四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

树德中学高2024级高二上学期半期考试数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号.答案写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知直线与直线平行，则a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2或 2. 如图是一个古典概型的样本空间和事件A、B，其中，，，，那么（ ） A. B. 事件A与B互斥 C. D. 事件A与B相互独立 3. 在平行六面体中，与的交点为，设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，下列说法错误的是（ ） A. 平均来说一队比二队防守技术好 B. 二队比一队技术水平更稳定 C. 一队在防守中有时表现差，有时又表现非常好 D. 二队很少失球 5. 已知，，动点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 直三棱柱中，，P为BC中点，，Q为上一点，，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 10. 若独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知平面上一点到点，的距离满足，设点的运动轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. C. 点P横坐标的取值范围是 D. 当点P不在坐标轴上时，点P在椭圆内部 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为_________. 13. 已知圆O：，直线l：，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为_________. 14. ①已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为（）则； ②对任意的，，； ③点P为直线l：上的一个动点，A，B为圆M：上任意两个不重合的点，记的最小值为m，的最大值为n，则； ④覆盖曲线的面积最小的圆是.以上说法正确的有_________.（填序号） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说必要明，证明过程及演算步骤. 15. 已知圆C的方程为；，直线的方程为 （1）过点作圆C切线，求切线的一般式方程； （2）若Q为直线上一点，且Q的横坐标为2，P为平面内一动点，O为原点，满足，求点的轨迹方程. 16. 树德中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的中位数； （2）若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为，，，甲、乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率. 17. 如图，点P为正方形ABCD所在平面外一点，M为PA中点，（）.平面平面，，. （1）若，求证：平面； （2）当二面角的正弦值为时，求的值. 18. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为.设A，B是椭圆上位于x轴同侧的两点，且直线与直线平行，当轴时，. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线的斜率为1，求的长度； （3）设直线l过点且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的下顶点，当面积最大时，求直线l的方程. 19. 已知椭圆：经过点和. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左焦点为F，点M，N是椭圆C上的两个动点，直线的斜率存在并且不为0. （i）若直线，关于x轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线过点，直线与直线，分别交于点P，Q，求. 树德中学高2024级高二上学期半期考试数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号.答案写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】##8.8 【14题答案】 【答案】①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说必要明，证明过程及演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）或； （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 解法一： 证明：在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，又， 以B为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 则有，，，，，， ，，， 当时，，， 所以，， 所以，，即，， 又因为平面，平面，， 所以平面. 解法二： 证明：因为平面平面ABP，平面平面， 四边形ABCD为正方形，，平面ABCD， 所以平面ABP. 因为平面ABP，所以. 又，M为AP中点，所以， 又，所以平面ADP，又平面ADP，所以. 又，，所以，所以， ，， 又. 由余弦定理可得 ， 所以，所以，又，所以平面. （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）（i）证明：设直线的方程为， 联立得， ，故， 设， 故， 直线，关于x轴对称，设关于x轴对称点为， 则，且在直线上， 直线的斜率存在并且不为0，故直线斜率存在且不为0， 其中，，即， 所以，其中， 所以，， 将代入可得 ，化简得，代入中， ，即且， 所以直线方程为， 直线过定点； （ii）1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $