3.2.2公式法（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，通过复习配方法步骤导入，引导学生探究一般形式方程的求解，搭建从具体方程到抽象公式的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于推导求根公式过程培养逻辑推理能力（数学思维），结合黄金分割实例体现数学应用（数学眼光），步骤总结为“化、定、算、代、定解”便于记忆，错误辨析提升规范意识。学生能发展推理与运算能力，教师可依托系统流程和丰富例题高效教学。

第3章 一元二次方程 3.2.2 公式法 导入新课 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 配方 整理 开方 求解 定解 化1 能不能对一般形式的一元二次方程 使用配方法? 让我们一起来探究它。 学 习 目 标 1 2 3 经历一元二次方程求根公式的推导过程，培养逻辑推理能力（难点） 掌握一元二次方程求根公式，能熟练运用公式法解一元二次方程（重点） 理解判别式与一元二次方程根的情况之间的关系 新知探究 运用配方法解一元二次方程时，对于每一个具体的方程，都重复使用了一些相同的计算步骤，这启发我们去探索:能不能对一般形式的一元二次方程使用配方法，求出这个方程的根呢? 在方程①的两边同除以a，得   把方程的左边配方，得   因此   配方：加上一次项系数一半的平方 能不能直接开平方? 它需要满足什么条件才能开平方？ 非负数 新知探究 ∵a ≠ 0，4a2 > 0，当 b2 - 4ac ≥ 0时，方程可化为   根据平方根的意义，得   解得   观察结果思考，一元二次方程的根与哪些要素有关？ 一元二次方程的根是由方程的系数a，b，c的值决定的 这就将一元二次方程转化为两个一元一次方程. 新知探究 总结归纳 一元二次方程的求根公式： 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.计算b2-4ac的值并判断b2-4ac的值是否大于等于0. 注意： 公式法 例5 用公式法解下列方程: (1) x2-x -2=0; (2) x2- 2x =1. 典例分析 解：(1)这里a=1,b=-1,c=-2. 因而=(-1)2-4×1×(-2)=1+8=9>0. 所以x== 因此,原方程的根 x1=2, x2=-1. 根据求根公式，思考：用它解一元二次方程有哪些步骤？ 例5 用公式法解下列方程: (1) x2-x -2=0; (2) x2- 2x =1. 典例分析 解：(2)移项得x2-2x-1=0， 这里a=1,b=-2,c=-1. 因而=(-2)2-4×1×(-1)=4+4=8>0. 所以x ==1±. 因此,原方程的根 x1=1+, x2=1-. 用公式法解一元二次方程有哪些步骤？ 1.化： 化已知方程为一般形式; 3.计算: b2-4ac的值; 5.定根： 写出原方程的根. 2.确定系数： 用a,b,c写出各项系数; 4.代入： 把有关数值代入公式计算; 这里的a、b、c的值是什么？ 2定 3算 4代 5定解 1化 例6 用公式法解方程: 9x2+12x +4=0. 典例分析 解：这里a=9,b=12,c=4. 因而=(12)2-4×9×4=0, 所以x= =. 因此,原方程的根 x1= x2=. 当b²-4ac=0时.方程的两个实数根相等. 新知探究 总结归纳 用公式法解一元二次方程的步骤 1.化： 化已知方程为一般形式; 3.计算: b2-4ac的值; 5.定根： 写出原方程的根. 2.确定系数： 用a,b,c写出各项系数; 4.代入： 把有关数值代入公式计算; 2定 3算 4代 5定解 1化 新知探究 第1章我们就学了黄金分割，你还记得黄金分割比吗？ 这个数值是如何求出的? A B C 称为黄金分割比 新知探究 设AB＝1，AC＝x， 则BC＝1－x . ∴ = ∵ = ∴ x2＝1×（1－x） 即x2＋x－1＝0 解这个方程，得x， x 所以， ≈ 0.618 A B C （不合题意，舍去） 基础巩固题 新知应用 1. 用公式法解方程 2x²=3x-1，运用求根公式时，公式中的系数分别是（ ） A. a=2，b=3，c=-1 B. a=-2，b=-3，c=1 C. a=2，b=-3，c=1 D. a=2，b=3，c=-1 C 解析：将原方程移项，化成一般形式 2x²-3x+1=0 ，即可得a=2，b=-3，c=1，故选C. 2. 用公式法解方程 2x²+3x=8，求得b²-4ac的值（ ） A. 为正数 B. 为负数 C. 为0 D. 为无理数 A 必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 基础巩固题 新知应用 3. 用公式法解方程 x²-7x+6=0，运用求根公式正确的是（ ） A. B. C. D. B 4.下列方程适合用公式法求解的是( ) C A. B. C. D. 直接开平方法 直接开平方法 配方法 基础巩固题 新知应用 5.若x=是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程可以是(　　) A.3x2+2x-1=0　　　　 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-2x+3=0　　　　 D.3x2-2x-1=0 D 基础巩固题 新知应用 6、用公式法解下列方程: (1)x2-6x+ 1 =0; (2)2x2 - x=6; (3)4x2- 3x-1=x -2; (4)3x (x -3)=2 (x -1) (x+1). 解:(1)这里a=1，b =-6，c = 1. 因而 b2-4ac = ( -6)2-4×1×1 =36-4=32>0, 所以 解:(2)移项，得 因而 b2-4ac = ( -1)2-4×2× (-6) =1+48=49>0, 因此，原方程的根为x1=2，x2= . 所以 这里a=2，b =-1，c = -6. 2x2- x -6=0， x= 基础巩固题 新知应用 6、用公式法解下列方程: (3)4x2- 3x-1=x -2; (4)3x (x -3)=2 (x -1) (x+1). 解:(3)移项，得 因而 b2-4ac = ( -4)2-4×4×1=0， 所以 这里a=4，b =-4，c = 1. 4x2- 4x +1=0， 解:(4)整理，得 因而 b2-4ac = ( -9)2-4×1×2=73>0， 所以 这里a=1，b =-9，c = 2. x2- 9x +2=0， 基础巩固题 新知应用 7. 解方程 (x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号 ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6， 化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0， 这里 a = 3, b = -7，c = 8. ∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96 = - 47 < 0， ∴原方程没有实数根. 能力提升题 新知应用 8..用公式法解方程： . 解：因为，，，所以 . 所以 ， 即， . 上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正. 解：不正确.错误：没有将方程化成一般形式，造成常数项 的符号错误. 正解：移项，得，所以，， ， 所以 .所以， 即， . 能力提升题 新知应用 9.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0. (1)求出方程的根; (2)m为何整数时,此方程的两个根都为正. 解：（1）根据题意，得m≠1， 因为b2-4ac=（-2m）2-4（m-1）（m+1)=4， 所以x==， 所以x1=，x2=. 能力提升题 新知应用 (2)由（1）知，x1==1+，x2=1. 因为方程的两个根都是正整数，m为整数，且m≠1， 所以m-1=1或m-1=2， 所以m=2或m=3. 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 务必将方程化为一般形式 注意 2定 3算 4代 5定解 1化 感谢聆听! $