4.5 第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

拓展在线 解得a=2,b=1,c=一1. 15.(1)①y=x2-8x-7②4-23 ,二次函数y=2x2十x一1的图象经过A,B,C三点， (2)y=x2+2ax+a-3=(x+a)2-a2+a-3, (2)设有二次函数y=a1x2十b1x十d1,它的图象经过A, .抛物线的开口向上，.当x=一a时，y有最小值 B,D三点，则得到关于a1,b1,d1的三元一次方程组： 甲的说法合理。 d1=- (3)正确. {a1+b+d=2, 'y-=x2+2ax+a-3=(x+a)2-a2+a-3, a1-b1+d1=-4, .当x=-a时，y有最小值为-a2+a-3. 解得a1=0,b1=3,d=-1. 1211 即ymm=-a2+a-3=-（a-2) .一次函数y=3x一1的图象经过A,B,D三点.这说明 一4 没有一个这样的二次函数，它的图象能经过A,B,D三点. 号时，m有最大值，为一。 能力在线 .当a= 8.B9.C10.A 阶段测评6(4.1~4.2) 11.y=-2(x十1)2+3或y=-4(x+1)2+3 1.A2.C3.A4.A5.B6.C 12.(1)(-1,0) 7.直线x=一18.2（答案不唯一）9.一1 (2),二次函数图象的顶点坐标为(1，一4)，与x轴的一 个交点坐标为(3,0). 10.y= 10-x 0<x<10 4 .设二次函数的表达式为y=a(x一1)2一4， 11.t≤-5或t≥-312.①②④ 把(3,0)代入y=a(x-1)2-4,解得a=1, 13.(1) .y=(x-1)2-4=x2-2x-3. … -1 0 1 2 3 (3)y=-x2+2x+3 拓展在线 5 -4 2 -2 、6 13.(1),抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)与y轴交于点C, ∴.点C的坐标为(0，一5)..OC=5. (2)图略. .'OC=50B,.'.OB=1. 14.(1).二次函数y=ax2十bx十c(a>0),其图象上有不同 又点B在x轴的负半轴上，.点B的坐标为（一1,0）. 的两点，坐标分别为(m,n),(2一m,n), 将点A(4,-5),B(-1,0)代入y=ax2+bx-5中， 对称轴为直线x=m十？一m=1,抛物线开口向上， 2 得16a+46-5= a-b-5=0. 5’解得a=1, b=-4. .当x=1,最小值=一4， ∴.该抛物线的表达式为y=x2-4x一5. ∴.该二次函数图象的顶点坐标为(1，一4) (2).:v=x2-4.x-5=(x-2)2-9, (2)(m,n)在y=a(x-1)2+p的函数图象上， .顶点D的坐标为(2，一9).连接AC. .n=a(m-1)2+p,.n-p=a(m-1)2=9a, .A(4,-5),C(0,-5), .a≠0，∴.(m-1)2=9,∴.%=4，m2=-2. .AC∥x轴，AC=4. 15.(1)由二次函数)y=3(x-3m)2+4-2m知，抛物线顶点 ∴.SAABC= 2×4×5=10. 坐标为(3n,4-2n). 设x=3ny=4-2m=-号×3n+4,则y=- 2 3x十4. Sm=2×4X[-5-(-9)]=8. ∴.四边形ABCD的面积为S△ABc十S△AcD=18. 抛物线的顶点始终在直线y=一子x十4上 微专题8求二次函数的表达式 1.B2.y=-3(x+1)2+2 (2)由题意可得(b十2)十(6n十b-4)=6n,则b=1. 1 .A(3,a). 3.y=2x2-7x-14.D5.B 把A3,a代入y=专z-3m)+4-2m,得 6.由题意知，抛物线与x轴的交点坐标为(5,0)和(1,0)， 可设抛物线的表达式为y=a(x一5)(x一1)， 8-w+4-2=()+号≥， 抛物线与y轴的交点是(0,5)， .5=a(0-5)(0-1)..a=1. a>5 .抛物线的表达式为y=(x一5)(x一1)=x2-6x十5. 7.y=2x2-38.C 16.(1)将点A(1,0),B(4,0)代人y=ax2+bx+2中，得 .a把1,0).(0，号)代人抛物线y=-号r+bz十c,得 0=a+b+2, 10=16a+46+2.解得 a2 1 5 b=- 2 +b+c=0, b=-1, 2· 解得 3 3 c一2 对称轴为直线x=一2a=2 c=2’ 则抛物线的表达式为y= -x+是 1 5 (2),四边形OECF是平行四边形，OE= 29 ∴FC=OE-号C点横坐标x=OE+FC=5,在y= (2)y=- 22-x+号=-(x+1+2, 可以将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单 -号x+2中，令x=5,则y=2 1 位长度，表达式变为y=一2x,此时抛物线经过原点. .点C的坐标为(5,2) (答案不唯一) 4.3二次函数的表达式的求法 4.4二次函数与一元二次方程的关系 基础在线 基础在线 1.D2.y=-x2+1(答案不唯一) 1.B2.C3.C4.D5.C 3.二次函数的顶点为(1，-4)， 6.设y=2x2一4x-1.画出二次函数y= .设二次函数表达式为y=a(x一1)一4. 2x2一4x一1的图象如图所示.由图象知， 把(2，-3)代人y=a(x-1)2-4,得-3=a-4, 当x≈2.2或x≈-0.2时，y=0. 43 解得a=1.∴.y=(x-1)2一4. .方程2x2一4x一1=0的实数根为 4.A5.B6.A x≈2.2，x2≈-0.2. O1334 7.(1)设有二次函数y=ax2十bx十c,它的图象经过A,B,C 7.(1)根据实际情况填写，略 三点，则得到关于a,b,c的三元一次方程组： (2)解方程137=0.06x2一0.02x+120, /c=-1, a+b+c=2, 解得石-17，-一碧（含去）. a一b十c=0, 探究在线·九年 .他的年龄应该是17岁」 当x=5时，y=a(5-26)2+k=441a+k. 8.D9.0或1 :抛物线与钢柱AB有交点，.0≤441a十k≤3. 能力在线 将a=-k+5代入，得0441(-k+5)+k≤3. 10.C11.D12.2 13.(1)证明：令y=0,则x2-2kx一1=0. -2205≤-40≤-2202.÷282≤≤8 .△=(-2k)2-4X1×(-1)=4k2+4>0. 第2课时利用二次函数解决销售问题及其他问题 .一元二次方程x2一2kx一1=0中，无论飞为何值，都有 基础在线 两个不相等的实数根. 1.C2.B ,∴.二次函数y=x2一2kx一1中，无论k为何值，其图象与 3.(1)(x-20)「400-20(x-30)7 x轴都有两个交点. (2)根据题意，可列出函数为y=(x一20)[400一20(x一 (2),该二次函数图象的对称轴为y轴， 30)],整理，得 -2k 六一2X1-0,解得k=0.该二次函数为y=x2-1. y- -20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500. 令y=0,则0=x2-1,解得x1=1,x2=-1, 所以当x=35时，y取得最大值，最大值为4500. .它与x轴的交点坐标为(1,0)，（一1,0）. 故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利 润为4500元. 拓展在线 14.(1)m<4(2)m<8m8 4.(1)根据题意，得=（40十4x)(40一x) =-4(x-15)2+ (3)由题意，令x2-4x十m=2x-1, 2500(0≤x≤40) ,'.x2一6x十1=一m. (2):w=-4(x-15)2+2500(0≤x≤40)， .二次函数y=x2-4x十m的 y 则当x=15时，w有最大值，最大值为2500元 图象在x≤4的部分与一次函数 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天 y=2x一1的图象有两个公共点 最多盈利2500元. -2-1,012345678x 等价于二次函数y=x2一6x十1 (3)根据题意，得一4(x-15)2+2500=2400, 的图象在x≤4的部分与一次函 解得x=10或x=20. 数y=一m的图象有两个公共点. A ,商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， 由题意，y=x2 -6x十1= .x=20. (x-3)2-8(x≤4). y=-m 答：每件衬衫应降价20元 如图. 82 5.21m 当x=4时，y=(4-3)2-8=-7. 6.(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9 由题意，结合图象，可得一8<一m≤一7，.7≤m<8, ..当0x<13时，学生接受能力逐渐增强，当13≤x≤30 4.5二次函数的应用 时，学生接受能力逐渐减弱 第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、 (2)当x=13时，学生接受能力最强，达到59.9. 能力在线 面积问题 7.D8.240 基础在线 9.(1)设y=kx十b, 1.A2.22 3.(1)设抛物线的函数表达式为y=ax2, 将(60,40)，(70,30)代入，得(90十分8解得合10d: 由题意可得B点坐标为(3，一3)， .y=-x+100. ∴.一3=aX32,解得a= (2)S=(-x+100)(x-50)=-x2+150x-5000, 3 .a=-1,b=150,c=-5000, “在此坐标系下的抛物线的表达式为y=一3x. 1 ,当x= b=75时， 2 2)当x=1时y=-子X72=1 3 S0大值=4如c-:-4X(-1)XC-5000)-150=625. 0M-8,3一号-号(m这些木板最高可维枚号n 4a 4×(-1) 8 所以，当销售单价定为75元时，该商户获利最大，最大利 润是625元. 4.16m2 拓展在线 5.(1)由题意可知，平行于墙的一边BC的长为(20一2x)m, 10.(1)当1≤x≤40时，(x+50-40)(100-x)=2800, 2088C:006=-2r+202 整理，得x2一90x十1800=0， 解得x1=30,x2=60(不合题意，舍去)， .y关于x的函数表达式为y=-2x2十20x(0<x<10)」 .x=30; (2),y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50(0<x<10), 当41≤x≤70时，(90-40)×(100-x)=2800, .当x=5时，y取得最大值50. 解得x=44 .当x=5时，矩形花圃的面积最大 答：销售该商品第30天或第44天时，当天销售利润为 能力在线 2800元. 6.能7.0.38.318 (2)当1≤x≤40时， 9.(1)S=2x2-70x+600 u=(x+50-40)(100-x)=-x2+90x+1000=-(x- (2),种植花草的面积为532m2,即S=532, 45)2+3025, ..2x2一70x+600=532,整理，得x2-35x+34=0, .'a=-1<0,1≤x≤40， ∴.x1=1,x2=34>30(不符合题意，舍去). .小道进出口的宽度为1m. .当x=40时，当天销售利润0最大，最大值=一(40一 拓展在线 45)2+3025=3000(元)； 当41≤x70时，=(90-40)×(100一x)=一50x+5000, 10.(1)由题意可得顶点F的坐标是(25,5). 设抛物线的表达式为y=a(x-25)2+5, ,-50<0,41≤x≤70， ,抛物线经过原点O, ∴当x=41时，当天销售利润w最大，大值=-50×41十 5000=2950(元). ∴.将(0,0)代入，得a(0-25)2+5=0,解得a= 1251 .3000>2950, ∴.销售该商品第40天时，当天销售利润最大，最大利 .y= 125(x-25)2+5. 润是3000元. (21 微专题9二次函数的图象与字母系数的七种关系 1.A2.C3.14.B (3)由题意，设修改钢架后抛物线的顶点坐标为(26，) ∴.抛物线的表达式为y=a(x一26)2十. 5.由图象，知28，解得(3 ln+5<0, ,抛物线经过点F(25,5), .m-3<0,m+n<-2. ,∴.5=a(25-26)2十k,獬得a=-k+5. ∴.√(m-3)7+√-|m+n=3-m-n+m十n=3. 级数学（上）·XJ一 214.5 二次函数的应用 ©第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题 ①基础在线沙知识要点分美然 … 知识点1利用二次函数解决实物抛物线问题 1.某广场有一喷水池，水从地 V/m 面喷出.如图，以水平地面为 x轴，出水点为原点，建立平 面直角坐标系，水在空中划 0 x/m 知识点2利用二次函数解决面积问题 出的曲线是抛物线y=一(x一2)2十4（单位： 4.若用16m长的篱笆围成长方形的生物园来饲 m)的一部分，则水喷出的最大高度是( ) 养动物，则生物园的最大面积为 A.4 m B.3 m C.2 m D.1m 5.如图，用20m长的篱笆围成一个一边靠墙的 2.数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工 矩形花圃（墙足够长），设垂直于墙的一边长为 具，伞撑开后如图①所示，由此发现数学知识 抛物线.如图②，以伞柄所在的直线为y轴，以 xm,矩形花圃的面积为ym. 伞骨OA,OB的交点O为坐标原点建立平面 (1)写出y关于x的函数表达式； 直角坐标系，C为抛物线的顶点，点A,B在抛 (2)当x为多少时，矩形花圃的面积最大？ 物线上，OA,OB关于y轴对称.已知抛物线的 解析式为y=一0.2x2+1,若点A到x轴的距 B 离是0.6dm,则A,B两点之间的距离是 dm. 图① 图② 3.如图所示，有一抛物线形状的桥洞，桥洞离水 面最大距离OM为3m,跨度AB=6m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求出在 此坐标系下的抛物线的表达式； 2 能力在线 ,方法规律综合练 (2)一艘小船上平放着一些长3m,宽2m且 厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥 6.(中考·甘肃)如图①为一汽车停车棚，其棚顶 洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图② V 是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚 支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函 数关系y=-0.02x2十0.3x十1.6的图象，点 M B(6,2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停 111探究在线 九年级数学（上）·X灯 车棚下避雨，货车截面看作长CD=4m,高 (2)当种植花草的面积为532m2时，小道进出 DE=1.8m的矩形，则可判定货车 完 口的宽度为多少米？ 全停到车棚内（填“能”或“不能”）. 20m ◆B 30m Dx 图① 图② 7.中考临近，我校为缓解同学们的紧张情绪，在 方厅处设置了“高粽门”气球拱门，在拱门上挂 3 拓展在线》黯优拔尖提升练 了两个粽子，让同学们跳一跳、顶一顶，寓意 “奋起高粽（中）”.如图，“高粽门”近似看作抛 10.图①是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由 物线的一部分.当“高粽门”两地脚A,B的水 四段完全相同的抛物线形钢架构成.可以把 平距离为2.8m,最高点C处距地面2.8m,两 天桥单侧的两段钢架抽象成如图②所示两段 个粽子分别记作点E,D(粽子大小形状忽略 抛物线，并建立如图平面直角坐标系.已知天 不计，看作抛物线上的两点)，它们与抛物线的 桥总长50m,并在人行道两侧各均匀分布着 最高点的水平距离均为0.7m,则身高1.8m 6根钢柱，其中AB=3m,EF=5m. 的同学至少要跳起 m,头顶才能碰到 (1)如果抛物线经过原点O,顶点刚好落在点F 粽子 求该抛物线的表达式； (2)在(1)的条件下，单侧6根钢柱的总长度 为 m; (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到 第7题图 第8题图 EF右侧，到EF的水平距离为1m,且使抛 8.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点 物线经过点F,与钢柱AB有交点，求此时顶 E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发，均 点的纵坐标的取值范围 以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动，当 点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运 动过程中，当运动时间为 s时，四边形 OA EFGH的面积最小，其最小值是 cm2. 图① 图② 9,(湘潭阶段练习)如图，某单位准备将院内一块 长30m、宽20m的长方形空地建成一个矩形 花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向 的小道，剩余的地方种植花草.（注：所有小道 进出口的宽度相等) (1)设小道进出口的宽度为xm,种植花草的 面积为Sm,则S与x之间的函数表达式为 第4章112