四川省成都市树德中学2025-2026学年高二下学期数学期中综合练习

**基本信息** 聚焦高二下学期核心知识，通过多模块整合与梯度题型设计，系统考查函数、几何、概率等综合应用能力，凸显数学思维与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导数|8题（单选1/3/7/8，填空13/14，解答19）|单调性、极值、零点问题，结合不等式证明|从求导运算到极值分析，再到不等式应用，层层递进| |几何|5题（单选6，多选9，解答15/18）|空间垂直证明、线面角、椭圆面积与定值问题|立体几何与解析几何结合，空间向量与代数运算融合| |概率统计|3题（多选10，解答16）|古典概型、分布列与期望，数据分析应用|从事件概率到随机变量分布，体现数据意识| |数列与不等式|3题（单选2，解答17）|等比数列求和、等差数列证明，前n项和计算|从递推关系到通项公式，再到求和应用| |排列组合与二项式定理|3题（单选4/5，填空12）|分配方案、展开式系数、“安康数”计数|实际问题抽象为数学模型，体现应用意识|

树德中学（外国语校区）高2024级高二下半期综合练习二 一、单选题（每小题5分，共40分。） 1．已知函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（     ） A． B．4 C． D．2 3．已知函数在处取得最小值1，则（     ） A． B． C． D． 4．计划将甲、乙、丙、丁、戊五名教师分配到三个不同的乡村学校支教，每个学校至少分配一人，若甲、乙两人必须分配在同一个学校，且丙不能与甲、乙分配在同一个学校，则不同的分配方案种数为（     ） A．24 B．30 C．36 D．42 5．已知，展开式中的系数为，则等于（     ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C． D． 7．已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．使函数在上存在零点的实数的范围是（     ） A.    B.    C.    D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（     ） A. B. 的离心率为2 C. D. 点到的两条渐近线的距离之和为 10. 某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和1个白球，乙箱中有3个红球和2个白球，设事件=“参与者选择甲箱”，事件=“两次都抽到红球”，则（     ） A. B. C. D. 与相互独立 11. 如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）。设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（     ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有____。 13. 若存在单调递减区间，则实数的取值范围是____。 14. 已知函数有两个极值点，则的最小整数值为____。 四、解答题 15. 如图，在四棱锥 中，底面 为边长等于2的菱形，，侧面 为正三角形，且二面角 为 。 （1） 证明：； （2） 设点 为棱 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值。 16. 某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球。规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球。 （1） 求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率； （2） 设随机变量 表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求 的分布列并求其期望。 17. 已知正项数列 的前 项积为 ，且 。 （1） 求证：数列 是等差数列； （2） 设 ，求 的前200项和 。 18. 已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为，． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线，分别交轴于，两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在上的值域； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：． 树德中学（外国语校区）高2024级高二下半期综合练习二答案 1-8：:BCD AC ABD 12.28 13. 14.3 15.【详解】（1）取中点，连接，， 因为是正三角形，为中点，故； 底面是边长为2的菱形，， 故也是正三角形，为中点，故，因为 ，且， 平面，所以平面，又 平面，因此，得证； （2） 由（1）知，，故 就是二面角的平面角，即， 以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，各点坐标为： ，，，，， 设，则， 得坐标： ，因此， 设平面的法向量为，则， 取，得，，即， 设直线与平面所成角为，由线面角公式： ， ，已知，代入得： ，化简平方后整理得：，解得，即。 16.【详解】（1）从9个球中摸出3个球，共有种， 其中红球个数多于白球个数的情况有：3红0白，2红1白两种情况， 所以一共有种可能， 所以摸出的红球个数多于白球个数的概率为. （2）由题意可得，，，， 且，，， ，所以的分布列如下： 0 1 2 3 17.【详解】（1）由，得，，则， 当时，则，得， 所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）得，， 则， 所以 ，所以. 18.【详解】（1）由题意可知， ，解得，椭圆的方程：.离心率为 （2）（i），，由于直线斜率不为0，则设直线， ，联立方程组，得： 所以 ，焦点弦长 ， 点到直线的距离 ， 令，所以在上单调递增，所以， 所以，当时等号成立，所以，当时等号成立，即面积的最大值为3 （ii）， 当轴时，交点，关于x轴对称，点M，N关于原点对称，以MN为直径的圆圆心为O，半径为OM ，，则，， 又，圆O与x轴的截得的弦为， 当直线斜率存在时，设直线， 设，，联立方程组，整理得 ， 则，， 直线，令，则， 直线，令，则，则， ，则 即 即，同理可证，即点，在以为直径的圆上，又，在轴上，以为直径的圆被轴截得的弦为，，综上所述：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值。 19.【详解】（1）当时，，则， 令，则，即；令，则，即。 所以在上单调递增，在上单调递减，又 ，，，所以的值域为。 （2）由，得， 设，则， ， 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以。 ①当时，，在上单调递减，则，不满足题意； ②当时，，使得， 当时，，在上单调递减，则，不满足题意； ③当时，，在上单调递增，则，满足题意。 综上可得，即实数的取值范围是。 （3）由（2）得，当时，任意恒成立， 即，所以， 所以 . 令，，则， 存在，使得. 则当时，；当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，而， 所以，即当时，. 所以， 所以 . 综上所述，. 学科网（北京）股份有限公司 $