精品解析：四川遂宁荣兴东辰学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

高2027届高二（下）期中考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见函数求导公式以及导数运算法则逐一求导判断. 【详解】，选项A错误； ，选项B正确； ，选项C错误； ，选项D错误. 2. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、6种荤菜中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（    ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算. 【详解】由题意可知，分三步完成： 第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法； 第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法， 根据分步计数原理，共有种不同的选取方法， 3. 已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 为极值点 D. 为极值点 【答案】D 【解析】 【分析】由导数图象正负性，零点情况可判断选项正误. 【详解】A，因时，，则在上单调递减，故A正确； B，因时，，则在上单调递增，故B正确； C，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，故C正确； D，由图可得在上单调递增，则不为极值点，故D错误. 故选：D 4. 口袋中装有4个白球和5个红球，每个球编有不同的号码，从中取出2个球，则至少有1个白球的取法数为（ ） A. 26 B. 30 C. 32 D. 52 【答案】A 【解析】 【详解】至少有1个白球为2个白球或1个白球， 所以至少有1个白球的取法数为. 5. 已知函数在处取得极大值，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. -1或2 【答案】B 【解析】 【详解】. 因为函数在处取得极大值，故， 解得或， 当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，， 当时，当时， 故函数在处取得极大值，符合题意. 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 7. 若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，令，利用导数说明函数的单调性，画出的图象，依题意与有两个交点，即可得解. 【详解】令，则，则， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又当时，当时， 所以的图象如下所示： 依题意与有两个交点，则，则. 故选：D 8. 遂宁东辰新闻节目组依次录制遂宁市7个旅游景点：灵泉寺、广德寺、龙凤古镇、大英死海、沱牌产业园、蓬溪红海、观音湖的宣传视频，要求灵泉寺和广德寺不相邻，灵泉寺和观音湖相邻，且龙凤古镇不排在首和尾，不同排列种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据相邻和不相邻利用捆绑法和插空法求出不考虑龙凤古镇位置的排列种数，再求出龙凤古镇在特殊位置的排列种数，从而可以求解. 【详解】不考虑龙凤古镇的位置，有种； 当龙凤古镇排在首位时，有种， 同理，当龙凤古镇排在尾位时，有种； 所以满足要求的排列种数为种. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 【答案】CD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD 10. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】计算出，，利用条件概率求出，A正确；同理得到，D错误，利用全概率公式求出，B错误；利用条件概率得到C正确. 【详解】由题意得：，， 故，A正确； ，，D错误； ，， 故，B错误； ，C正确. 故选：AC 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故， 综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 【点睛】以导数为工具，精准分析和的单调性、极值与最值，是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量的分布列为，则或__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质，求得参数，再利用概率公式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 故或. 13. 已知的展开式中，项的系数为-10，则________. 【答案】4 【解析】 【详解】项系数为，解得． 14. 2026年春节，甲，乙等5个人在一个遂宁东辰校友微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第n次发出红包的人是乙为事件，，则，且，由全概率公式可得，从而得出的递推关系，再凑配出等比数列后利用等比数列的通项公式求解. 【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件，，则，且， 因为，， 由全概率公式可得， 即，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，根据组合数的求法，列式计算，即可得答案. （2）由（1）得，进而可得的通项公式，即可求出，分析可得当时，，当时，，根据古典概型概率公式，列式计算，即可得答案. 【小问1详解】 第3项与第项的二项式系数之和为， 即，解得或， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，则的通项公式为， 所以， 所以当时，，当时，， 所以从中任取两个相乘，积为负数的概率为. 16. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）求出每次为黑球的概率，在相乘即可； （2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率； 【小问2详解】 由题意，可取， 则， ， ， ， 所以的分布列为 . 17. 已知函数. （1）设. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间. （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）的单调递增区间为；单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用导数的几何意义求切线方程即可；（ii）令、即可求解； （2）（方法一）根据题意得，再令，利用导数求出的最值即可求解；（方法二）设，求导，得到，再解不等式即可． 【小问1详解】 函数，定义域为， 若，则， （i）， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （ii）令，得，所以的单调递增区间为； 令，得，所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 （方法一）若恒成立，则，即恒成立. 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以， 则，即，所以的取值范围为. （方法二）设， 则. 令，得， 令，得， 则， 得． 18. 在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. （1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （ⅰ）求小王答对第一组题的概率； （ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. （2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅰⅰ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据全概率公式，将事件分为“知道诗句答对”和“不知道诗句答对”这两种情况来计算. （ii）运用贝叶斯公式进行计算. （2）先分别计算答对每一题的概率，再根据获得分及以上的得分情况，分析出不同的答题组合，最后利用相互独立事件概率的乘法公式计算出每种组合的概率，将其相加得到挑战成功的概率. 【小问1详解】 （i）已知，则. 在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率. 根据全概率公式，将上述概率值代入可得： . （ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率 根据贝叶斯公式. 由前面计算可知，，，代入可得： . 【小问2详解】 设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）. 已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为. 则； ； . 因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况： 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、、题，其概率为. 因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为： . 19. 已知 （1）若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（i）知，，，， 所以 ， 因此要证，即证， 即证， 构造函数，， 则， 又在上为减函数，所以在上单调递减， 又，， 由函数零点存在性定理可得，，使得，即，即； 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以， 又在上显然单调递增， 所以， 所以，即， 故. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答. （2）（i）求出函数的导数，根据函数有两个不同的极值点，列不等式求解即可. （ii）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 因为函数在区间单调递减，所以. 则，化简得. 解得. 【小问2详解】 （i）由题意，的定义域为，， 因为有两个极值点， 所以方程即在上有两不等实根， 即函数在上有两不同零点， 因此只需，解得，即实数的取值范围是； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高二（下）期中考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、6种荤菜中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（    ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 3. 已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 为极值点 D. 为极值点 4. 口袋中装有4个白球和5个红球，每个球编有不同的号码，从中取出2个球，则至少有1个白球的取法数为（ ） A. 26 B. 30 C. 32 D. 52 5. 已知函数在处取得极大值，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. -1或2 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 遂宁东辰新闻节目组依次录制遂宁市7个旅游景点：灵泉寺、广德寺、龙凤古镇、大英死海、沱牌产业园、蓬溪红海、观音湖的宣传视频，要求灵泉寺和广德寺不相邻，灵泉寺和观音湖相邻，且龙凤古镇不排在首和尾，不同排列种数为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 10. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量的分布列为，则或__________. 13. 已知的展开式中，项的系数为-10，则________. 14. 2026年春节，甲，乙等5个人在一个遂宁东辰校友微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 16. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 17. 已知函数. （1）设. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间. （2）若恒成立，求的取值范围. 18. 在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. （1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （ⅰ）求小王答对第一组题的概率； （ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. （2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 19. 已知 （1）若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $