去 5x2+3x-26=0, .这个方程的根为x1=2,x2=0. 二次项系数是5，一次项系数是3，常数项是一26. 第2课时用配方法解二次项系数为1 14.先把原方程化为一般形式，得(1一2m)x2十(m2-m一1)x 的一元二次方程 =0.再分情况讨论. 基础在线 (1)当1一2m=0时，即m=号时，原方程可化为-冬= 1.a11(2②36w 0,它不是一元二次方程； （2》当1-2m≠0时，即m≠号时，原方程是一元二次方 2.A3.D4.B5.D6.5 7.(1)x1=1,x2=-7. 程，其中二次项系数为1一2m,一次项系数为m2一m一1， (2)x1=-2+√2，x2=-2-√2. 常数项为0. 拓展在线 3)z=号+√21 15.(1)-x2-4x-3=0 8.C (2)由一5x2-x=1,移项，得-5x2-x-1=0. 能力在线 :方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x-1=0为“对 9.C10.D11.3或-7 称方程”， 12.(1)证明：B-A=a2-2a+3=(a-1)2+2>0. ∴.m-1=-1,-n十(-1)=0， (2)C>A.理由如下： 解得m=0,n=-1, .C-A=a2+4a+17=(a+2)2+13>0,.C>A .(m+n)2=(0-1)2=1. 13.(1)20 3.2一元二次方程的解法 (2):x2+2xy+2y2-6y+9=0, 3.2.1配方法 ∴.x2+2xy+y2+y2-6y+9=0. 第1课时根据平方根的意义解一元二次方程 ∴.(x+y)2+(y-3)2=0.∴x十y=0,y-3=0. 基础在线 .y=3,x=-3..x=(-3)3=-27. 拓展在线 1.12.53.C4.D5.x+6=-√56.x1=-2,x2=2 14.(1)x1=x2=1x1=1,x2=2x1=1,x2=3 1.1)原方程可化为2-器，根据平方根的意义，得 (2)x1=1,x2=8x2-(1+n)x+n=0 (3)x2-9x+8=0, /81 x=士W25’ 移项，得x2一9x=一8， 配方，得2-9z十=-8+8 因此，原方程的根为=号=一号 9 4 4, 51 因此(x-号》广-号，由此得x一号=±？ 7 (2)原方程可化为(3.x+2)2=5, 根据平方根的意义，得3x十2=√5或3x十2=-√5， 解得x1=1,x2=8.所以猜想正确. 3,x2=5-2 因此，原方程的根为=5一2，。 第3课时用配方法解二次项系数不为1 3 的一元二次方程 8.②漏掉了2(2x-1)=-5(x+1) 基础在线 正确解答过程如下： 1.x25 3 移项，得4(2x一1)2=25(x十1)2 直接开平方，得2(2x-1)=士5(x十1)， 即2(2x-1)=5(x十1)或2(2x-1)=-5(x+1). x一 =±3 1 ∴x1=-7,x2=-3 2.D3.A 能力在线 4D2+8x-1=0,2+号x+9=1+9 9 9.C10.A11.912.4或-2 13.1)原方程可化为(2x-1)2=9 (+号)广-+=土号==-8 3 , 1 根据平方根的意义，得2x-1=号或2x-1=-号 0222-3x+1=0,-号x+2-0. 因此，原方程的根为x= 4x2、1 -+-+品(）- 4 x-=±=1，= 1 (2)原方程可化为9x2+6x十1=4x2+6x+11, A 移项，得5x2=10,即x2=2, 5.(1)②方程左边应该加上一次项系数一半的平方，再减 根据平方根的意义，得x=士√2， 去这个数 因此，原方程的根为x=√瓦，x2=一√， 14.设该菱形一条对角线长为x,则另一条对角线长为2x （2)将二次项系数化为1，得-日x一日-0， 根据题意，得2x·2x=25, 配方得+（》-（位 60. 解得x=5(负值舍去)，2x=10. 答：该菱形两条对角线的长分别是5和10. 因此(》- 15.关于x的一元二次方程化为一般形式为(m-2)x2+1-(m -3)2=0. 由此得x一立-或x一立=一品 1 5 根据题意，得1-(m-3)2=0, 解得m1=4,m2=2. 解得=一 二次项系数m-2≠0，…m=4. 能力在线 .该一元二次方程为2x2=0. 6.D7.2或-18.-4 拓展在线 16..关于x的方程(x一√2一a)2=a有整数根， 9.(1函=》=-2 18 一探究在线·九 (2原式整理，得2-x十号=0， x=-b±√F-4ac=-1±13 2a 12 配方，得(x-)广=一立<0， ,=-1+13 12 x2= 1+13 12 原方程无实数根 (3)x=1+17 拓展在线 1-w√17 x2= 12.(1)根据题意，得m≠1. .b-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4. 10.(1)由题意，得4x2-20x十25=0， 2m+2m+1 2m-2 即x-5x+25=0, 六=2m-5=m号=2m-=1. 4 512 配方，得(x-）=0, (2)由(1)知，=m+}=1 2 m-1 m-1. x-8=04==8, 5 方程的两个根都是正整数， 二是正整数 2 又m为整数，.m-1=1或2，.m=2或3. 即当z=号时，代数式4-20z+29的值等于4 3.2.3因式分解法 基础在线 (2)3x2+4x-5=x2-1, 1.C2.D3.C4.x1=x2=-3 整理，得2x2+4x-4=0, 5.(1)x2-2x(x-1)=0, 即x2十2x-2=0,配方，得(x+1)2=3, .x[x-2(x-1)1=0, 解得x1=-1-√3，x2=-1十√3. 即x(2一x)=0, 拓展在线 解得x1=0,x2=2. 11.5x2-2√/15x=2, (2)x2-4x+22-22-5=0, (W5x)2-25x·√3+(W3)2=2+3, .(x-2)2-32=0, .(x-2-3)(x-2+3)=0, (W5x-√3)2=5. 即(x-5)(x+1)=0, √5x-√3=士√5， 解得x1=5,x2=一1. =压+1，，= (3)(3x-1+2x+1)(3x-1-2x-1)=0, 5 5 一1 即5x(x-2)=0, 3.2.2公式法 解得x1=0,x2=2. 基础在线 6.D7.(1)①(2)③ (3)④(4)② 1.D2.≥0 8.(1)原方程整理，得x2十2x=36, 3.(1)13-113(2)2-418 .x2+2x+1=37,∴.(x+1)2=37, 4.x2-x-3=01-1-3131±3 1+W13 即x+1=士√/37， 2 2 ∴.x1=-1+√37，x2=-1-√37. 1-√13 (2)原方程可化为3x2-8x+1=0. 2 .a=3,b=一8，c=1, 5.(1).a=4,b=-8,c=3, ∴.b-4ac=(-8)2-4×3X1=52>0, .b2-4ac=(-8)2-4X4×3=16>0, “x=二6±Y0-4ac_8±4 “x=8±23-4±v13 2×3 3 2a 2×41 ∴=是=合 即=4+3 3 3,=43 3 9.D (2)整理，得5.x2十2x-7=0. 能力在线 a=5,b=2,c=-7, 10.A11.C12.17 .∴.b2-4ac=22-4×5×(-7)=4+140=144, 13.（1)x2-6x-9=0,.x2-6x+9-9-9=0 x=-6±YB-4ac=-2士12 .(x-3)2=18,.x-3=±3√2， 2a 10 1 .=3+3V2,x2=3-3√2. 小x=5x=1. (2).'a=2,b=3,c=-1, ∴.b2-4ac=32-4×2×(-1)=17>0, (3)整理，得16x2-8x十1=0. .a=16,b=-8,c=1, 则工=-3±应，1=3+√ 4 4 ,x2=-3-7 4 .b2-4ac=(-8)2-4×16×1=0. 1 装沿== 1 (3)(2x-1)2=0,2x-1=0,x1=x2=2 14.①x2-10x+21=0, 6.(1)一方程没有化成一般式 .(x-7)(x-3)=0,∴.x-7=0或x一3=0. (2)方程化为一般形式，得x2-5x-1=0. x1=7,x2=3. .a=1,b= -5,c= 一1， ②x2+2x=8, ∴.b-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29. ∴.x2十2x-8=0,.(x十4)(x-2)=0. “x=5±y2四.=5+y2四， x2=5-v29 .x十4=0或x-2=0. 2 2 2 x1=-4,x2=2. 能力在线 拓展在线 7.D8.A9.2或-2 15.把方程左边配方后因式分解，得(t十5)(t一1)=0， 3 10.(1)m=2+5,x2=2-5.(2)x=-1,x= .t1=-5,t2=1, 当t=-5时，√x2+2x=-5,此方程无解； (3)x1=1-√2，x2=-√2-1. 当t=1时，√/x2+2x=1,平方，得x2+2x=1, 1.依题意，得a3后2解得a=8。 配方，得(x十1)2=2， a的值为3. 獬得x1=-1十√2，x2=-1-√2. (2)把a=3代入原方程，得6x2十x一2=0， ∴原方程的解为=一1十√2，x2=-1一√2. 阶段测评4(3.1~3.2) :68-4ac=1-4×6×(-号）=13>0， 1.B2.C3.D4.B5.A6.D7.-5 8.x1=-1+√5，x2=-1-√59.210.17cm 年级数学（上）·XJ一©3.2.3 ①基础在线沙知识要点分奏纸… 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.(2+x)(x一5)=0等价于 A.2十x=0 B.x-5=0 C.2十x=0或x-5=0 D.2十x=0且x-5=0 2.一元二次方程x2+5x=0的根是 ( A.x1=x2=5 B.x1=x2=-5 C.x1=5,x2=0 D.x1=-5,x2=0 3.一元二次方程x2一4=0的根为 ( A.x=2 B.x=-2 C.x1=2,x2=-2 D.x=4 4.方程x2+6x十9=0的根是 5.用因式分解法解下列方程： (1)x2-2x(x-1)=0; (2)x2-4x-5=0; (3)(3x-1)2-(2x+1)2=0. 73探究在线九年级数学（上）·灯 因式分解法 知识点2用适当的方法解一元二次方程 6.下列说法中，正确的是 () A.x2+1=2x不能用因式分解法求解 B.(x一3)(x-5)=1不能用公式法求解 C.方程(x-2)(x十3)=4的解是x1=2,x2= -3 D.方程x2=x的解是x1=0,x2=1 7.已知下列方程，请把它们的序号填在适当解法 后的横线上. ①2(x-1)2=6;②x(x-1)=2x; ③x2-2x-1=0,④x-2x+4=0. (1)直接开平方法：； (2)配方法： (3)公式法： (4)因式分解法： 8.选择合适的方法解下列方程： (1)(x-5)(x+7)=1; (2)3x2+1=8x. 易错点在方程两边同时除以含未知数的式 子导致失根 9.(邵阳期末)方程(x一2)2=3(x一2)的解是 A.x=2 B.x=3 C.x1=2,x2=3 D.x1=2,x2=5 ②能力在线》 、方法规律综合练 10.[整体思想]若实数x,y满足(x2+y+2)(x2+ y2-1)=0,则x2+y的值为 A.1 B.2 C.2或-1 D.-2或1 11.已知方程x2+mx十n=0的两根为3和-4， 则代数式x2一mx十n可分解为 ( ) A.(x-3)(x十4) B.(x+3)(x+4) C.(x+3)(x-4) D.(x-3)(x-4) 12.已知三角形的两边长分别为4和7，第三边的 长是方程x2一8x十12=0的解，则这个三角 形的周长是 13.用指定方法解下列方程： (1)x2-6x一9=0；（配方法） (2)2x2十3x-1=0;(公式法) (3)4x2-4x十1=0.（因式分解法） 14.阅读下列材料： (1)将x2+2x一35分解因式，我们可以按下 面方法解答： 解：①竖分二次项与常数项： x2-35 +7 x -5 ②交义湘乘，壁中项X 7x+(-5x)=2x. ③横向写出两因式：x2十2x-35=(x十7)(x一5). 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法 叫作十字相乘法。 (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 根据以上材料解下列方程： ①x2-10x+21=0;②x2+2x=8. 3 拓展在线》培优拔尖提升练 15.阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程 补充完整，求出x的值， 【问题】解方程：x2十2x十4√x2+2x-5=0. 【提示】可以用“换元法”解方程. 解：设√x十2x=t(t≥0)，则有x2十2x=t, 原方程可化为t2十4t一5=0. 【续解】 第3章74