4.5二次函数的应用（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

分层作业 4.5二次函数的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 拱桥问题 题型02 喷水问题 题型03 投球问题 题型04 销售问题 题型05 题型06 图形运动问题 题型07 增长率问题 题型08 其他问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 拱桥问题题型01 1.（26-27九年级上·全国·期中）如图，某公园内有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥．经测量，玉带桥的拱顶离水面的高度为，若玉带桥所在抛物线对应的二次函数为，则对于该抛物线所在的平面直角坐标系描述正确的是（     ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴 B．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 C．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 D．以抛物线与水面的右交点为原点，以水面为轴 【答案】B 【详解】解：对于二次函数，其对称轴为轴，顶点坐标为， ∵玉带桥的拱顶离水面的高度为， ∴该抛物线所在的平面直角坐标系是以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴． 2.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，代入解析式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得：，， 又， ，， ， 即点到点的距离是． 3.（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）如图是某抛物线形拱桥横截面的示意图，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为，求拱桥最高点到的距离． 【答案】拱桥最高点到的距离为 【分析】利用抛物线的对称性建立平面直角坐标系，设顶点式解析式，结合已知的水面宽度与水位差列方程组求解． 【详解】解：以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 正常水位时水面宽为， ，． 设抛物线顶点坐标为，h为拱桥最高点到的距离． 抛物线对称轴为y轴， 设抛物线解析式为． 将代入解析式，得， 水位上升时，水面宽为， 此时水面纵坐标为2， ∴点D坐标为． 将代入解析式，得， 联立①②，解得，． 答：拱桥最高点到的距离为． 4.（26-27九年级上·甘肃平凉·期中）如图，某隧道口的截面是抛物线形，隧道宽米，最高点C到地面的距离是4米．以所在直线为x轴、的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)一辆宽4米、高米的货车能否通过这条隧道？请说明理由； (3)若在隧道内壁距地面2米高处悬挂一排灯带，灯带的最大长度是多少米？ 【答案】(1) (2)货车能通过这条隧道，理由如下： ， 将代入，则， 该位置隧道高度大于货车高度， ∴货车能通过这条隧道； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意把代入求出函数值，再与比较即可； （3）把代入求出，即可求解灯带的最大长度． 【详解】（1）解：由题意得，，， 根据题意可设函数解析式为， 代入点可得，， 解得， ∴函数解析式为； （2）略 （3）解：由题意得，把代入， 则 解得， ∴灯带的最大长度为． 5.（26-27九年级上·甘肃陇南·期中）如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为，路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为．以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定抛物线顶点坐标和点B坐标，利用待定系数法求解即可； （2）根据“确保道路正常通行”确定支撑柱的横坐标范围，代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴顶点，点， 设抛物线的表达式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∵支撑柱对称安置且要确保道路正常通行， ∴支撑柱到的距离至少为， 令，则， ∴支撑柱的最大高度为． 喷水问题题型02 1.（24-25九年级上·山东威海·期中）广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 即水流喷出的最大高度为． 故选：B． 2.（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 3.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多少高度？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设当时的函数解析式为，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出该函数与y轴的交点坐标即可得到答案． 【详解】解：设当时的函数解析式为， 把代入得，解得， ∴第一象限内的函数解析式为， 在中，当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∴这个装饰物应设计为． 4.（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求水柱所对应的抛物线解析式； (2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）令，求出的值，再与和进行比较即可得解． 【详解】（1）解：依题意，得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，则，， ∴云梯消防车此时所在位置喷出的水能射进起火窗户内． 5.（26-27九年级上·河南开封·期中）某广场喷泉水流轨迹为抛物线，喷水头距地面0.7m，水流在距喷水头水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m．建立如图所示的平面直角坐标系，其中（m）是水流距喷水头的水平距离，（m）是水流距地面的高度． (1)求抛物线的函数解析式； (2)身高1.6m的小红站在水流下方，当她的头顶恰好接触到水流时，求此时她与喷水口的水平距离； (3)水池边缘距离喷水口水平11米，判断水流是否会落到水池外，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会，理由如下： 当时，， 解得：或（舍去）， ， 水流不会落到水池外． 【分析】（1）根据题意得出抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式进行求解即可； （2）当时，求出的值即可； （3）当时，求出的值，再与进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， ． （2）解：当时，， 解得：或， 她与喷水口的水平距离为或． （3）略 投球问题题型03 1.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在体育测试中，小明掷出的实心球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小明本次投掷实心球的成绩为（     ） A．8米 B．9米 C．10米 D．12米 【答案】A 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故小明本次投掷实心球的成绩为8米． 2.（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立直角坐标系，再设函数解析式为，然后将点代入解析式可得答案． 【详解】解：如图所示，以点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立直角坐标系， 由题意可知顶点，其过点， 设球的竖直高度关于水平距离的函数关系式为， ， 解得， ∴函数解析式为． 3.（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）掷实心球是中招体育考试的五选二项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，实心球行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)2026年沈阳中考女生实心球满分线为米（实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于米时得满分），请问这次投掷成绩能否达到满分？说明理由． 【答案】(1) (2)这次投掷成绩能达到满分． 理由如下： 解：在中，令， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ，实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于6.9米时得满分， 这次投掷成绩能达到满分． 【分析】（1）由已知条件可知图象的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）令小问（1）的抛物线的关系式中的，求出的正值，跟米比较大小即可． 【详解】（1）解：当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， ， ． （2）详解见答案． 4.（26-27九年级上·吉林·期中）掷实心球是吉林中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度（单位：）可近似看作水平距离（单位：）的二次函数、他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是___________． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分10分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)王阳在此次投掷中得到满分． 理由如下： 令则 解得 (不合题意，舍去)． ∴王阳在此次投掷中实心球从起点到落地点的水平距离为，大于，故此次投掷中得到满分． 【分析】（1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）令，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可． 【详解】（1）解：∵当 与 时实心球在同一高度， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，实心球在空中的高度最大， ∴实心球在空中的最大高度是， 故答案为∶ ； （2）解：设抛物线的解析式为， 把， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）略 销售问题题型04 1.（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 2.（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，售价为多少时利润最大？（     ） A．55 B．57 C．58 D．59 【答案】A 【分析】根据总利润单件利润销售量列函数，结合二次函数性质与选项范围求解． 【详解】解：设售价为元，总利润为元， 由题意得，销售量为件， ∵销售量非负， ∴， ∴， ∵现在的售价为每件60元，且要高于进价才有利润， ∴， ∴总利润为， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，有最大值， 即售价55元时利润最大． 3.（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元）， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元）时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：C． 4.（26-27九年级上·浙江温州·期中）随着浙篮球赛事的举行，瑞安特色文创挂件在瑞安赛场周边售卖引起热潮，每件文创挂件进价元．市场调查：当售价为每件元时，一天可卖出件；售价每提高元，日销售量就减少件，规定售价不低于元．设售价提高元，一天的利润为元． (1)求出与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (2)当售价为多少元时，一天的利润有最大值？一天的最大利润为多少元？ (3)当一天的利润不低于元，请直接写出的取值范围__________． 【答案】(1)； (2)当售价为35元时，一天的利润最大，最大为900元； (3)． 【分析】（1）用“每件利润×日销售量”列式，再由“日销售量不能为负、售价不低于元”确定的范围； （2）配方求顶点，得最大利润； （3）令利润等于元，求出两个临界值，再结合图象的开口方向与的范围写出结果． 【详解】（1）解：∵每件进价元，售价为每件元， ∴每件利润为元； ∵售价每提高元，日销售量就减少件， ∴日销售量为件， ∴． ∵售价不低于元，且日销售量不能为负数， ∴且， ∴． （2）解：． ∵， ∴抛物线的开口向下，当时取最大值． ∴售价为元时，一天的利润最大，最大利润为元． （3）解：令， ∴， ∴，即或． ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时， 又， ∴． 5.（26-27九年级上·吉林·期中）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为元件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元件时，日销售量为件，售价每降低元，日销售量增加件. (1)当销售量为件时，产品售价为___________元件； (2)直接写出日销售量（件）与售价（元件）的函数关系式（不要求写自变量取值范围）； (3)为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件，该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大？并求出最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)售价定为元件时，每天盈利最大，最大值为元． 【分析】根据售价与销量的变化关系计算对应售价； 根据题中数量关系推导一次函数解析式； 先求出，设每天盈利为元，则，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵售价为元件时日销售量为件，售价每降低元，日销售量增加件， ∴销售量为件时，销量增加（件）， ∴售价降低（元）， ∴此时售价为（元件）， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 化简得， ∴日销售量（件）与售价（元件）的函数关系式为； （3）解：∵直播售价不超过元件，且盈利时售价高于进货价， ∴， 设每天盈利为元，则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元， 答：该产品的售价每件应定为元时，电商每天可盈利最大，最大值为元． 6.（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）为弘扬新疆地方文化，让更多游客了解新疆，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款新疆小羊吉祥物的成本价是每件30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)为让利于游客，该款小羊吉祥物每件应该降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元？ (2)文旅公司将每件新疆小羊吉祥物的售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)请你直接写出售价在什么范围时每天的利润不低于630元？ 【答案】(1)每件应该降价3元． (2)售价定为38元时，每天获得的利润最大，最大利润是640元． (3)售价不低于37元且不高于39元时，每天的利润不低于630元． 【分析】（1）根据总利润的等量关系列一元二次方程，再结合让利条件选取合适的解即可； （2）构建利润关于降价金额的二次函数，用配方法求最大值即可； （3）根据利润要求列不等式，再结合二次函数性质确定售价范围即可． 【详解】（1）解：设每件小羊吉祥物降价x元，每天的销售利润为W元． 单件售价为元，单件利润为元，日销售量为件， 由题意得： ，整理得，解得：，． ∵要让利于游客，需降价幅度尽可能大， ∴． 答：每件应该降价3元． （2）解：每天的销售利润为W元： ． ∵ ， ∴ 当时，W取得最大值，最大值为640元，此时售价为（元）． 答：售价定为38元时，每天获得的利润最大，最大利润是640元． （3）解：令，即 整理得， ∵抛物线的开口向上，与x轴交点的横坐标为1和3， ∴函数图像所对应的自变量x的取值范围为， ∵单件售价为元， ∴单件售价大于等于37元且小于等于39元． 答：售价不低于37元且不高于39元时，每天的利润不低于630元． 7.（26-27九年级上·辽宁营口·期中）某网店专门销售第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为48元时，每天获取的利润最大，最大利润是3960元 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）根据利润销售量单件利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质判断出最大利润． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，（） 将和代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意， ， 解得， 又销售单价应高于成本，即， ， 设每天获取的利润为元， 则 ， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当销售单价为48元时，每天获取的利润最大，最大利润是3960元． 与图形有关的问题题型05 1.（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，先证明，可得，然后根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，设矩形的一边的长为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴； ∴矩形的面积， ∵， ∴当时，面积有最大值． 故选：C． 2.（23-24九年级上·河北唐山·期末）用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意求出矩形的另一边长，即可求解． 【详解】解：由题意得：矩形的另一边长， ∴， 故选：C． 3.（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数解应用题，若设矩形小花园边的长为，则，由矩形面积公式代值得到，配方化为顶点式，由二次函数图象与性质分析即可得到答案，熟练掌握求二次函数最值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：若设矩形小花园边的长为，则， ， ， ， ，则抛物线开口向下， 当时，取最大值，为， 故选：C． 4.（25-26九年级上·江苏泰州·期末）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解不等式组等知识点，理解题意、找到等量关系、列出函数关系式是解题的关键． （1）设车棚宽度为，那么宽需要需用的材料为米，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去三条宽长度即可表示出，最后利用长乘以宽表示出面积，结合墙的长度可列出不等式表示出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设车棚宽度为， ∵铝合金材料总长36米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：S不总随x的增大而增大，理由如下： 由（1）得：， ∵的对称轴为直线，且， ∴S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小． 5.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，．问取多少时，最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)时，的最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用，得出是解题关键． （1）首先得出，进而利用相似三角形的性质求出即可； （2）利用矩形的性质得出邻边关系进而得出，由根据二次函数的最值即可求． 【详解】（1）解：如图，设交于点N， 由题意知四边形是矩形，则， 设正方形的边长为，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个正方形的边长是；     （2）解：在矩形中，，， 由（1）可得：， ∴（）； ∴ ， ∴时，的最大值是． 6.（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，等边的边长为3，点是边上任意一点（点与点，点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，线段与边交于点． (1)求证：； (2)若，求边的长； (3)求线段的最大值． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 由旋转得，， ，即， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质得到，，得出，可证明，即可得到结论； （2）先证明，得到，即可求出； （3）由（2）知，，即，设，则，得到，即可得出有最大值． 【详解】（1）略 （2）解：由旋转得，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：由（2）知，，即， 设，则， ， ，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，有最大值，为． 图形运动问题题型06 1.（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在AC上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故选：D． 2.（25-26九年级上·天津·期末）如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①当时，根据题意求出，，然后求出，即可判断①正确； ②首先表示出，，然后得到，然后表示出的面积，利用二次函数的性质即可判断②错误； ③根据题意得到，解得，，即可判断③正确． 【详解】解：①当时，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据题意得，，， ∴， ∵， ∴的面积 ∵ ∴抛物线开口向下， ∴当时，面积的最大值为，故②错误； ③∵的面积 ∴当的面积为时， 解得， ∴t有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是2． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，三角形面积，动点问题，解题的关键是正确表示出三角形面积． 3.（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 4.（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)，补全图象如图所示：   (3) 【分析】本题是二次函数与几何综合题，考查了动点函数图象，二次函数的性质，三角形的面积，熟练掌握全二次函数的性质是解题的关键． （1）根据时，从点正好运动到点，即可求出点运动的速度，根据时，求出的长； （2）分别求出当时及当时，函数的关系式，并补全图象即可； （2）分2种情况及，结合，利用图象法求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， ， 根据题意得， ， ， ； （2）当时，， ， 当时，， ， ， （3）在二次函数中，当时， ， 解得，，（舍去）， 在一次函数中，当时， ， 解得， 在时，的面积为的值不小于； 增长率问题题型07 1.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率问题，一般“增长后的量增长前的量（1+增长率）”找出等量关系列方程即可 【详解】第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍， 第三个月的增长率为 第一个月投放辆单车， 第二个月投放辆 第三个月投放量 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，即“增长后的量增长前的量（1+增长率）”． 2.某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用增长率公式表示出与的函数解析式进而判断即可. 【详解】解：根据题意得y=2（1-x）2， 所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2． 故选：B. 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，注意掌握根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 3.据省统计局公布的数据，某市去年年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若该市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2 【答案】C 【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x， 则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 其他问题题型08 1.（2025·广东深圳·二模）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（   ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．易得抛物线的开口向下，那么当时，函数有最大值，即可求得相应的运动时间． 【详解】解：∵，， ∴当秒时，水火箭达到最高点． 故选：B． 2.（25-26九年级上·福建·期末）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示．将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表中的数据可求的范围是（ ） 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来．依据题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，再设抛物线解析式为，又由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为，从而可得抛物线的函数表达式为，将代入，求出或，则此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧，则，进而可以判断得解． 【详解】解∶由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图∶ 设抛物线解析式为， 由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为． ． ． 抛物线的函数表达式为． 将代入，得． 或． 此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶． 即，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧 ． 故选∶C． 3.（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，某粮仓的横截面可看作是由抛物线的一部分和矩形构成的．以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中米，米，抛物线的函数解析式为（为常数，）为平行于地面的一排除湿板（点均在抛物线上）． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知除湿板与地面之间的距离为米，求除湿板的长度． 【答案】(1)； (2)除湿板的长度为米． 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． （1）将点、代入抛物线解析式，利用待定系数法求解解析式即可； （2）令，则，解方程后结合函数图象分析即可． 【详解】（1）解：米，米， 点的坐标为，点的坐标为， 将点、代入中得， 解得， 该抛物线的函数解析式为； （2）解：除湿板与地面之间的距离为米， 点、的纵坐标为， 令，则， 解得，， 即点、的横坐标分别为、， （米）， 除湿板的长度为米． 4.（25-26九年级上·河南南阳·期末）“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与行驶时间之间有如下的函数关系：．已知当时，；当时，． (1)求关于的函数关系式； (2)请结合平面直角坐标系中已描出的点，画出符合题意的函数图像（至少再描个点，画图，不必列表）； (3)求该汽车刹车后到停下来，需要多长时间？前进了多远？ 【答案】(1)； (2) 描点画出符合题意的函数图像如下： (3)；． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像与性质，画函数图像，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）当时；当时；当时，；当时，；然后描点、连线即可； （）由，，则时，取最大值，最大为，从而求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴该函数的解析式为； （2）解：在中，当时； 当时，； 当时，； 当时，； （3）解：∵，， ∴时，取最大值，最大为， ∴该汽车刹车后到停下来，需要，前进了． 1.（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 【答案】(1)船船不能安全通过此桥． (2) 把，代入，得 ， 当船行至桥时水位上升高度为， 船顶距高为． ， 船不能安全通过此桥． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，核心是将拱桥的几何问题转化为平面直角坐标系下的函数问题，熟练掌握二次函数表达式的求解、函数值的计算以及行程与水位变化的综合分析是解题关键． （1）以中点为原点、所在直线为轴建立坐标系，根据的长度确定、两点坐标，设出二次函数的交点式；再结合水位上升后水面的宽度，确定点坐标，代入函数式求解参数，从而得到函数表达式； （2）先根据船的宽度，计算船边缘对应的横坐标，代入函数表达式求出该位置的桥高；再根据船的行驶距离和速度，计算船行至桥时的水位上升高度，结合船露出水面的高度，得到船顶距的高度；最后通过比较桥高与船顶高度的大小，判断船能否安全通过． 【详解】（1）解：为16m，的中点为原点， 点，的坐标分别是，． 可设此函数的表达式为， 当水位上升时，水面宽为， 点的坐标为， 把，代入， ， 解得． 此函数的表达式为，即． （2）略 2.（26-27九年级上·辽宁大连·期中）小明是一名篮球爱好者，他想知道自己每次投进的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度．当学习到二次函数内容的时候，老师说篮球的运行弧线可以近似看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度 活动准备 1．查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2．准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 如图1，小明负责把篮球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定篮球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与小明投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离． 采集数据 经测量，小明的出手高度，，．经查询篮筐的高，且、、在一条直线上，和都垂直于． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则抛物线的顶点在轴上，可设抛物线解析式为，分析数据得、两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)求这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分析数据得、两点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式求出顶点坐标，即可得解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 将点、的坐标代入得，， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的顶点在轴上，当时，， 抛物线的顶点坐标， 这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度为． 3.（23-24九年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，设点的运动时间为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． (1)经过几秒后，的面积等于？ (2)设四边形的面积为，求的最大值或最小值； (3)是否存在某一时刻，使得与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)有最小值，最小值为 (3)存在，的值为或 【分析】（）由题意可得知，，即得，再根据三角形的面积列出方程解答即可求解； （）利用得出与的二次函数关系，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分和两种情况，根据相似三角形的性质列出方程解答即可求解； 本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，相似三角形的性质，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∵，， ∴， 当的面积等于时，， 即， 解得， ∴经过秒后，的面积等于； （2）解：， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为； （3）解：存在． ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 4.（25-26八年级下·北京·期末）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)，（克）与时间（分钟）的函数图象如图所示； (2)C； (3) 【分析】（1）直接根据表格中已知数据得出的变化规律，即可得到的值；再将表格的数据描点，并用平滑的曲线画出的函数图象即可； （2）观察表格和图象读取信息即可； （3）利用待定系数法求得、的函数关系式，进而得到的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最值． 【详解】（1）解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加分钟时，剩余质量减少克， ； 则（克）与时间（分钟）的函数图象：略 （2）解：观察图象可知，在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是先慢后快； 由表格可知，当时，（克）；（克）； 而该化学试剂发挥作用的最低质量为克，故该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． （3）解：将点和代入中得， ， 解得， ； 设与的函数关系式为， 将点和代入得， ， 解得， ， ， ， 抛物线开口向下， 当分钟时，取最大值，最大值为克， ∵结果保留小数点后一位 ∴ 即两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第分钟． 1.（2026·江苏南通·中考真题）综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）因为小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点时，即时，代入抛物线解析式求出的值，进而即可求解题目． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴解析式为 （2）解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时， ， 解得， ． 答：此时大孔的水面宽度． 2.（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 【答案】(1) (2)解：乙防守时甲这次射门不成功，判断如下： ∵，， ∴， ∵乙防守， ∴乙可达最高为， 当时， ， ∴乙防守时甲这次射门不成功； (3) 【分析】（1）先求出顶点坐标，再利用待定系数法即可求出答案； （2）先求出乙可达的最大高度，再求出当时的函数值，比较后即可得到结论； （3）依题意得，求出，由时，，由时，，分别求出的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可得，当和时，y的值相等， ∴对称轴为， ∴顶点为， ∴； 将代入得， 解得， ∴； （2）略 （3）解：依题意得，且经过， ∴ 解得， ∴， 当时，足球要超过乙跳起来的最大高度，即， ∴ 解得； 当时，足球要低于门框的最大高度，即， ∴ 得， ∴． 3.（25-26九年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． 探究1（1）下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． 探究2（2）小亮在研究抛物线时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． 探究3（3）如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点A，B在x轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由．    【答案】（1）①③； （2）； （3）水位超过了警戒线， 理由如下：由题意得：，， 设抛物线解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 当，得，（舍去）， ∴． ∵， ∴水位已超过警戒线． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确理解新定义． （1）先设出直线上的参数坐标，再根据“相反点”的定义得到方程求解判断即可； （2）把代入得：①．再根据“相反点”的定义关于x的方程有两个相等的实数根，则②，再联立①②解方程组即可； （3）先确定，，设抛物线解析式为，再代入求出函数解析式，然后根据“相反点”的定义得到方程当，再解方程即可判断． 【详解】解：（1）①设直线上任意一点为， 由题意得，，解得， ∴“相反点”为，故①正确； ②设直线上任意一点为， 由题意得，，该方程无解 ∴一次函数的图象上不存在“相反点”，故②错误； ③直线上任意一点可设为，满足“相反点”定义， ∴所有的“相反点”都在直线上，故③正确， 故答案为：①③； （2）把代入得：①． ∵抛物线有且只有一个“相反点”， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴②． 由①②可得，． ∴抛物线的解析式为； （3）略 4.（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，A，B是喷药口，A，B，O，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷药口点A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）依题意，得点A的坐标为：______；求出点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口M和N，M在A左侧，N在B右侧，，当无人机上升到距地面的高度为时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1），点所在抛物线的函数表达式为；（2）无人机应该下降的高度为；（3）长 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．然后根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．求出所在抛物线表达式为，求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 【详解】解：（1）∵，点与点到点的距离相等， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． ∵， ∴点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． ∴点所在抛物线的函数表达式为． （2）∵以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， ∴喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ∵，由题可知点和点关于轴对称， ∴可以设点的坐标为． 将点代入， 得． ∴点的坐标为． ∴此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3）∵，点坐标为， ∴点坐标为． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为， ∵无人机高度为， ∴代入到中，得． 解得，． ∴， ∵关于y轴对称， ∴， ∴长． 5.（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图， 在中，，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点． (1)求证： (2)设，当为何值时，矩形的面积最大？ 并求其最大值． (3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒一个单位的速度沿射线匀速运动当点与点重合时停止运动 ，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1) 证明： 四边形是矩形， ． ． 又 ， ， ； (2)当时，有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，再由可得出，进而可得出结论； （2）先用表示出的长，根据矩形的面积公式得到关于矩形的面积和的函数关系式，进而可得出结论； （3）先求出及的长，再分，＜及三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， ． ， ． ， 当时，有最大值，最大值为． （3）如图1，由（2）得，，， ∵， 是等腰直角三角形， ，， 分三种情况讨论： ① 如图．当时， 设、分别交于点、，则是等腰直角三角形， ． ∴； ②如图，当时， 则，． ∴ ③如图，当时， 设交于点，则． 综上所述：与的函数关系式为： ． 【点睛】此题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 (2)拱顶到水面的距离为 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 3.（2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.5二次函数的应用 目录 A组巩固过关 题型01拱桥问题 题型02喷水问题 题型03投球问题 题型04销售问题 题型05与图形有关的问题 题型06图形运动问题 题型07增长率问题 题型08其他问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 拱桥问题 1.(26-27九年级上·全国期中)如图，某公园内有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被 人称为玉带桥.经测量，玉带桥的拱顶离水面的高度为4.2m,若玉带桥所在抛物线对应的二次函数为 y=m2+4.2(a<0),则对于该抛物线所在的平面直角坐标系描述正确的是（) A.以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.以水面为x轴，以抛物线的对称轴为'轴 C.以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为x轴 D.以抛物线与水面的右交点为原点，以水面为x轴 2.(26-27九年级上·安徽合肥阶段检测)某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物 线形的拱桥，如图，4B是水平面，拱桥对应的函数表达式为y=一 x+12.某商家在点E,F处悬挂了 48 广告条幅，已知EF∥AB,点E到AB的距离为9m,则点E到点F的距离是(). A 9m B.12m c.18m D.24m 3.(26-27九年级上·天津滨海新区期中)如图是某抛物线形拱桥横截面的示意图，正常水位时水面宽AB 为8m,当水位上升2m时，水面宽CD为6m,求拱桥最高点到AB的距离. 4.(26-27九年级上甘肃平凉·期中)如图，某隧道口的截面是抛物线形，隧道宽AB=8米，最高点C到地 面AB的距离是4米.以AB所在直线为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系. 以 A (1)求这条抛物线的函数解析式： (2)一辆宽4米、高2.5米的货车能否通过这条隧道？请说明理由： (3)若在隧道内壁距地面2米高处悬挂一排灯带，灯带的最大长度是多少米？ 5.(26-27九年级上·甘肃陇南期中)如图，某经济开发区计划在道路AB上方搭建一座抛物线形彩虹桥， 已知道路AB的宽为20m,路内侧两边各有2m宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离 为8m.以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线OM为y轴，建立平面直角坐标系. 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y个M 桥拱、 8m 20m (1)求抛物线的表达式： (2)按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路AB的正常通行，求支撑柱的最大 高度 颗型02 喷水问题 1.(24-25九年级上山东威海期中)广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为 1.5m.水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池.某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点 O的距离为3m.建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数 关系y=x+x+c(a≠0)，则水流喷出的最大高度是() A B x A.1.5m B.2m c.2.5m D.3m 2.(24-25九年级上江苏苏州期中)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从A点向四周喷水，喷出 的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上， 轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y=。x-+6。则 CD的长为()m. y(m) Dx(m) A.18 B.20 C.22 D.30 3.(25-26九年级上·浙江绍兴·期中)某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边 安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池 中心为原点建立直角坐标系.若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这 3/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个装饰物应设计为多少高度？ -10-40 4 10x 4.(25-26九年级上·甘肃张掖期末)如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口A距 离地面30m,距离大楼起火侧面20m,喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处B距离地面45m,距离大楼起火 侧面5m,建立如图所示的平面直角坐标系. VA O (1)求水柱所对应的抛物线解析式： (2)若起火楼层的窗户项端到地面的距离为45m，窗户底端到地面的距离为43m，云梯消防车此时所在位置 喷出的水能否射进起火窗户内？ 5.(26-27九年级上：河南开封期中)某广场喷泉水流轨迹为抛物线，喷水头P距地面0.7m,水流在距喷水 头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m.建立如图所示的平面直角坐标系，其中x(m)是水 流距喷水头的水平距离，y(m)是水流距地面的高度， yA 3.2 0 (1)求抛物线的函数解析式： (2)身高1.6m的小红站在水流下方，当她的头顶恰好接触到水流时，求此时她与喷水口的水平距离： (3)水池边缘距离喷水口水平11米，判断水流是否会落到水池外，并说明理由. 题型03 投球问题 1.(26-27九年级上·安徽毫州阶段检测)如图，在体育测试中，小明掷出的实心球的飞行高度y(米)与 术半鹿离。（米）之间的关系可以近似站看成糙物线y=:一-+25，则小明本次极德安心球的成绩 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为() y A.8米 B.9米 C.10米 D.12米 2.(26-27九年级上湖北武汉阶段检测)如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一 条抛物线.当球飞行到最高点时，恰好击中2.44m高的球门横梁上的点B.设位于点B正下方的地面上的 点为C,且4C=24.4m.在这一飞行过程中，球的竖直高度y(单位：m)关于它距离点A(平面直角坐 标系的原点)的水平距离x(单位：)的函数解析式是() B日 24.4m A.y=- x2+x 244 5 B=0+24 c.y=-x+2x+ 2 244 5 5 D.y=x2+x 122 3.(26-27九年级上辽宁沈阳期中)掷实心球是中招体育考试的五选二项目，如图1是一名女生掷实心球， 实心球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，实心球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图 2所示，掷出时起点处高度为3m,当水平距离为3m时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面 3m 3 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)2026年沈阳中考女生实心球满分线为69米（实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于6.9米时 得满分)，请问这次投掷成绩能否达到满分？说明理由， 4.(26-27九年级上·吉林·期中)掷实心球是吉林中招体育考试素质类选考项目之一.王阳同学查阅资料了 解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y(单位：m)可近似看作水平距离x(单位：m)的二 次函数、他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当x=2与 5/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=6时实心球在同一高度，当x=4时y=3.6,当x=5时y=3.5,根据上述数据建立如图所示的平面直角 坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分. ◆y/m 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 m (2)求满足条件的抛物线的解析式。 (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于 9.6m时，即可得满分10分.王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由. 题型04 销售问题 1.(25-26九年级上甘肃兰州期末)兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈 利10元，每天可售出50斤.经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤.设每斤降价x元，每 天盈利为y元，则'与x的函数关系式为() A.y=(10+x)50-10x) B.y=(10-x)(50+10x) c.y=(10-x)(50-10x) D.y=(10+x50+10x) 2.(26-27九年级上·天津滨海新区·期中)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出200件，市场调查 反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，己知商品的进价为每件40元，售价为多少时利润最大？( A.55 B.57 C.58 D.59 3.(23-24九年级上·安徽滁州期中)“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的 电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理），经 调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件.己 知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x(元)，主播每 天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析式为() A.w=(99-x)[300+3(x-50)] B.w=(x-50)[300+3(x-99)] c.w=(x-50)[300+3(99-x)] D.w=(x-50)[300-3(99-x)] 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2627九年级上浙江温州期中)随着浙BA篮球赛事的举行，瑞安特色文创挂件在瑞安赛场周边售卖引 起热潮，每件文创挂件进价20元.市场调查：当售价为每件30元时，一天可卖出80件；售价每提高1元， 日销售量就减少4件，规定售价不低于30元.设售价提高x元，一天的利润为'元. (1)求出y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围： (2)当售价为多少元时，一天的利润有最大值？一天的最大利润为多少元？ (3)当一天的利润不低于756元，请直接写出x的取值范围」 5.(26-27九年级上吉林期中)“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进 货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降 低1元，日销售量增加2件. (1)当销售量为30件时，产品售价为 元/件： (2)直接写出日销售量'（件）与售价x(元/件)的函数关系式（不要求写自变量取值范围）： (3)为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，该产品的售价每件应定为多少， 电商每天可盈利最大？并求出最大值 6.(26-27九年级上·新疆乌鲁木齐期中)为弘扬新疆地方文化，让更多游客了解新疆，某文旅公司推出多 款文创产品.已知某款新疆小羊吉祥物的成本价是每件30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经 调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件 (1)为让利于游客，该款小羊吉祥物每件应该降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元？ (2)文旅公司将每件新疆小羊吉祥物的售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)请你直接写出售价在什么范围时每天的利润不低于630元？ 7.(26-27九年级上辽宁营口期中)某网店专门销售第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本 为每件30元，每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售 利润为W元.网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件」 y(件) 300 ---- 150 4055 x(元) (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型05 与图形有关的问题 1.(24-25九年级上山东威海期末)如图，在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别 在两直角边上，如果设矩形的一边AB的长为xm,要使矩形ABCD面积最大，x的取值为() 3m B 4m A.Im B.1.5m C.2m D.2.5m 2.(23-24九年级上河北唐山期末)用40cm的绳子围成一个的矩形，则矩形面积cm与一边长为xcm之 间的函数关系式为() A.y=x2 B.y=-x2+40x C.y=-x2+20x D.y=-x2+20 3.(24-25九年级上河北廊坊期中)如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长10m) 的空地上修建一个矩形小花园ABCD,小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示.若设 矩形小花园AB边的长为xm,面积为Sm.则S的最大值为() 10cm A.200m2 B.100m2 C.150m2 D.250m2 4.(2526九年级上江苏泰州期末)学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一 边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间 及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）· E B F (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度AB为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变 量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由 5.(25-26九年级上安徽合肥：期末)如图，一块三角形的铁皮，BC边为l20mm,BC边上的高AD为 8/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8Omm,要将它加工成矩形铁皮，使它的一边FG在BC上，其余两个顶点E、H分别在AB、AC上. E D G (1)若四边形EFGH是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形EFGH中，设EF=xmm,FG=ymm,问x取多少时，S矩形GH最大，最大值是多少？ 6.(23-24九年级上河北邢台期末)如图，等边△ABC的边长为3，点P是边BC上任意一点（点P与点B, 点C不重合)，连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段Ag,连接C0,P巴，线段P巴与边 AC交于点M. A M B (1)求证：BP=C9: (2)若BP=1,求边CM的长： (3)求线段CM的最大值. 题型06 图形运动问题 1.(25-26九年级上黑龙江绥化期末)如图(1)，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点M从点B出发 沿B-A-C路径以2cm/s的速度运动至点C,点V同时从点B出发沿射线BC方向以V3cm/s的速度运动至 点C,设点M运动的时间为x(单位：s),△BMN的面积为y(单位：cm),已知y与x之间的函数图象 如图(2)所示，则a的值为() y/cm2 8v3 A a B→N x/s (1) (2) 9120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2W5 C.35 2.(25-26九年级上天津期末)如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,动点M从点A出发， 以lcm/s的速度沿边AB匀速运动：同时动点N从点B出发，以2cm/s的速度沿边BC匀速运动.当其中一 个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为s,有下列结论： ①当t=2时，BM=BN: ②当0≤t≤4时，△BMW的最大面积为l2cm2; ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为8cm2. 其中，正确结论的个数是() A→M B A.0 B.1 C.2 D.3 3.(25-26九年级上江苏苏州期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发沿 AB以lcms的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C匀速移动.设点 P运动的时间为s(0<t<6). A→P (1)AP= cm.Co= cm(用含t的代数式表示) (2)记△BQP的面积为S,△DP的面积为S. ①试判断S+S是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. ②求，-S的最小值. 4.(24-25九年级上黑龙江双鸭山期末)如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm.点P以lcm/s的 速度从点A出发沿AB匀速运动到B;同时，点Q以Cm/s(v>)的速度从点B出发沿BC匀速运动到C. 两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为S),△PBQ的面积为S(m).当点Q在BC上 10/20 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 运动时，S与的函数图象如图2所示. 个S(cm2) 2 0 0 2t(s) B->0 图1 图2 (1)求线段AB的长和点Q的运动速度V: (2)求△PBQ的面积为S(cm)关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象： 5 (3)当时间在什么范围内变化时，△PBQ的面积为S(cm)的值不小于4？请直接写出t的取值范围。 颗型07 增长率问题 1共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车'辆，若 第二个月的增长率是x,第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是() A.y=a(1+x)1+2x) B.y=a(1+x)月 C.y=2a(1+x D.y=2x2+a 2某种商品的价格是2元，准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y (单位：元)随每次降价的百分率x的变化而变化，则V关于x的函数解析式是() A.y=2(x+1)月 B.y=2(1-x)2 c.y=(x+12 D.y=(x-1)2 3据省统计局公布的数据，某市去年年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若该市第三季度GDP总 值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x,则y关于x的函数表达式是() A.y=2.4(1+2x) B.y=2.4(1-x)2 C.y=2.4(1+x)2 D.y=2.4+2.4(1+x)+2.4(1+x)2 11/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型08 其他问题 1.(2025广东深圳二模)“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技 节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向 上弹出，其初始速度为20米/秒.水火箭在空中的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数关系式为 h=20t-52.当水火箭达到最高点时，其运动时间为（) A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒 2.(25-26九年级上福建期末)一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳.站立的位置相距 10m,剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上.如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条 抛物线，摇绳的手距离地面都是lm,绳子的最高点距离地面2m.根据平时训练的情况，当绳子摇到最高 处时，这6名学生头顶离地高度（单位：）的范围如表所示.将此次比赛中这6名学生站立的队列长度 记为$（单位：），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表中的数据可求S的范围是() -10m 学生 A B D 头顶离 地高度 1.511.72 1.361.64 1.681.84 1.561.75 1.361.64 1.56≈1.75 的范围 A. S<8 B.S<7 C.s<6 D.S<5 3.(25-26九年级上·甘肃武威期末)如图，某粮仓的横截面可看作是由抛物线的一部分和矩形OABC构成 的.以地面OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，其中OC=20米，OA=5米， 抛物线的函数解析式为y=20r+br+c(6,c为常数，0≤x≤20），DE为平行于地面OC的一排除湿板 (点D、E均在抛物线上)· E (1)求该抛物线的函数解析式： (2)已知除湿板DE与地面之间的距离为6.8米，求除湿板DE的长度. 12/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上河南南阳期末)“道路千万条，安全第一条.”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障， 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距 离”，某车的刹车距离s(m)与行驶时间(s)之间有如下的函数关系：3=a㎡心+bM已知当1=2时，3=6： 当1=1时，s=9 开始踩刹车 安全停止 D 刹车距离 S(m) (1)求sm)关于(s)的函数关系式： (2)请结合平面直角坐标系中已描出的点，画出符合题意的函数图像（至少再描3个点，画图，不必列表）： (3)求该汽车刹车后到停下来，需要多长时间？前进了多远？ B组 能力进阶 1.(25-26九年级上江苏南京期末)如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m,当水 位上升1.4m时，水面宽CD为12m. 7.5m D 0.5m B (① ② (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点建立如图①所示的平 面直角坐标系，求这个函数的表达式： (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m,宽为7.5m(横断面如图②)，以5km/h的速度向此 桥径直驶来，当船距离此桥40km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m,如果该船的速 度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由. 13/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(26-27九年级上辽宁大连期中)小明是一名篮球爱好者，他想知道自己每次投进的篮球在空中运行达 到最高点时离地面的高度.当学习到二次函数内容的时候，老师说篮球的运行弧线可以近似看成是一条抛 物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度 1. 查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度： 活动准备 2. 准备皮尺、三角板等测量工具. 如图1，小明负责把 篮球投进篮筐，同 时安排第一位队友 负责手持三角板确 定篮球到最高点A 对应的地面位置O 安排第二位队友 设计方案 用皮尺测量位置O 3.05m 2.25m 2.5m 1.5m 与小明投篮站立位 B O 置点B的水平距离 (图1) OB,第三位队友负 责手持三角板确定 篮筐中心C与地面 对应点D,并测量 水平距离OD 经测量，小明的出 手高度BE=2.25m 0B=2.5m」 0D=1.5m.经查询 采集数据 篮筐的高 CD=3.05m,且B O、D在一条直 线上，EB和CD都 垂直于BD. 14/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小组成员经过讨论 确定，以点O为原 点，BD所在直线为 x轴，OA所在直线 为y轴，建立如图2 的平面直角坐标 A 系，则抛物线的顶 点A在y轴上，可 确定思路 设抛物线解析式为 y=ac2+c,分析数 B D 据得C、E两点的 (图2) 坐标，进而求出抛 物线的解析式，再 利用解析式求出A 点的坐标，从而解 决问题。 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式： (2)求这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度. 3.(23-24九年级上云南曲靖期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=8cm,点P从 点C出发，以2cms的速度沿CA向点A匀速运动，同时点从点B出发，以lcms的速度沿BC向点C匀 速运动，设点P的运动时间为1，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. B (1)经过几秒后，△PC0的面积等于l6cm2? (2)设四边形AP2B的面积为S,求S的最大值或最小值： (3)是否存在某一时刻t,使得△PC与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 4.(25-26八年级下·北京·期末)为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做 15/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量y(克)和（克）与时间x(分钟)(0≤x≤20)的 部分数据： x(分 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 钟) ya(克) 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 yB（克) 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 m 3.5 1.0 经研究发现， 可以分别用函数刻画yA,yB与x之间的关系，场景A下试剂挥发过程中的剩余质量ya与时 间x近似满足函数关系：y%=0.04x+br+C,与x近似满足一次函数关系，图象如图所示. 20 86 4 10 P 6 4 2 246810121416182022衣 (1)写出表中的值：一，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量y (克)与时间x(分钟)的函数图象： (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是_： A.匀速变化 B.先快后慢 C.先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中，该化学试剂在场景（填“A” 或“B”)下发挥作用的时间更长： (3)当5≤x≤15时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第分钟 (结果保留小数点后一位)· 16/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.(2026江苏南通中考真题)综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常 水位时，大孔水面宽度为20m,项点距水面8m,小孔顶点距水面5m, 【建立模型】 10 10 8m 5m 20m 图1 图2 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为'轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函 数表达式 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点1m时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度.（结果保留根号） 2.(26-27九年级上河北唐山阶段检测)踢足球是同学们喜爱的一项运动.如图，甲同学站在球门正前方 的点O处练习射门，他离球门的距离OB=18m；身高1.4m的乙同学站在球门前的点A处充当守门员，且 他只做上下起跳防守，最大起跳高度为0.6m;点O,A,B在一条直线上，AB=0.5m,足球球门高度为 2.4m,以点O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线 y=a(x-h)+k的一部分. 甲 球门 入○ 0 A B (1)甲射门时，球离点O的水平距离x(m)与离地高度(m)的部分数据如下表所示，求y关于x的函数解析 式： x/m 0 5 10 15 16 y/m 0 3 2. 56 (2)在(1)的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功： (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点O的水平距离不 17/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求a的取值范围. 3.(25-26九年级上江西赣州期中)在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点 P为“相反点”，如点（山，-)，（-5,5)都是“相反点”. 探究1（1)下列结论中，正确的是 (填写正确结论的序号)· ①一次函数y=x+2的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”： ②一次函数y=-x+2的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线y=-x上. 探究2(2)小亮在研究抛物线y=r+x-4(a≠0)时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”(2，-2)】 求抛物线的解析式， 探究3(3)如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒 线刚好经过抛物线的“相反点”·已知平时水位线在AB位置（点A,B在x轴上)，水面的宽为12m,由 于最近降雨频繁，水位上升5m到达CD处，这时水面的宽为8m,试判断此时水位是否到达警戒线，并说 明理由， D 4.(25-26九年级上广西南宁·阶段检测)项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的 安全性 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济。 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，A,B是喷药口，A,B,O,在同一条 水平直线上，AB=60Cm.如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以AB所在 直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷药口点A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直 方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C,OC=300cm. 18/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图3 图4 (1)依题意，得点A的坐标为： ；求出点A所在抛物线的函数表达式. 问题解决： (2)启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm,为了精准喷药，需要调整无人机的高度 到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为EF的区域，且EF=30cm时，田埂高度忽略不计）恰好不被 喷洒农药，求无人机应该下降的高度： (3)如图4，在直线AB上再增加2个喷药口M和N,M在A左侧，N在B右侧，MA=AB=BN,当无人 机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度PQ的长， 5.(24-25九年级上·湖南常德期末)如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=12,高AD=10,矩形EFP9 的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H. BOD AH EF (1)求证： AD BCi (2)设EF=x,当x为何值时，矩形EFPO的面积最大？并求其最大值， (3)当矩形EFP№的面积最大时，该矩形EFP№以每秒一个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点与点C重 合时停止运动)，设运动时间为1秒，矩形EFP№与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式. 拓展 链接中考 1,(2026陕西中考真题)某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的 水流可以看成抛物线的一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高 度y(m)与水平距离x(cm)的关系可以表示为y=0.1x2+6x,则这条鱼此次射出的水流的最大高度是 () 19/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA A.9cm B.30cm C.90cm D.360cm 2.(2026江苏淮安中考真题)“运河三千里，醉美是淮安.”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人 行景观桥，桥身呈对称分布.如图，桥拱ACB可以看成抛物线形，跨径AB为30m,拱高CD为6m. 6 A D 30 (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式. (2)当桥拱ACB下的水面宽为28m时，求此时拱顶C到水面的距离. 3.(2026山东青岛中考真题)某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资 生产某种产品.投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产 的产品能全部售出.经调研，投产第一年该产品的总成本)（万元）与产量x(万件)之间近似满足二次 函数关系y=-x2+br+c(13≤x≤24)， 部分数据见下表： 产量x(万 15 18 20 件) 总成本y 285 336 360 (万元) (总利润=总销售额一总成本) (1)求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式： (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为m元时，总利润会随着产量x的增大而增大，则m的最小值是多少？ 20120