第6期：2.3 解直角三角形 2.4 解直角三角形的应用-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（湘教版·新教材）

初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 发理柄 答案详解 2026~2027学年 初中数学湘教中考 第6~9期(2026年8月)》 6期2版 重点集训营 2.3解直角三角形 1.解：如右图，过点B作BM 1.B:2D:3(号6： 4.4+22 ⊥AD,过点E作EN⊥AD, 教 因为斜坡AB的坡度i=5:校门 B 5.解：(1)在△ABC中，因为AD是BC边上的高， 12, E 所以∠ADB=∠ADC=90° 所以M、5 因为C=是，C为能角. Aw=2: 又因为AB=13米， 所以∠C=45°. 所以BM=5米，AM=12米， 在△ADC中，因为∠ADC=90°，AD=1,∠C=45°， 所以BM=DF=5米. 所以DC=AD=1. 设EF为x米，则BF=(4+x)米， 在△ADB中，因为∠ADB=90°， 因为∠CBF=45°， 所以sinB=AD=⊥ 所以BF=CF=(4+x)米 因为∠CEF=60°， 又因为AD=1, AD 所以tam60:= =4+x 所以AB= sin B =3, 所以BD=√AB2-AD=22, 解得x=2+2米， 所以BC=BD+DC=2,2+1. 所以CF=(6+25米， (2)因为AE是BC边上的中线， 所以CE=BE=万+之， 所以CD=CF+FD=（11+2F）米 所以DE=CE-CD=万-之， 答：楼顶C的高度CD为11+2万）米 所以am∠D4E-6=E-子 2.解：延长AB交ED的延长线于点F,过点C作CG⊥AF, 垂足为G. 2.4解直角三角形的应用 (1)由题意，得CG=36米，∠BFD=90°， 1.B;2.8;3.105. 因为斜坡BD的坡度i=1:2.4, 4.解：如图1，过点C作CD1AE交AE 所以C=1.5 的延长线于点D, 0=2.4=2 设CD=xm, 所以BG=15米. 在Rt△CBD中，∠CBD=45° 在Rt△BCG中，由勾股定理，得 ∠BCD, 图1 BC=√/CG+BG=39(米). 所以BD=CD=xm. 答：BC的长度为39米 在Rt△CAD中，∠CAD=42°， (2)因为BC=39米，CD=260米， 所以AD=am2“0g 所以BD=299米. 因为斜坡BD的坡度i=1:2.4, 因为4B=10m,所以0)-x=10, 所以易得BF=115米，DF=276米， 因为AB=129米，所以AF=244米. 解得x≈90， 所以山顶C点处的海拔高度约为1600十90=1690(m). 在Rt△AEF中，tam27°=4g EF 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以EF=AF an27≈478（米）， 所以TC=25. 因为CD≤DT+CT, 所以DE=EF-DF=478-276=202(米). 所以CD≤1+25， 答：轮船E距离海岸线D的距离ED的长约为202米 6期3,4版 所以CD的最大值为1+25. 一、选择题 二、填空题 9.60;10.6.4;11.10；12.(415-25): 题号12345 678 13.18. 答案BCBCCBAB 提示： 提示： 12.解：如图4，过点E作水平地面 6.解：如图1，过点0作EF1OM,A 的平行线，交AB的延长线于点H,则 过点A作AG⊥EF于点G, E G 0◆B LBEH=∠DCF. 因为AB=6米，0A:0B=2:1, B 在Rt△BEH中，tan∠BEH= B E 所以0A=4米，0A1=4米， 地面 图1 m∠BcF=g= C72ah 因为∠A,OM=120°，∠EOM= 图4 90°，所以∠A10E=30°. 设BH=x米，则EH=2x米， 在Rt△A10G中，A1G=A0·sin30°=2（米），点A位于最 所以BE=√EH+BⅢ=5x米， 高点时到地面的距离为2+3=5（米）， 所以5x=10,得x=25, 所以点A位于最高点A,时，点A1到地面的距离为5米. 所以BH=25米，EH=45米 7.解：如图2，过P作PC⊥AB于C, 北 因为∠EAH=180°-60°-90°=30°， 由题意知∠PAB=30°，∠PBC= 所以AH=√5EH=4√5米， 60°， 所以AB=AH-BH=(4√15-2√5)米， 所以∠APB=∠PBC-∠PAB= 图2 即大树AB的高为(4√5-25)米. 60°-30°=30°， 所以∠PAB=∠APB, 13.解：如图5所示，过点B作BE/AC,与 所以AB=PB. AD的延长线交于E,过点B作BF L AE于点 B F, 在Rt△PAC中，AP=65千米， 因为BE∥AC,所以∠E=∠CAD, 所以PC=sin∠PAC,PA=PM=35千米。 又因为∠ADC=∠EDB, 图5 在R△PBC中，sm∠PBC=常 所以△ADC△EDB, 所u品品-合号 3 所以-语， PB· 设AD=3x(x>0),则DE=5x, 所以PB=6千米 所以AE=AD+ED=8x. 所以AB=6千米 因为AD是∠BAC的平分线， 8.解：如图3，在AD的下方作Rt△ADT, 所以∠BAD=∠CAD, 使得∠ADT=90°，DT=1,连接CT, 所以∠BAD=∠E, 则AT=5, 所以AB=EB. 因为BF⊥AE, 因为品-是=2 所以EF=AP=分46=4， 所品C 图3 所以DF=AF-AD=4x-3x=x 又因为∠ADT=∠ABC=90°， 因为∠ADC=∠EDB, 所以△ADT△ABC, 所以os∠AC=s∠B0B-品-子 AT 厅以∠DAT=∠BAC,8花 因为BD=10,所以FD=6,所以x=6, 所以LDAB=∠TAC,4D=AB 所以AD=3x=3×6=18. ·AT=AC 三、解答题 所以△DAB△TAC, 14.解：因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° 所以织-4D=2 因为∠B=30,所以AD=4B=3. 2 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 因为tanC=3,所以0= 3 设CH=xm,则AH=4xm, =3, 在Rt△ACH中，由勾股定理，得x2+(4x)2=AC2=9, 所以CD=1. 所以AC=√A+CD=√32+1下=0. 解得=3侣（负位合， 15.解：如图6，过点C作CH 所以cH=3 LAB于点H,过点D作DG⊥AB, 17 -m, 60P 交AB的延长线于点G 45o 309 60°习 37 D 因为∠CAB=45°， CH 17 334 H B G 所以sinLAPC= CP = 34 AC 30 n mile, 图6 18.解：(1)如图8，过B作BM⊥I于M, 太阳 所以AH=CH=15√2 n mile. 光线 所以CD=BM=1.5米， 因为∠CBH=60°， BC=DM=1.5米， B 所以BC= cH-152=106(n mile). sin60°= 5 在Rt△BEM中，tan∠BEM=BM EM D EM 图8 因为∠DBG=180°-60°-30°-60°=30°， 即5=1.5 EM' 所以∠BDG=60°， 所以EM=0.3米， 所以∠CDB=180°-60°-60°=60°， 所以DE=DM-EM=1.5-0.3=1.2(米). 因为∠CBD=30°+60°=90°， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2米. 所以cD=BC。=09=202(n mile). (2)如图9，过B作BF⊥AC于F,过B 光线 5 作BM⊥I于M, 2 则BF=DM=1.2米， 答：C,D间的距离为20√2 n mile. 所以CF = √BC-BFP 16.解：(1)如图7，过点B作BC D EM ⊥AF,则四边形BEFC是矩形， 1.52-1.22=0.9(米)， 图9 所以BM=DF=CD-CF=1.5-0.9=0.6(米)， 因为山坡AB的坡度i=1:√5， B人53 由表格可知，在12时。~14时，α的正切值逐渐减小， 所以∠A=30°， A30° 所以∠BEM逐渐变小， 由题意知AB=300m, 图7 所以14时，点E最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆 所议EF=BC=4B=150m, 放位置与装壁的最远距离，在△BV中，m∠BEM一微 因为DF=534m, 所以DE=DF-EF=384m. 即125=所以EM=04格米， 答：B,D两地间的垂直高度差DE为384m 所以DE=DM-EM=1.2-0.48=0.72(米). (2)由(1)知，在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE= 答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72米. 53°，DE=384m, 7期 所议B058=460(m. 384 一、选择题 300÷30+480÷16=40(min). 题号 1 2 4 6 7 8910 答：他们从山脚A处到山顶D处需要40mim. 答案BBDBBDDAB C 17.解：(1)由题意可得PQ上AE,PQ=2.6m,AB=CD= 提示： EO 1.6 m,AE BO 4 m,AC BD =3 m, 9.解：如图1，延长BA交MW于M 则CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m). 28 459 点C,则∠ACN=90°， 因为∠CEP=90°，CE=PE, 由题意可知，BC=119m,MW= 所以B=∠PCE=45°， 74m. ma=tm∠PME=-子 因为∠BWC=45°，∠BCN= 图1 (2)因为CE=PE=1m,∠CEP=90°， 90°， 所以CP=√2+1下=√2(m). 所以CN=CB=119m, 过点C作CH⊥AP于点H, 所以CM=CN+MW=119+74=193(m), 因为an&=tanL PAE=Cl-L AH=4 所以tan∠Awc=品-号 =tan22°， 3 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以AC≈77.2m, 因为BM=CN=28米， 所以AB=BC-AC=119-77.2=41.8(m)≈42(m). 所以AB=AM-BM≈58.5-28=30.5（米）， 10.解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D, 即铁塔AB的高度约为30.5米. 则∠OCD=∠B0C= 16.解：如图3，过点E作EG⊥BD于点A 因为ma:分：80 G 所以CD=2D0. 由已知5、2 因为OC=BC·AC, 设AE=2x,则DN=5x, 图3 所以%-总 由旋转性质得CF=AE=2x,∠DCF =∠A=90° 又因为∠AC0=∠BCO, 因为四边形ABCD是正方形， 所以△CB0∽△COA, 所以∠DCB=90°，∠ABC=90°，∠ABD=45°， 所以∠CA0=∠COB=. 所以∠DCB+∠DCF=180°， 1 因为tana=2, 所以点B,C,F在同一条直线上 因为∠NCF=∠EBF,∠NFC=∠EFB, 所以0=之 所以△FNC∽△FEB, 所以A0=2B0, 所以C。CF EB=BF 在Rt△AB0中，A0+B02=AB,AB=5, 所以4B02+B02=5, 即-5x 所以B0=1,所以A0=2B0=2. 因为∠CD0=∠BOA=90°，∠BA0=∠CAD, 解得=-1（含去），出=石 所以△BAO△CAD, 所以OB=40 所以AE=2x石=方 CD=AD' 即0020n 2 所以ED=√AE+AD2 +1= 2 解得0D=子， 2 EB=AB-AE=1-专 二3 在Rt△EBG中， 所0：手， EG=BE·sin45°= 2 3 2 31 所以c(子，专) 2 二、填空题 所以sin∠EDM= EG 3 ED= = 10 5 1.9:12.(2-2 cos):13.);14.1283 3 三、解答题 15305米：165 5 17.解：(1) -2sin60°cos45°+3tan30°sin45o tan30° 提示： 15.解：如图2，延长AB交ED的延长线 -2×x 2 3 +3×x号 3 于点M,则AM⊥ME,过点C作CN上MD,则 3 CN=BM,BC=MN=5米 B: 在Rt△CDN中，CD=35米，因为坡比i =25-9 2 =1:05所以会=手 MN D =25. 图2 设CN=4k,DN=3k, (2)因为tan(a+15°)= 3 所以CD=5k=35,解得k=7, 所以CN=28米，DWN=21米. 所以a+15°=30°， 又在Rt△AEM中，∠AEM=52.5° 所以a=15°. ME=MW+DW+DE=5+21+19=45(米)， 18.解：因为∠C=90°，∠A=30°，a=√5， 所以AM=ME·tan52.5°≈45×1.30=58.5（米）. 所以sinA=a=1 c=2,∠B=60, -4 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以c=2a=25. 所以CN=BC·sin∠CBW≈162×0.94≈21.2（海里）. 因为csA=占=月 因为21.2>20，所以船能安全通过. c 2 答：船能安全通过。 所u6=吾-吾×25=8 22.解：(1)设CD=xm,由DE=36m,得CE=CD+DE =(x+36)m. 19.解：(1)因为在△ABC中，AB=AC=13,BD⊥AC于 因为EC⊥AB,垂足为C,∠BDC=45°， 点a,mA=吕。 所以BC=CD=xm. 所以器号即号号 在△BCE中，m∠cEB=器∠cEB=3, 解得BD=12. 所以BC=CE·tan∠CEB=(x+36)·tan31°， (2)因为AC=AB=13,BD=12,BD1AC, 所以x=(x+36)·tan31°， 所以AD=5,所以DC=AC-AD=13-5=8. 解得x=36×m3-36×0:6=54 1-tan3°≈-06 所以tanC=BD-l2.3 0=8=2 答：线段CD的长约为54m 20.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， (2)在△ACD中，am∠CDA=品∠CDA=6, 所以AD=BC,AD∥BC. 所以AC=CD·tan∠CDA=54×tamn6°≈54×0.1= 因为BE=DF,所以AD-DF=BC-BE, 5.4(m). 即AF=EC, 所以AB=AC+BC=5.4+54≈59(m). 所以四边形AECF是平行四边形. 答：桥塔AB的高度约为59m. 又因为AC=EF, 23.解：(1)因为∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， 所以平行四边形AECF是矩形 所以CD=BD,∠ACD+∠BCD=90°， (2)解：因为四边形AECF是矩形， 所以∠AEC=∠AEB=90°. 所以∠B=∠BCD, 因为AE=BE,所以△ABE是等腰直角三角形， 所以∠B+∠ACD=90° 所板=能=竖6=反 因为AH⊥CD, 所以∠AHC=90°， 因为m∠4CB=瓷-号 所以∠ACD+∠CAH=90°， 所以∠B=∠CAH, 所以EC=2AE=22, 所以sinB=sin∠CAH. 所以BC=BE+EC=√2+22=32， 在Rt△ACH中，因为AH=2CH, 即BC的长为32. 所以AC=√Af+CH=W5CH, 21.解：(1)如图4，过点 所以sin∠CAH= CH=CH =5 C作CM⊥AD于M, AC √5CH 5 由题意得，∠CAD=90 70° 45 -70°=20°，∠CBD=90°-A 即snB=得 B 25°M 45°=45°，AB=14×2= (2)因为CD=5,sinB= 5 28(海里)， 5 图4 因为∠CBD=45°， 所以AB=2CD=25, 所以CM=BM, 所以AC=2. 在Rt△CAM中，.tanLACM=AM 因为∠CAH=∠B, CM 即tan70°=28+CM 所以sin∠CAH=sinB=尽 5 CM 解得CM≈16. 设CE=x(x>0),则AE=5x, 在Rt△BCM中，BC=2CM=162≈22.6（海里）. 由勾股定理，得x2+22=(5x)2, 答：B处距离小岛C的距离约为22.6海里。 所以CE=x=1(负值舍去)， (2)如图4，过点C作CN⊥BE于N. 在Rt△ABC中，因为AB=25,AC=2, 在Rt△BCN中，∠CBN=45°+25°=70°，BC=16√2海 所以由勾股定理得BC=4, 里， 所以BE=BC-CE=3. 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 24.解：(1)如图5，过点D作DG1AB,垂P 所以x=1,志匝。1去面 足为G, 2×2 4 因为四边形ABFE是矩形， 所以∠ABF=90°，∠EFB=90°， 因此，原方程的根为x=二1+ ,龙2=二1-7 4 4 图5 所以四边形DGBF是矩形， (2)原方程可化为x2-4x+4=6-x, 所以DG=BF=24cm,BG=DF=32cm. 即x2-3x-2=0. 在△DGB中.m∠B0G-器-器=手 4 这里a=1,b=-3,c=-2, 因而62-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17, 由对顶角相等得∠BDG=a, 所以原方程的根为=3+，五，=3-，叵 所以ama=lam∠BDG=手 2 3.2.3因式分解法 (2)由(1)知BG=32cm,DG=24cm, 1.D;2.B;3.1; 因为BC=14cm,所以CG=BG-BC=18cm, 4.解：(1)原方程可化为 在Rt△CDG中，CD=√CG+DG=30cm, (2x-3)2-3(2x-3)=0, 所以血B=答=号 3 把方程左边因式分解，得 (2x-3)(2x-6)=0, 在Rt△BDG中，BG=32cm,DG=24cm, 由此得2x-3=0或2x-6=0, 所以BD=√BG+DG=40em, 3 所以sin&=sinL.BDG=BC-4 解得=之西=3， BD 5 (2)把方程左边因式分解，得 4 (x-4)(x+3)=0 所以折射率a-品治是- 5 4 由此得x-4=0或x+3=0, 5 解得x1=4,x2=-3. 答：光线从空气射人水中的折射率n为子 重点集训营 1.解：(1)移项，得3x2-4x+1=0. 8期2版 这里a=3,b=-4,c=1, 3.1一元二次方程的概念 因而b62-4ac=(-4)2-4×3×1=4, 1.B;2.D;3.1000(1+x)2=1690:4.2. 5.解：原方程可化为 所以x=49-2 3×2 3 2(x2-2x+1)+bx-b+c=0, 1 整理，得2x2+(b-4)x+2-b+c=0, 所以原方程的根为，=1，=3 所以b-4=-3,2-b+c=-1, (2)这里a=5,b=-5,c=3, 解得b=1,c=-2. 因而62-4ac=(-5)2-4×5×3=-35<0, 3.2.1配方法 所以方程无实数解. 1.C;2.m>1;3.14; (3)这里a=1,b=-26,c=-5, 4.解：(1)(x+3)2-25=0, 因而b2-4ac=(-26)2-4×1×(-5)=44, (x+3)2=25, 所以x=26主座=6±瓜， 开方，得x+3=5或x+3=-5, 2 解得1=2，=-8； 所以方程的根为x=6+, (2)x(x-6)=6, x2=6-. 配方，得(x-3)2=15, 2.解：(1)这里a=1,b=-2(k-3), 开方，得x-3=5或x-3=-√5， c=2-4h-1, 解得x=3+√15，x2=3-√15. 因而62-4ac=4(k-3)2-4(k2-4k-1) 3.2.2公式法 =-8k+40 1.B:2.B: 因为方程有实数根，则-8k+40≥0， 3.k<-3. 解得k≤5. 4.解：(1)这里a=2,b=1,c=-2, (2)由已知，得x=1是方程的根， 因而6-4ac=12-4×2×(-2)=17, 代人，得1-2(k-3)+2-4h-1=0, 6 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 整理，得2-6k+6=0, 所以x4-2x3+3x=4-4x=4-2(-1+5)=6-25. 这里a=1,b=-6,c=6, 三、解答题 因而6-4ac=(-6)2-4×1×6=12, 17.解：(1)开方，得x-2=2或x-2=-2, 所以k=6±2 解得x1=4,x2=0, 2 =3±5， (2)左边因式分解，得(x-1)(x-5)=0, 所以k=3+5,2=3-5. 解得x1=1,x2=5. 8期3,4版 (3)这里a=4,b=-25,c=-1, 一、选择题 因而62-4ac=(-25)2-4×4×(-1)=28, 题号 1 3 6 7 10 所以x=25±2图-5±万 答案D B BB 2×4 4 提示： 解得41=5五，=5：五 4 4 10.解：分两种情况： 18.解：把x=3代入方程a2-bx=3,得 ①.当x>-x,即x>0时， 9a-3b=3,即3a-b=1, 因为maxx,-x=x2-3x-5, 所以2025-3a+b=2025-(3a-b) 所以x=x2-3x-5, =2025-1=2024 整理，得x2-4x-5=0, 19.解：他俩的解答都不正确。 因式分解，得(x-5)(x+1)=0, 我的解答：移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 所以x-5=0或x+1=0, 提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0, 解得x=5,:=-1(舍去)； 去括号，得(x-3)(3-x+3)=0, ②.当x<-x,即x<0时， 则x-3=0或6-x=0, 因为maxx,-x}=x2-3x-5, 解得x1=3,x2=6. 所以-x=x2-3x-5, 20.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： 整理，得X2-2x-5=0, 因为x=-1是方程的根， 配方，得(x-1)2=6, 所以(a+c）×(-1)2-2b+(a-c)=0, 开方，得x-1=±6， 所以a+c-2b+a-c=0,即2a-2b=0, 所以x-1=√6或x-1=-6, 所以a=b, 解得x=1+√6（舍去），x2=1-√6. 所以△ABC是等腰三角形 综上所述，x=5或x=1-√6. (2)因为△ABC是等边三角形，所以a=b=c, 二、填空题 所以(a+c)x2+2bx+(a-c）=2ax2+2ax=0, 11.x1=6,x2=-6;12.-1; 所以x2+x=0,解得1=0，x2=1. 13.9,x1=x2=3;14.m≤2且m≠1； 21.(1)解：根据题意，得 15.x2-6x+6=0:16.6-25. (22+5x-3)-(x2+x-8)=2, 提示： 整理，得(x+2)2=1, 16.解：因为x2+x-1=0, 解得x1=-1,x2=-3, 所以x2+x=1,x2=1-x, 即当x为-1或-3时，代数式A比B的值大2. 所以x-2x3+3x (2)证明：A-B=(2x2+5x-3)-(x2+x-8) =x4+x3-3x2+3x =2x2+5x-3-x2-x+8 =x2(x+1)-3x·x2+3x =x2+4x+5 =1-x-3x(1-x）+3x =x2+4x+4+1 =1-x-3x+3x2+3x =(x+2)2+1, =1-4x+3(1-x）+3x 对于任意的x值，(x+2)2≥0， =1-4x+3-3x+3x 所以(x+2)2+1>0,即A-B>0, =4-4x. 所以对于任意的x值，代数式A-B的值恒为正数， 由x2+x-1=0,且x>0, 22.解：(1)③. 解得x=1+⑤ (2)因为3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”， 2 所以m=3+n,所以n=m-3, 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以原方程为3x2+mx+m-3=0. 6.解：(1)将x1=1代人方程，得6+m=0,m=-6. 因为m是此“完美方程”的一个根， 由根与系数的关系，得1+2=-2， 所以3m2+m2+m-3=0,即4m2+m-3=0, 所以x2=-3. 解得m=-1或m=4 3 m的值为-6，方程的另一根为-3. 23.解：(1)因为(x+5)(x+9)=5, (2)由题意，得x+=-2,x名=受 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 因为x+x号+212-xx号=(x1+x2)2-(x2)2=0, 所以(x+7)2-22=5, 所以(x+7)2=9, 所以4-牙=0，解得m=士4 所以x+7=3或x+7=-3, 又因为4=42-8m≥0，所以m≤2， 解得x=-4,x2=-10. 所以m=-4. 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4，-10. 3.5一元二次方程的应用 故填7；2；-4；-10. 1.B;2.D;3.2;4.9. (2)因为(x-5)(x+7)=12, 5.解：(I)因为四边形ECDF是矩形，所以CE=26-x 2 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 所以(x+1)2-36=12, 由题意，得26x.x=60, 2 所以(x+1)2=48, 解得x1=6,x2=20. 所以x+1=43或x+1=-43, 因为0<x≤8，所以x=20不合题意，舍去， 解得x=-1+45,x2=-1-45. 所以x=6. 24.解：(1)3=2×i=-i, 答：当苗圃园的面积为60m2时，x的值为6. 4=2×2=1, (2)因为四边形ACDF是矩形， 6=(2)3=-1, 所以AC=26+8-2红=17-x 2 224=(2)102=1. 故填-i;1;-1;1. 依题意，得8≤七， 解得8≤x<17. l17-x>0, (2)因为(x-1)2=-1,所以(x-1)2=2, 由题意，得(17-x)x=60, 所以x-1=±i, 整理，得x2-17x+60=0, 所以x1=1+i,x2=1-i 解得x1=5(舍)，x2=12. (3)移项，得x2-4x=-8, 答：当苗圃园的面积为60m2时，x的值为12. 配方，得（(x-2)2=4i2, 重点集训营 所以x-2=±2i, 1.C;2.10. 解得x=2+2i,x2=2-2i. 3.解：(1)不存在.理由： 9期2版 过Q作QM⊥AD,交AD于M, 33一元二次方程根的判别式 则∠QMD=∠QMA=90°， 1.D;2.D;3.D;4.-3;5.3. 所以四边形ABQM是矩形， 6.解：(1)4=b2-8a 所以AM=BQ=tcm,QM=AB=3cm, =(a+4)2-8a 所以MP=(6-2t)cm, =a2+16>0, 所以PQ0=(6-2t)2+32. 所以方程有两个不相等的实数根。 因为四边形ABCD是矩形， (2)因为a2+bx+2=0有两个相等的实数根， 所以∠D=90°， 所以4=62-4a×2=62-8a=0,且a≠0， 所以PC=t+32 满足条件的a,b的值不唯一， 因为PQ1PC,所以∠QPC=90, 满足6-8a=0(a≠0)即可. 所以PQ+PC2=CQ, 例如：令a=2,b=4,则b2-8a=42-8×2=0, 即(6-2t)2+32+t+32=(6-t)2, 则原方程为2x2+4x+2=0, 化简，得2-6t+9=0. 解得x=x2=-1. 因为4=62-4ac=-36<0, 3.4一元二次方程的根与系数的关系 所以方程无实数根， 1.D;2.C;3.C;4.-5;5.15. 故不存在某一时刻t,使得PQ上PC. —8 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 (2)由折叠的性质，得 因为点D为线段AB的中点，所以AD=BD, ∠AQB=∠AQB', 又因为∠ADP=∠BDE, AB'AB =3 cm,BO B'O t cm. 所以△APD≌△BED, 因为四边形ABCD是矩形， 所以AP=BE. 所以AD∥BC,所以∠AQB=∠PAQ, 因为AP=2t, 所以∠AQB'=∠PAQ, 所以BE=2t. 所以PA=PQ=(6-t)cm, 因为AB=BC=3,CQ=t, 所以B'P=6-t-t=(6-2t)cm. 所以BQ=3-t, 在Rt△AB'P中，∠AB'P=90°， 所以QE=3-t+2t=3+元. 所以32+(6-2t)2=(6-t)2, 因为点Q在线段BC上，点P不与点A重合， 即t2-4t+3=0,解得t=1,2=3. 所以0<t≤3. 答：当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B'恰好落在PQ 过点P作PH⊥BC于点H,则PH=3,BH=2t 边上 由勾股定理，得 9期3,4版 PQ2=QⅢ+PH=(3-t-2t)2+32 一、选择题 =(3-3t)2+32. 题号1 3 4 6 7 8 10 QE2=(t+3)2, 答案ABC DD C B PE2=E+PH=(2t+2t)2+32=16t2+9. C 根据△PQE是以PE为腰的等腰三角形，分类计论： 提示： ①当PQ=PE时，(3-3t)2+32=162+9, 9.解：因为点P(a,c)在第四象限， 整理，得7+18t-9=0, 所以a>0,c<0, 所以ac<0, 解得：=子或6=-3（会）： 所以方程aax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac>0, ②当PE=QE时，162+9=(t+3)2, 所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根. 整理，得15-6t=0, 10解96+20256+5=0两边同乘京，得 解得1=号或1=0（合） ”+225x方+9=0 综上所述，4的值为号或号 因为5a2+2025a+9=0, 三、解答题 所以a,石为一元二次方程5x+2025x+9=0的两个根， 17.解：因为α，B为方程的两个实数根， 所以a+B=6①，B=-k. 因为ax+2B=14②， 二、填空题 由①②，解得Q=-2,B=8, 11.-7;12.k>-1;13.10: 所以k=-aB=16, 14-1:154:16号或号 所以方程的两个实数根为-2和8，k的值为16. 18.解：(1)设这两个月的月平均增长率为x, 提示： 根据题意，得30000(1+x)2=36300 15.解：因为关于x的一元一次方程x2-4x+k-1=0有 解得x=0.1=10%或x=-2.1(舍). 两个实数根1,2， 答：这两个月的月平均增长率是10%： 所以x+x2=4,x·x2=k-1. (2)36300×(1+10%)2=43923>43500. 因为若x1,,2分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长 答：6月份接待人数能突破43500人 为0， 19.解：(1)因为关于x的方程2-(a+1)x+。2+1= 所以x+x号=（√10)2=10， 0有两个不相等的实数根， 即(x1+x2)2-2x1·x2=10. 由根与系数的关系，得42-2(k-1)=10, 所以4=[-(a+DP-4x1×(分a2+1） 解得k=4. =2a-3>0, 16.解：因为AG∥CF,AB⊥CF,所以AB⊥AG, 所以∠GAB=∠ABF=90°. 解得a>受， 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以a的最小整数值是2. (3)解：依题意，得x2-x+n=x, (2)因为x2-mx+2m-1=0有两个实数根， 即x2-(n+1)x+n=0有两个相等的实数根， 设原方程的两个实数根分别为a,b, 所以4=[-(n+1)]2-4×1×n=0, 则a+b=m,ab=2m-1, 整理，得n2-2n+1=0, 所以a2+62=(a+b)2-2ab, 解得n=1. =m2-2(2m-1), 23.解：(1)因为在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0中， =m2-4m+2. 4=62-4ac 又因为a2+b2=7, =[-(2k+3)]2-4(2+3k+2) 所以m2-4m+2=7, =1>0, 解得m=5或m=-1. 所以方程有两个不相等的实数根。 当m=-1时，4=m2-4(2m-1)=13>0,符合题意； (2)因为x2-(2k+3)x+2+3k+2 当m=5时，4=m2-4(2m-1）=-11<0,不符合题意 =(x-k-1)(x-k-2)=0, 意 解得x1=k+1,2=k+2. 所以m=-1. ①不妨设AB=k+1,AC=k+2, 20.解：(1)x☆4=4x2+4=20, 所以当斜边BC=5时，有AB2+AC=BC, 即4x2=16, 即(k+1)2+(k+2)2=25, 解得x1=2,3=-2; 解得k1=2,k2=-5(舍去). (2)由已知，得22a+a=5a<0, 所以当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形， 解得a<0. ②因为AB=k+1,AC=k+2,BC=5, 在方程22-bx+a=0中， 由(1)知AB≠AC,故有两种情况： 4=(-b)2-8a≥62-8a>0, (i)当AC=BC=5,即k+2=5时，解得k=3, 所以方程2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根。 此时AB=3+1=4. 21(1)解：因为方程是勾系一元二次方程，且a=3,b= 因为4,5,5满足任意两边之和大于第三边， 4. 所以此时△ABC的周长为4+5+5=14； 所以c2=a2+62=32+42=25. (i)当AB=BC=5,即k+1=5时，解得k=4, 因为c>0, 此时AC=k+2=6. 所以c=5(负值舍去)， 因为6,5,5满足任意两边之和大于第三边， 所以原方程为：3x2+10x+4=0. 所以此时△ABC的周长为6+5+5=16. 因为4=102-4×3×4=52>0， 综上，当k=3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周 所以x=-10±5匝=-10±2店。-5±页 长为14；当k=4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长 2×3 6 3 为16. 所以55专压：5，厘 24.解：(1)因为x2-3x+2=0, 3 3 所以(x-2)(x-1)=0, (2)证明：因为x2+2cx+b=0是勾系一元二次方程， 所以x-2=0或x-1=0 所以c2=1+62, 解得x1=2,x2=1, 所以4=4e2-4b=4(1+62)-4b 因为2÷1=2， =462-4b+4 所以方程x2-3x+2=0是“倍根方程”. =46-广+3 (2)x2-(k+3)x+2k+2=0, 所以2-(k+3)x+2(k+1)=0, 因为-分）≥0， 所以(x-2)[x-(k+1)]=0, 所以4=4(6-)广°+3>0 所以x1=2,x2=k+1. 若x1=2x2,则2=2(k+1),解得k=0: 所以关于x的勾系一元二次方程x2+2cx+b=0必有实 若2=2x1,则k+1=2×2,解得=3； 数根 所以k=0或k=3. 22.(1)解：-3和4：7. (3)设两根分别为x1,2x1, (2)证明：依题意，得2x2-x+1=x, 则x1+2x1=6, 即2x2-2x+1=0. 解得x1=2,所以x2=4, 因为4=(-2)2-4×2×1=-4<0， 所以方程的两根为2和4. 所以2x2-x+1=x没有实数根， 由根与系数的关系知m=2+4=6,2n=2×4=8, 所以代数式2x2-x+1没有不变值. 解得n=4. -10-a N ∞ S981000-1590 86t1L0S-1/90 0't 竖 .1 ) ) 'S'OI nis -io 罩 :0 国) 内 9 6 白 d )02 30) ) (I)' -() la 16.(12分)国庆节期间，张华与李明相约攀登梵净山附近的 17.(12分)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某 18.(15分)综合与实践 座小山.如图15，已知山高534m(DF=534m,且∠AFD=90°)，他 晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距 素材一：某款遮阳棚（图17-①），图17-②、图17-③是它的 们先从山脚A处步行300到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢 窗户的水平距离BQ=4m,仰角为a;淇淇向前走了3m后到达点 侧面示意图，点A,C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中 速度再从B处到达山顶D处.已知点A,B,D,E,F在同一平面内，山 D,透过点P恰好看到月亮，仰角为B,如图16是示意图.已知淇淇的 长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整.CA=CB 坡AB的坡度i=1:5,山坡BD与水平线的夹角为53（参考数据： 眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m,点P到BQ的距离PQ =CD=1.5米 sin53°≈0.80，c0s53°≈0.60，tan53°≈1.33) =2.6m,AC的延长线交PQ于点E(注：图中所有点均在同一平面). (I)求B,D两地间的垂直高度差DE; (I)求B的大小及tan的值； (2)若他们攀登第一段斜坡AB时的速度为30m/min,攀登第 (2)求CP的长及sin∠APC的值 二段斜坡BD时的速度为l6/min,求他们从山脚A处到山J顶D处 需要多少min 图17 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切 BA53° 值： 时刻/时 12131415 a的正切值52.51.251 【问题解决】 (1)如图17-②，当∠ACB=90°时，这天12时在点E位置摆 初中数学·湘教中考同步达标检测卷 放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； 初中数学 (2)如图17-③，旋转摇臂CB,使得点B离墙壁的距离为1.2 米，为使绿萝在这天12时~14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位 置与墙壁的最远距离是多少？ 湘教中考同步达标检测卷 参考答案见8期 数评超 2026年8月6日·星期四 初中数学 6期总第1202期 (湘教中考) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 思维天地 三、方程思想 例3如图4，一机器 M 三角函数中的数学思想 人从A处向正南方向走 739 200米到达B处，再从B处 向正东方向走500米到达B ◎湖南李青松 一、转化思想 C处，然后从C处向北偏 图4 4 tan LABD=3,AB=5,BC=6,则CD的长为西37°走到D处，最后从D回到A处，已知D在 例1如图1，在 A的北偏东73°方向，则C到D(即CD)的距离是 △ABC中，∠B=30°，AC =2,6mC=多则AB边 解析：如图2所示，当△ABC是锐角三角形 米（结果保留整数，参考数值：sin73° 30° B 19 图1 时，在R△ABD中，m∠ABD=册=令， 20,0s73°≈29 F100,tan73°≈ 9379= 的长为 所以设AD=4x,BD=3x, cs37专：am379子 41 解析：过点A作AD⊥BC于点D, 在Rt△ABD中，由勾股定理得(3x)2+ 解析：设CD为x米， G-2-号4C=2 CD (4x)2=52 由题意知∠ECD=37°，∠MAD=73°， 所以CD= 6 则CE=CDeos37°=4 t, DE=CDsin37°=3， 3 在Rt△ACD中，由勾股定理易得AD=S, 8 图图2 解得x=1, 所以MD=500-3x t, 又因为∠B=30°，所以AB=2AD= 16 所以BD=3,所以CD=BC-BD=3; 所以w==150-品 故滨9 如图3所示，当△ABC是钝角三角形时，同 因为AB+AM=BM=CE,即200+150- 理可得BD=3,所以CD=BC+BD=9. 二、分类讨论思想 综上所述，CD的长为3或9. =于，解得=2500357 9 7 例2已知AD是△ABC中BC边上的高， 故填3或9. 故填357 例1在一次综合实 专题辅导 践活动中，某小组对一建 筑物进行测量.如图1，在 30 坡度仰角 联袂解题 山坡坡脚C处测得该建筑 物顶端B的仰角为60°，沿 图1 ⊙安徽赵娇 L山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B 在Rt△CDG中，由勾股定理，得CD= 的仰角为30°.已知山坡坡度i=3:4,即tan0= 所以AC=HF=5(,+12)m √DG+CG=30√0（米）. ?,请你帮助该小组计算建筑物的高度A(结 因为DF-FH=DH, 所以-停y+12)=16. 答：芳芳和亮亮之间的距离为30√10米 果精确到0.1m,参考数据：3≈1.732). (2)过点D作DH⊥AB于点H, 解析：作DE⊥AC交AC于点E,作DF⊥AB 解得y=6+83, 则四边形BHDG是矩形， 交AB于点F,作CH⊥DF交DF于点H, 所以BH=DG=30米，DH=BG DE AF,HF AC,DH CE. 所以AB=BF+FA=6+85+12=18+ 因为∠ABC=90°，∠ACB=45°， 因为tan0=3 85≈31.9(m). 4 所以△ABC是等腰直角三角形， 答：该建筑物AB的高度约为31.9m. 所以设DE=3xm,则CE=4xm, 例2如图2，芳芳 所以AB=BC, 在Rt△CDE中，∠E=90°， 在C处看见飞机A的仰 设AB=BC=x米，则AH=AB-BH=(x 由勾股定理，得(3x)2+(4x)2=20, 角为45°，同时亮亮在斜RP 30)米，DH=BG=CG+BC=(x+90)米 解得x=4(负值舍去)， 坡CF上的D处看见飞机。G 45 在Rt△ADH中，∠ADH=30°， 所以DE=AF=12m,CE=DH=16m. A的仰角为30°，若斜坡 图2 设BF=ym,则AB=(y+12)m, CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米(，点E, 议a∠0=品：9。 在Rt△BDF中，∠BDF=30°， G,C,B在同一水平线上)求： 因为Ian∠BDF=BF=5, (1)芳芳和亮亮之间的距离CD: DE 3 (2)此时飞机的高度AB(结果保留根号). 解得x=603+90 所以DF=√5ym. 在Rt△ABC中，∠ACB=60°， 解折：山)市题盒，代瓷：子 所以AB=(605+90)米. 因为m∠ACB-把=万， 因为DG=30米， 答：此时飞机的高度AB为(605+90)米. 所以CG=90(米)， 【对应练习见《重点集训营》】 2 素养专练 数理极 2.3解直角三角形 2.4解直角三角形的应用 重点集训营 1.下列条件中，不能解直角三角形的是 1.如图1，一把梯子靠在垂直水平地面的墙 1.如图1，某中学依山而建，校门A处有一坡 上，梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为 度i=5:12的斜坡AB,长度为13米，在坡顶B处 A.已知两条直角边 α，则梯子底端到墙面的距离AC为 看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B B.已知两锐角 A.3sina米 B.3cosa米 点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角 C.已知斜边和一条直角边 C.3米 D.3米 是∠CEF=60°，CF的延长线交校门处的水平面 D.已知一边与一锐角 sin a cos a + 于点D,求楼顶C的高度CD(结果保留根号) 2.如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6, BC=8,D为AC边上一点，且an LABD=2,则 BD的长度为 () 4.155 B.25 C.5 D.245 8 11 图1 图2 2.如图2，某校教学楼后面紧邻着一个山坡， 坡上面是一块平地.已知BC∥AD,斜坡AB长26 m,斜坡AB的坡度为12：5，为了减缓坡面，防止山 2.鹏鹏和好朋友一起旅游.如图2，他们租住 依清坡学安决定对该坡进行改适，经地质人员 的宾馆AB坐落在坡度为i=1:2.4的斜坡BD上 图1 勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡 如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少 宾馆AB高为129米.鹃鹏在宾馆顶楼的海景房A 3.如图2，四边形OABC中，OA在x轴的正半 处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像C(雕像的 轴上，∠OCB=∠0AB=90°，AB=3,BC=5, 向右移动 m时，才能确保山体不滑坡 高度忽略不计)，已知雕像C距离海岸线D的距离 m∠10C=cm∠CB=多，则点C的坐标是 (取an53-手》. CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，远处 3.如图3，轮船B在码头A 海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°. 4.如图3，在△ABC中， B 的正东方向，与码头A的距离为 (1)求BC的长度； ∠ACB=90°，CD是斜边AB 100海里，轮船B向北航行40海 (2)求轮船E距离海岸线D的距离ED的长 的中线，过点D作DE⊥AC, 里到达C处时，接到D处一艘渔 (结果保留整数，参考数据：tan27°≈0.51，sin27 垂足为点E.若smA=了，AB 船发来的求救信号，于是沿北偏 ≈0.45) A 图3 西45°方向航行到D处，解救渔 =6,则△CDE的周长为 船后轮船沿南偏西32°返回到码头A,那么码头A 与D的距离为海里（结果保留整数，参考 5.如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高， 数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈ 图2 42是BC边上的中线osC-要血B=,40 0.6). 4.如图4所示，一座小山顶的水平观景台的 =1. 海拔高度为1600m,小明想利用这个观景台测量 数理报社试题研究中心 (1)求BC的长； 对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选 参考答案见8期 (2)求tan∠DAE的值， 定了一点A,在点A处测得C点的仰角∠CAE= 42°，再在AE上选一点B,在点B处测得C点的仰 辅助线周周练 角∠CBE=45°，AB=10m.求山J顶C点处的海拔 1.如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为BC 高度（小明身高忽略不计，参考数据：sin42°≈的中点，点E在AB上，AD,CE交于点F,AE=EF 0.67,cos42°≈0.74，tan42°≈0.90). =4,FC=9,则cos∠ACB的值为 图1 图2 2.如图2，△ABC中，CD为边AB上的中线，点 E在AC上，连接BE交CD于点F,∠BEC=120° BF=AE+EF,若AB=4√万，AE=8,则CD的长 为 4看▣ H门开4H9四必狂琪三畔￥‘H0Π举 缸兴衫丹中：到三出Y量“La‘LvR米：其三其 厚搏y士O T X3,a学‘f⊥aaTv,V 学‘LV县‘HV=L风到‘L适Ha斗吃乙 包￥搏怕OV‘OaR米基☑出唑‘Wa =&V‘6=HO=Wa卫1单孙9处其三毙专出 唑Wa斜买‘4a=Na影角‘W庋q斗'I 【些許】 A.(25+3)米 B.5米 13.如图12，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=10, 2.3~2.4同步达标检测卷 C.6米 D.7米 CD=6,eLADC-子则AD的长为一 7.如图7，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测 ◆数理报社试题研究中心 三、解答题（本题共5小题，共55分） 得点P在北偏东30°方向上.如果AP=65千米，那么A,B两点间 14.(8分)如图13，在△ABC中，AB=6,∠B=30°，anC=3 (答题时长120分钟，满分120分) 的距离为 ( AD⊥BC于点D,求AD和AC的长 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）》 A.6千米 B.63千米 C.9千米 D.10千米 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A及边BC=a,则Rt△ABC 的斜边长应为 ( A.asin A B品 C.acos A D.a cos A 2.如图1，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜 坡从A点骑行到B点的路程为80m,其上升的垂直高度CB为40m, 图8 则斜坡AB的坡度为 8.如图8，在△ABC中，∠ABC=90°，an∠BAC= 2,MD=2, A.30° B.2:3 C.1:3 D.1:2 BD=4,连接CD,则CD长的最大值为 A.25+ B.25+1 初 c25+ D.25+2 初 数学 图2 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 15.(8分)如图14，海中有一个小岛C,某渔船在海中的A点测 5 整 3.如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= 13,点D在BC边 9.在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=2,BC=1,则∠B的度数 得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B 湘教 为 点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航 湘 上，且CD=AC,连接AD,若AB=13,则BD的长为 10.如图9，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在A处在 行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已 教 中 A.8 B.7 C.6 D.5 中 接受放射性治疗时，射线从肿瘤右侧10cm的B处进入身体，且射线 知A,C相距30 n mile,求C,D间的距离（计算过程中的数据不取近 4.如图3，为了测量某建筑物B的高度，在平地上C处测得建 步 与皮肤所成的夹角为∠CBA=32.7°，则肿瘤在皮下的深度AC约为 似值). 筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进18m到达D处，在D处测 步 达 cm(参考数据：sin32.7°≈0.54，c0s32.7°≈0.84， 达 60 标 得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于 ( tan32.7°≈0.64) 检 459 A.18(√3+1)m B.18(5-1)m 皮肤C。-10cm 测 C.9(5+1)m D.9(5-1)m B 卷 5.如图4为单车示意图，AB与地面平行，点A,B,D共线，点D, 器官 F,G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE=70°，车轮半 肿瘤 10 径为20cm,当BC=60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时 图9 坐垫C离地面高度约为（结果精确到1cm,参考数据：sin70°≈ 11.如图10，长尾夹的侧面是△ABC,当AC与AB张开到互相平 0.94,cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) ( 行时，达到最大夹纸厚度，已知AB=AC=15mm,∠ACB=70°，则 A.80 cm B.72 cm C.76cm D.70 cm 这个长尾夹最大夹纸厚度为 mm(结果精确到1mm,参考 数据：sin70°=0.94，cos70°=0.34，tan70°=2.75). 12.如图11，斜坡CD的坡度i=1:2,在斜坡上有一棵垂直于水 平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上 的影子BE长为10米，则大树AB的高为 米 M 地面 图4 图5 图6 601 6.桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图5），是我国古代农用工具，始 见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械桔槔示意 B 图如图6所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠 杆，AB=6米，0A:OB=2:1.当点A位于最高点A时，∠AOM= C 图11 图12 120°.此时，点A,到地面的距离为