第一章直角三角形边角关系单元试卷2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 鲁教版九年级数学上册“直角三角形边角关系”单元卷，以真实情境为载体，覆盖三角函数定义、解直角三角形等核心知识，梯度设计适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|三角函数定义、特殊角三角函数值|结合图形辨析，夯实概念理解| |填空题|6/24|影长计算、栏杆旋转高度|联系生活实际，培养几何直观| |解答题|7/96|测量灵霄塔高度、渔船与小岛距离|创设研学、海洋休渔等真实情境，考查模型意识与运算能力|

第一章直角三角形边角关系单元试卷 2026-2027鲁教版（五四制）九年级数学上册 一、单选题（共10小题，共40分） 1．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 3．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 6．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 8．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 9．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，共24分） 11．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 12．如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度约为_____．(，，) 13．已知公式：．已知．则______． 14．若，则________． 15．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 16．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 三、解答题（共7小题，共96分） 17．计算：． 18．热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 19．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 实施过程 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 4．测量到地面的高度． 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 4．测量两点间的距离； 5．测量到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 20．如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为，过点作于点，此时点相对于点升高了多少？ 21．某型号起重机吊臂底端为点O，顶端为点B，货物M通过吊索与B连接．初始平行于水平地面，，米，吊臂绕点O逆时针旋转，保持、长度不变，当时，求货物M上升的高度．（参考数据：，，） 22．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 23．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由O位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第一章直角三角形边角关系单元试卷 2026-2027鲁教版（五四制）九年级数学上册》参考答案 1．A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 2．B 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 3．B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 4．A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 5．B 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 6．A 【分析】利用锐角正弦值随角度增大而增大的性质，结合已知特殊角的正弦值求解范围． 【详解】解：∵是锐角，且，又∵当为锐角时，随角度的增大而增大， ∴由可得， ∵锐角满足， ∴． 7．D 【分析】根据得出或，根据特殊角的三角函数值求出或，即可得出答案． 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 8．D 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 9．C 【分析】过A作于E，根据矩形的判定与性质得出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解. 【详解】解：如图，过A作于E， 根据题意，得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即灵霄塔的高度是. 10．B 【分析】根据尺规作图可知垂直平分，从而得出为中点且，结合可得，进而利用相似三角形性质求解即可． 【详解】解：在中，， ． 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ，， ， ， ． 在中，， 11． 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 12．米/ 【分析】本题通过构造直角三角形，利用旋转不变性得到的长度，再根据锐角三角函数的定义计算得到端升高的高度，考查解直角三角形的实际应用． 【详解】解：过点作 ，交所在直线于点． 由旋转的性质可得 (米)． 在 中，， 因此 (米)． 答：栏杆端升高的高度约为米． 13． 【分析】根据给定的公式，结合特殊角的三角函数值，进行计算即可. 【详解】解：由题意， . 14．7 【详解】解：由特殊锐角的三角函数值可知：． 已知因此可得 得． 15．6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 16． 【分析】设，则，由折叠可得，再结合矩形的性质和勾股定理计算得出，最后再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵是的中点， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ， 解得， ， ∴． 17． 【详解】解： 18． 【详解】解：由题意得，，，， ∴，， ∴这栋高楼的高为． 19． 【分析】“测角仪”方案：证明四边形是矩形，得到，，解直角三角形求出，计算即可；“平面镜”方案， 证明，利用相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：“测角仪”方案， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ； “平面镜”方案， ，，，， ， ，即， ． 20．点相对于点升高了． 【分析】过点作，由题意得，，利用三角函数得出、，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意得，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 此时点相对于点升高了． 21．货物上升的高度为米 【分析】先解直角三角形求出米，延长，交水平线于点N，解直角三角形求出，最后求出货物上升的高度即可． 【详解】解：∵，，米， ∴， ∴（米）， 旋转后：、长度不变，即米，米，， 延长，交水平线于点N，则， ∴为直角三角形， ∴（米）， ∴上升高度为：（米）， 答：货物上升的高度为米． 22．该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 23．(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长； （2）过点作的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理即可求出M、N两点的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意知，，， 四边形是矩形， 米， 米． ， 米． （2）解：如图，过点作的延长线于点， ， ， ， 米，米， 米， 米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $