四川成都市树德中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

树德中学高2024级高二下学期半期考试数学试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D A C B C C B C AD BCD ABD 15．（1）取的中点为，接，，则，， 而，，故，，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面，所以平面． 5分 （2） 因为，故，故，， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 6分 而，平面，故，，而，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 7分 则，，，． 设平面的法向量为，则由可得，取， 9分 设平面的法向量为，则由可得，取， 11分 故，故平面与平面夹角的余弦值为． 13分 16．（1）设事件“第次考试通过”（），则一年内领到资格证书的概率为 ． 5分 （2）， ． 分布列为： 1 2 3 0.4 0.36 0.24 11分 （3），则由（2），分布列为： 80 160 240 0.4 0.36 0.24 15分 17．（1），当时， ，两式相减得，当时，，当时也符合，． 5分 （2）由（1）可知，则， ． 10分 （3）易知随着的增大而增大，当为奇数时，恒成立，即，； 当为偶数时，恒成立，即，；综上所述，． 15分 18．（1）由已知得，所以，又，所以，， 解得，，∴椭圆的方程为． 4分 （2）①若直线的斜率存在，设直线的方程为，，． 由消去，得． ． ，，又，， 则 ．化简，即． ∵直线不能经过点，，．∴直线的方程为． ∴直线经过定点，当直线的斜率不存在时，若直线过，，点坐标为，， 满足．综上，直线过定点． 11分 ②设直线过定点为，设直线的方程为， 与椭圆联立消去得，，， ，， ，令，则， ，，（当且仅当，即时取等号）， ，面积的最大值为． 17分 19．（1）因为，所以，令，所以，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在的极小值为，无极大值． 3分 （2）在上恒成立，即在上恒成立， ①当时，由，得，，因此，满足题意； ②当时，令，则， 令，则．由，得，， 因此，则在上单调递增， 若，则，则在上单调递增，所以，满足题意； 若，则，，因此在上存在唯一的零点，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，不满足题意．综上，实数的取值范围为； 9分 （3）证明：当时，即，则，，取对数有，，则题干变形为． 不妨设，由（1）可知，要证明，即证， 因为，且在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需要证，即证， 即证，两边同时除以，得， 化简为，因为，所以只需证， 即证， 令，则， 令（）， 则在上恒成立，所以在上单调递增，， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以．故，即，所以． 即证成立． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2024级高二下学期半期考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．若1，，，，7成等差数列，1，，，125成等比数列，则等于（ ） A．4 B． C． D．8 2．若，则在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 3．的展开式中，的系数为（ ） A．-80 B．120 C．-40 D．40 4．树德中学有甲乙等5名同学约好去看三场不同的世界杯比赛，每名同学可自由选择观看其中的一场比赛，且每场比赛都有同学观看，且甲乙去看同一场比赛，则不同选择的种数为（ ） A．30 B．36 C．72 D．108 5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为，P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点是线段的中点，且，关于直线对称，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．2 C． D． 7．已知定义在R上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（ ） A．192 B．216 C．264 D．288 二、多选题：本题共3小题，共18分． 9．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（ ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 10．已知事件A，B，且，，则（ ） A B． C． D． 11．数列，满足函数，其中，，，现令，则（ ） A． B．为公差为的等差数列 C．的前2026项和为1013 D．，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为，则该圆锥的体积为________． 13．甲袋子中装有3个白球和2个红球，乙袋子中装有4个白球和4个红球，先随机取一个袋子，再从该袋子中不放回的取两次，每次取一个球，则在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________． 14．函数有且仅有一个零点，则最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分）如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面； （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会，一旦考试通过，便可领取资格证书，不再参加后续考试，否则继续参加考试，直至用完三次机会．某考生小王决定参加考试，如果他参加考试通过的概率依次为0.4，0.6，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）小王在一年内领到证书的概率； （2）小王在一年内参加考试次数的分布列； （3）假设每次考试需缴纳80元报名费，求小王在一年内缴纳的报名费（单位：元）的分布列． 17．（15分）已知数列的前项和为，，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）对于，恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）设椭圆：的左顶点为，上顶点为，已知椭圆的离心率为，． （1）求椭圆的方程； （2）设P，Q为椭圆上异于点的两动点，若、的斜率之积为． ①证明直线恒过定点，并求出该点坐标； ②求面积的最大值． 19．（17分）已知函数． （1）求在上的极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在正实数使得函数在上有两个不同的零点，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $