专题02 与绝对值有关的五类综合题型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 聚焦绝对值核心应用，以五类题型构建从基础化简到综合应用的递进训练体系，渗透数形结合与分类讨论思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |化简多重符号|5题|多重符号叠加化简|从绝对值定义出发，强化符号规则应用| |绝对值的非负性|5题|最值求解与方程应用|基于非负性质，延伸至代数式最值与参数求解| |利用数轴化简|5题|结合数轴位置关系化简|通过数轴实现数形转化，建立数与形的直观联系| |绝对值的几何意义|5题|距离和差的最值探究|将绝对值转化为距离模型，培养几何直观能力| |分类讨论化简|5题|多参数符号分类化简|针对字母取值范围分类，发展逻辑推理与分类意识|

专题02 与绝对值有关的五类综合题型 题型一 化简多重符号 题型二 绝对值的非负性 题型三 利用数轴化简绝对值 题型四 绝对值的几何意义 题型五 利用分类讨论化简绝对值 题型一：化简多重符号 1． 【详解】解：． 2． 【详解】解：； ； ． 3．/ 【分析】本题考查化简多重符号，利用相反数的意义和化简多重符号的方法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4． 7 【分析】根据相反数的意义化简即可解答． 【详解】解：，，． 故答案为：7，，． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数． 5． 【分析】根据多重符号化简法则，判断负号的个数，进而得出结果． 本题主要考查了多重符号的化简，熟练掌握多重符号化简法则（当负号的个数为奇数时，结果为负；当负号的个数为偶数时，结果为正）是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型二：绝对值的非负性 6．B 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性可知，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最大值是2026． 故选：B． 7． 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 8． 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 9．(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 10．（1） 29或21；（2） 【分析】本题考查的是绝对值，正确理解绝对值的定义、绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出、，根据绝对值的性质确定、的值，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性分别求出、，代入计算得到答案． 【详解】解：（1），， ，， ， ， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为29或21； （2），，， ，， ，， ． 题型三：利用数轴化简绝对值 11．A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又， ， ． 故选：A． 12． 5 或3 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题干公式即可解答； （2）表示到的距离，表示到的距离，分类讨论，即或，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：M、N两点间的距离为； 故答案为：； （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在左边，即时， ； 当在右边，即时， ； 故答案为：或． 13．(1)2或 (2)2， (3)，，，，，0，1，2；8 (4)14 【分析】此题考查了数轴，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （4）根据题意得出，，从而得出，根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义得出当有理数所对应的点在有理数4所对应的点和有理数所对应的点之间时，最小，最小值为，即可求出的最小值． 【详解】（1）解：∵点与表示有理数的点的距离是3个单位长度， ∴或， 故答案为：2或． （2）解：表示数轴上点到有理数2所对应的点之间的距离， 表示数轴上点到有理数所对应的点之间的距离， 故答案为：2，． （3）解：表示数轴上点到有理数2所对应的点之间的距离与数轴上点到有理数所对应的点之间的距离之和为7， ∵， ∴点在有理数2所对应的点和有理数所对应的点之间，包括2和， ∴这样的整数有，，，，，0，1，2，共8个． （4）解：∵数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示， ∴，， 则， 表示数轴上有理数所对应的点到有理数4所对应的点之间的距离与数轴上有理数所对应的点到有理数所对应的点之间的距离之和， 当有理数所对应的点在有理数4所对应的点和有理数所对应的点之间时，最小，最小值为， 则的最小值为14， 故答案为：14． 14．（1）6，5；（2）；（3）或6；（4）最小值为4，此时x可取整数1，2，3，4，5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义等知识，全面分类、数形结合是解题的关键； （1）根据数轴上两点间的距离解答即可； （2）根据数轴上两点间的距离解答即可； （3）表示数轴上数m与1之间的距离为5，再分当数m在1的左边和右边两种情况求解即可； （4）的意思是数轴上表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和，然后分数x在数1的左边、在数1和5之间、数5的右边三种情况，结合数轴即可解答． 【详解】解：（1）数轴上表示和两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：6，5； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：； （3）表示数轴上数m与1之间的距离为5，则当数m在1的左边时，数，当数m在1的右边时，数， 综上，或6； 故答案为：或6； （4）的意思是数轴上表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和， 则当数x在数1的左边时，表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和大于4， 当数x在数1和5之间时，表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和等于4， 当数x在数5的右边时，表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和大于4， 综上：当数x在数1和5之间时，有最小值，且最小值为4，此时x可取整数1，2，3，4，5． 15．(1)或，1或 (2)①；②，，0，1③3 【分析】本题考查了数轴，绝对值，非负数的性质，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可得到结论； （2）①分，和三种情况讨论求解即可； ②方法同①； ③根据表示数x与表示数和1的点之间的距离之和，当表示数x的点处于和1的点之间时，距离最小，可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点和之间的距离可记做； 若数轴上表示与的两点和之间的距离为2，则， , ∴或， 故答案为：或，1或 （2）解：①当时，变形为：，解得，此情况不成立； 当时, 变形为：，解得； 当时，变形为：，解得，此情况不成立； 所以，的值为， 故答案为：； ②当时，，解得； 当时，，恒成立，所以，在此范围内的整数解为，0； 当时，，解得； 故答案为：，，0，1； ③∵表示数x与表示数和1的点之间的距离之和， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 题型四：绝对值的几何意义 16．8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 17． 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 18．(1) (2)①6或；②或 (3)3或 【分析】本题考查了绝对值的定义及几何意义的运用，关键掌握绝对值的非负性，根据实际距离分类讨论计算． （1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可； （2）依据绝对值的几何意义即可求解； （3）依据距离的非负性，分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：点B表示的数为； 故答案为：； （2）解：①表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为， ∴或 ②，表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为， ∴或 故答案为：①6或10；②或； （3）解：由A，P两点之间的距离为2，可得， ，则（秒）； ，则（秒）， 所以当或秒时，A，P两点之间的距离为2． 19．（1）7；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 20．（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 题型五：利用分类讨论化简绝对值 21． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数的运算法则判断符号，绝对值化简等； （1）由有数乘法法则的，由加法法则，即可判断； （2）由有理数乘法法则，即可判断； （3）当a、b、c均为正数时，去绝对值，化简计算，即可求解；当a、b、c均为负数时，同理可求； 当a、b、c中有两个正数一负数时，同理可求；当a、b，c中有一个正数两个负数时，同理可求． 理解有理数加法、乘法法则，绝对值性质是解题的关键． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以； 故答案：； （2）解：因为，， 所以； 故答案：； （3）解：当a、b、c均为正数时， ； 当a、b、c均为负数时， ； 当a、b、c中有两个正数一负数时，不妨设 ，，， 所以 ； 当a、b，c中有一个正数两个负数时，不妨设 ，，， ． 综上，的值为或． 22． 【答案】(1)1； (2)1或；2或0 (3)，0，4 【分析】本题考查了绝对值的化简，合理选择分类的标准是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法，即得答案； （2）对和分别计算，即得的结果；对和分别计算，即得的结果； （3）分四种情况讨论：①，，；②，，三个字母中有一个小于0，其它两个大于0；③，，三个字母中有一个大于0，其它两个小于0；④当，，三个字母都小于0．根据绝对值的化简方法，即可分别求出结果． 【详解】（1）解：，； 故答案为：1；． （2）解：当时，； 当时，； 当，时，； 当，时，； 故答案为：1或；2或0． （3）解：分以下四种情况： ①当，，时； ②当，，三个字母中有一个小于0，其它两个大于0时， ； ③当，，三个字母中有一个大于0，其它两个小于0时， ； ④当，，三个字母都小于0时， ； 综上所述的所有可能的值为，0，4． 23． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论∶①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解∶ 因为，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为，， 所以， 故答案为：； （3）解∶ 当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，则 ； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，则 ， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解∶因为与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 所以的值为． 24． 【答案】(1)1，，2或 (2)或1 (3)1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）根据绝对值的意义化简求解即可； （2）由，可得中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （3）由，可得中有两个为负，一个为正，即可得的值是1． 【详解】（1）解：∵，则； ，则； ∵， ∴当，时，则； 当，时，则； 故答案为：1，，2或 （2）解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则； 综上所述，值为或1． （3）解：∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴． 25． 【答案】(1)0 (2)1或 (3)1或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键． （1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． （3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】（1）解：，是不为0的有理数，当时，，，或，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：0． （2）∵， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时，则：； ②、、有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则．   综上所述，原式的值为1或． （3），，为三个不为0的有理数，且得，，，． 当、、中只有一个负数，另两个为正数时，设，，， ； 当、、中只有一个正数，另两个为负数时，设，，， ．   综上所述，原式的值为1或．   2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02与绝对值有关的五类综合题型 题型归纳 题型一化简多重符号 题型二绝对值的非负性 题型三利用数轴化简绝对值 题型四绝对值的几何意义 题型五利用分类讨论化简绝对值 题型专练 题型一：化简多重符号 1,(24-25七年级上宁夏吴忠阶段检测)化简符号：-《[-(+8)]}= 2.(26-27七年级全国暑假作业)(1)-（-3)=一：(2)+(-3列=；(3)-(+3)=一 3.(25-26七年级上广东韶关期中)化简： 4.(22-23七年级上河南安阳阶段检测)化简：-[+(-7)]=一，-[-（-2)】=一，+[-(+)]=_ 5.(2025七年级上全国专题练习)-{[-(+2)]}= 题型二：绝对值的非负性 6.(25-26七年级上浙江舟山期末)式子2026-x+4存在最大值，这个最大值是() A.2027 B.2026 C.2025 D.2024 7.(26-27七年级浙江暑假作业)代数式a-3到的最小值是一，4+3的最小值是— 8.(26-27七年级浙江暑假作业)(1)若+=0，则x=一，y= (2)若a-6+=0,则a=,b= 9.(26-27七年级浙江·暑假作业)回答下列问题 118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()代数式a-2的最小值是 (②)6-4有最_值是 10.(25-26六年级上山东淄博期中)(1)若=5，=2，且x-川=-(x-).求2y-5x的值： (2)若x-3+y-4=0.求-5x-2)的值. 题型三：利用数轴化简绝对值 11.(25-26七年级上江苏无锡阶段检测)如图，数轴上点A、B表示的数分别是a、b,b-a=8;M 为数轴上一点，其表示的数为m,当点M在数轴上移动时，若m-a+m-的值始终保持不变，则当 m-d=3m-b时，m-的值为() A B a 0b A.2 B.2.5 C.3 D.4 12.(25-26七年级上：四川乐山期末)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合， 这种解决问题的思想叫做数形结合思想.研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示 有理数a、b,那么A、B两点间的距离表示为AB=l口-b).例如数轴上表示4和-1的两点之间的距离可表 示为4-(-)=5. -8-7-6-5-4-3-2-1012345678> (1)如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数-4，则MN两点间的距离为 (2)若r+3+x-2=7,则x的值为 13.(24-25七年级上·江苏南通·阶段检测)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美 结合，通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a,b,则A, B两点之间的距离ABa-bl,若a>b,则可化简为AB=a-b.若点P为数轴上一动点，点P对应的数 记为a,请你利用数轴解决以下问题： -5-4-3-2-1012345 (1)若点P与表示有理数-1的点的距离是3个单位长度，则的值为_： (②)la-2表示数轴上点P到有理数_所对应的点之间的距离，|a+5|表示数轴上点P到有理数_所对应的点 之间的距离： 218 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)利用数轴，找出所有符合条件的整数a,使得a-2+|a+5上7.则这样的整数a有_，共个. (④若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则b-2+c+5的最小值为_. 14.(25-26七年级上河南驻马店阶段检测)综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一 个问题：点A、B数轴上分别表示有理数4、b,A、B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B两点之 间的距离ABa-b1,利用数形结合思想回答下列问题： A B a 0 (1)数轴上表示2和8两点之间的距离是一；数轴上表示4和-1的两点之间的距离是一： 【独立思考】： (2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为 (3)试用数轴探究：当m-1=5时，m的值为一 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出x-1+x-5的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 15.(25-26七年级上河南南阳期中)在华师大七年级数学上册16页中，有这样一段文字： 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作a 例如，在数轴上表示+5的点与原点的距离是5个单位长度，所以+5的绝对值是5，记作 +5=5;在数轴上表示-6的点与原点的距离是6个单位长度，所以-6的绝对值是6. 实际上，数轴上表示数-3的点与原点的距离可记做-3-01，数轴上表示数-3的点与表示数2的点的距离 可记做-3-2|，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为，B点表示的数记为b,那么A,B两点 间的距离就可记做a-b 回答下列问题： (1)数轴上表示x与-1的两点A和B之间的距离可记做 ;若数轴上表示x与-1的两点A和B之 间的距离为2，那么x为 (2)①若点A表示的有理数为x,则当x满足 时，|x+2Hx-1: ②找出所有使得x+2+x-1=3成立的整数x是 ③x+2+x-1川的最小值是 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四：绝对值的几何意义 16.(2026九年级黑龙江齐齐哈尔·专题练习)我们知道：在数轴上，若点A,B分别表示实数a,b,则 A,B两点之间的距离为l口-.例如：式子k-3到的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离， 则式子x-3+r+5的最小值是 17.(25-26六年级上上海期末)x-1+x-2+.+x-2025+x-2026的最小值为 18.(23-24七年级上·内蒙古包头·阶段检测)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A 左侧一点，且AB=20 B 0 A 0 (1)写出数轴上点B表示的数 (2)5-3到表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离.如 k-3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离.试探索： ①若-8=2，则x= ②若r+2=3,则x=」 (3)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为(>0)秒.求当1 为多少时，A,P两点之间的距离为2 19.(25-26七年级上贵州铜仁期末)【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时 难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.数轴是一个非 常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是 “数形结合”的基础.如：3-表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之 间的距离；3+1可以看作3-（一1儿，表示3与-1的差的绝对值，也可理解为3与-1两数在数轴上所对应的 两点之间的距离. 54-32-1012345→ 【学以致用】 (1)4-（-3= (2)若-(-1=2，则x= 【迁移拓展】 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)x-1=l+3,则x= (4)若r-2+x+5=7,所有符合条件的整数x的和为 20.(25-26七年级上四川巴中·期末)【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值， 记作4，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作a-b,如数轴上表示数5的点与表示数7的点的 距离为5-=2,5+7=5-(-7)表示数轴上表示数5的点与表示数-7的点的距离，-5表示数轴上表 示数a的点与表示数5的点的距离.根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数-2的点与表示数3的点的距离为一： ②若la-5=3,则a=一； 【深入探究】 (2)求x+2+x-3的最小值.以下是小明的解答过程： 解：记点P,A,B分别表示数x,-2,3,点P、点A的距离PA=x+2,点P、点B的距离PB=x-3. 当点P在点A的左边，即x<-2时，如图①，此时PA>0,PB>5, .PA+PB>5,即r+2+x-3>5 当点P在线段AB上，即-2≤x≤3时，如图②，此时PA+PB=5. 即x+2+x-3=5, 当点P在点B的右边时，即x>3时，如图③，此时PA>5,PB>0. PA+PB>5,即r+2+x-3>5」 当-2≤x≤3时，x+2+x-3到有最小值，最小值为5. P A B 3 1 P B B P -2 -2x ① ② ③ 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子r+3+x+x-2的最小值. 【解决问题】 (3)某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1,2,1,2,3,3.由于 电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 518 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五：利用分类讨论化简绝对值 21.分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (L)当ab<0时，若b>0,4<bl则a+b 0； (2)当abc<0时，若ab>0,则c 0 a b c 3)已知a,b,c是非零有理数，求a阿何的值. 22.综合与实践 我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的 本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到 整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.这一数学思想用处非常广泛，我们经 常用这种方法解决问题.例如：我们在讨论@I的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，4=a;当 a<0时，a=-a.现在请你利用这一思想解决下列问题】 5 -2 -2 a b (a≠0)'回 一—（其中a>0'b≠0）： a b c abc 3)若bc+0' 试求a阿qabc的所有可能的值. x,x>0 23. 阅读下列材料：0=0。即当时：因1当时，因二3-运用以上结论 -x,x<0 x>0 xx x<0 xx 解决下面问题： b 1)当。<0时，若b<014<,则a+b—0, 2当c>0时，若2>0，则6一0， 3)已知a'b’c是非零有理数，则 lal lol_lel_ a b c 4)当a与b都是整数，且la+b=l,求a+b的值.（写出分类讨论的过程） 24.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解 决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题。 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【提出问题】三个有理数a,h.c满足bc>0:求。+6+。的值.一 【解决问题】 解：由题意，得a,b,C三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数 ①a,b,c都是正数，即a>0,b>0,c>0时， 则4+A+日-++-1+1+1=3， a b c a b c ②当a,b,c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0, 则回+A+日-+力+=1++)-1. a b c a b c 综上所述， lal lol ll a6+6值为3或-1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 1)a>0则 b<0:则6 ab>0:则 a b 血，以9 (2)三个有理数a,b,c满足abc<0,求。+6+e的值： abc 3)若a,b.c为三个不为0的有理数，且 ,+=-1,求bc的值. a b c 25.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解 决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题. lallblcl 【提出问题】三个有理数a'b,c满足abc>0?求a+6+。的值. 【解决问题】解：由题意，得a、b、C三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. na,b1+l_a+b+e=1+1+l=3, ①abe都是正数，即a>0'b>0c>0时，则a+6+c=a十6+e ②当a、b、c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0,则 la+b1+lc_a+-b+-c=1+-+-)=-1. a b c a b c 综上，日女只年 值为3或1 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： b (1)已知a、b是不为0的有理数，当ab上-ab时，则ab的值是一： 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b c 2记知abc是有理数，当abc<0时，则abc的值是一： b+cc+aa+b 3)已知ab八c是有理数，且a+b+c=0?求a+b+1c的值. 818 专题02 与绝对值有关的五类综合题型 题型一 化简多重符号 题型二 绝对值的非负性 题型三 利用数轴化简绝对值 题型四 绝对值的几何意义 题型五 利用分类讨论化简绝对值 题型一：化简多重符号 1．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 【答案】 【详解】解：． 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）（1）______；（2）______；（3）______． 【答案】 【详解】解：； ； ． 3．（25-26七年级上·广东韶关·期中）化简：________． 【答案】/ 【分析】本题考查化简多重符号，利用相反数的意义和化简多重符号的方法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．（22-23七年级上·河南安阳·阶段检测）化简： __， __，__． 【答案】 7 【分析】根据相反数的意义化简即可解答． 【详解】解：，，． 故答案为：7，，． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）___________． 【答案】 【分析】根据多重符号化简法则，判断负号的个数，进而得出结果． 本题主要考查了多重符号的化简，熟练掌握多重符号化简法则（当负号的个数为奇数时，结果为负；当负号的个数为偶数时，结果为正）是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型二：绝对值的非负性 6．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性可知，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最大值是2026． 故选：B． 7．（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 8．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 10．（25-26六年级上·山东淄博·期中）（1）若，且．求的值； （2）若．求的值． 【答案】（1） 29或21；（2） 【分析】本题考查的是绝对值，正确理解绝对值的定义、绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出、，根据绝对值的性质确定、的值，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性分别求出、，代入计算得到答案． 【详解】解：（1），， ，， ， ， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为29或21； （2），，， ，， ，， ． 题型三：利用数轴化简绝对值 11．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又， ， ． 故选：A． 12．（25-26七年级上·四川乐山·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 【答案】 5 或3 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题干公式即可解答； （2）表示到的距离，表示到的距离，分类讨论，即或，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：M、N两点间的距离为； 故答案为：； （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在左边，即时， ； 当在右边，即时， ； 故答案为：或． 13．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，，则，两点之间的距离，若，则可化简为．若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则的值为 ； (2)表示数轴上点到有理数 所对应的点之间的距离，表示数轴上点到有理数 所对应的点之间的距离； (3)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．则这样的整数有 ，共 个． (4)若数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示，则的最小值为 ． 【答案】(1)2或 (2)2， (3)，，，，，0，1，2；8 (4)14 【分析】此题考查了数轴，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （4）根据题意得出，，从而得出，根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义得出当有理数所对应的点在有理数4所对应的点和有理数所对应的点之间时，最小，最小值为，即可求出的最小值． 【详解】（1）解：∵点与表示有理数的点的距离是3个单位长度， ∴或， 故答案为：2或． （2）解：表示数轴上点到有理数2所对应的点之间的距离， 表示数轴上点到有理数所对应的点之间的距离， 故答案为：2，． （3）解：表示数轴上点到有理数2所对应的点之间的距离与数轴上点到有理数所对应的点之间的距离之和为7， ∵， ∴点在有理数2所对应的点和有理数所对应的点之间，包括2和， ∴这样的整数有，，，，，0，1，2，共8个． （4）解：∵数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示， ∴，， 则， 表示数轴上有理数所对应的点到有理数4所对应的点之间的距离与数轴上有理数所对应的点到有理数所对应的点之间的距离之和， 当有理数所对应的点在有理数4所对应的点和有理数所对应的点之间时，最小，最小值为， 则的最小值为14， 故答案为：14． 14．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； 【独立思考】： （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______； （3）试用数轴探究：当时，的值为______． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】（1）6，5；（2）；（3）或6；（4）最小值为4，此时x可取整数1，2，3，4，5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义等知识，全面分类、数形结合是解题的关键； （1）根据数轴上两点间的距离解答即可； （2）根据数轴上两点间的距离解答即可； （3）表示数轴上数m与1之间的距离为5，再分当数m在1的左边和右边两种情况求解即可； （4）的意思是数轴上表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和，然后分数x在数1的左边、在数1和5之间、数5的右边三种情况，结合数轴即可解答． 【详解】解：（1）数轴上表示和两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：6，5； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：； （3）表示数轴上数m与1之间的距离为5，则当数m在1的左边时，数，当数m在1的右边时，数， 综上，或6； 故答案为：或6； （4）的意思是数轴上表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和， 则当数x在数1的左边时，表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和大于4， 当数x在数1和5之间时，表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和等于4， 当数x在数5的右边时，表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和大于4， 综上：当数x在数1和5之间时，有最小值，且最小值为4，此时x可取整数1，2，3，4，5． 15．（25-26七年级上·河南南阳·期中）在华师大七年级数学上册16页中，有这样一段文字： 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value)，记作． 例如，在数轴上表示的点与原点的距离是5个单位长度，所以的绝对值是5，记作；在数轴上表示的点与原点的距离是6个单位长度，所以的绝对值是6． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记做． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点和之间的距离可记做___________；若数轴上表示与的两点和之间的距离为2，那么为___________； (2)①若点表示的有理数为，则当满足___________时，； ②找出所有使得成立的整数是___________； ③的最小值是___________． 【答案】(1)或，1或 (2)①；②，，0，1③3 【分析】本题考查了数轴，绝对值，非负数的性质，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可得到结论； （2）①分，和三种情况讨论求解即可； ②方法同①； ③根据表示数x与表示数和1的点之间的距离之和，当表示数x的点处于和1的点之间时，距离最小，可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点和之间的距离可记做； 若数轴上表示与的两点和之间的距离为2，则， , ∴或， 故答案为：或，1或 （2）解：①当时，变形为：，解得，此情况不成立； 当时, 变形为：，解得； 当时，变形为：，解得，此情况不成立； 所以，的值为， 故答案为：； ②当时，，解得； 当时，，恒成立，所以，在此范围内的整数解为，0； 当时，，解得； 故答案为：，，0，1； ③∵表示数x与表示数和1的点之间的距离之和， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 题型四：绝对值的几何意义 16．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 17．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 18．（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，已知数轴上点表示的数为是数轴上位于点左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数___________； (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则___________． ②若，则___________； (3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当为多少时，两点之间的距离为2． 【答案】(1) (2)①6或；②或 (3)3或 【分析】本题考查了绝对值的定义及几何意义的运用，关键掌握绝对值的非负性，根据实际距离分类讨论计算． （1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可； （2）依据绝对值的几何意义即可求解； （3）依据距离的非负性，分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：点B表示的数为； 故答案为：； （2）解：①表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为， ∴或 ②，表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为， ∴或 故答案为：①6或10；②或； （3）解：由A，P两点之间的距离为2，可得， ，则（秒）； ，则（秒）， 所以当或秒时，A，P两点之间的距离为2． 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【答案】（1）7；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 20．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 题型五：利用分类讨论化简绝对值 21．分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则_________0； (2)当时，若，则c_________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数的运算法则判断符号，绝对值化简等； （1）由有数乘法法则的，由加法法则，即可判断； （2）由有理数乘法法则，即可判断； （3）当a、b、c均为正数时，去绝对值，化简计算，即可求解；当a、b、c均为负数时，同理可求； 当a、b、c中有两个正数一负数时，同理可求；当a、b，c中有一个正数两个负数时，同理可求． 理解有理数加法、乘法法则，绝对值性质是解题的关键． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以； 故答案：； （2）解：因为，， 所以； 故答案：； （3）解：当a、b、c均为正数时， ； 当a、b、c均为负数时， ； 当a、b、c中有两个正数一负数时，不妨设 ，，， 所以 ； 当a、b，c中有一个正数两个负数时，不妨设 ，，， ． 综上，的值为或． 22．综合与实践 我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题． (1)________，________． (2)________，________（其中，）． (3)若，试求的所有可能的值． 【答案】(1)1； (2)1或；2或0 (3)，0，4 【分析】本题考查了绝对值的化简，合理选择分类的标准是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法，即得答案； （2）对和分别计算，即得的结果；对和分别计算，即得的结果； （3）分四种情况讨论：①，，；②，，三个字母中有一个小于0，其它两个大于0；③，，三个字母中有一个大于0，其它两个小于0；④当，，三个字母都小于0．根据绝对值的化简方法，即可分别求出结果． 【详解】（1）解：，； 故答案为：1；． （2）解：当时，； 当时，； 当，时，； 当，时，； 故答案为：1或；2或0． （3）解：分以下四种情况： ①当，，时； ②当，，三个字母中有一个小于0，其它两个大于0时， ； ③当，，三个字母中有一个大于0，其它两个小于0时， ； ④当，，三个字母都小于0时， ； 综上所述的所有可能的值为，0，4． 23．阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论∶①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解∶ 因为，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为，， 所以， 故答案为：； （3）解∶ 当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，则 ； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，则 ， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解∶因为与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 所以的值为． 24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即时， 则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为3或－1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)，则_____________，，则___________，，则___________； (2)三个有理数满足，求的值； (3)若为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)1，，2或 (2)或1 (3)1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）根据绝对值的意义化简求解即可； （2）由，可得中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （3）由，可得中有两个为负，一个为正，即可得的值是1． 【详解】（1）解：∵，则； ，则； ∵， ∴当，时，则； 当，时，则； 故答案为：1，，2或 （2）解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则； 综上所述，值为或1． （3）解：∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴． 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得、、三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①、、都是正数，即，，时，则； ②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则 ． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知、是不为0的有理数，当时，则的值是　　； (2)已知、、是有理数，当时，则的值是　　； (3)已知、、是有理数，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)1或 (3)1或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键． （1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． （3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】（1）解：，是不为0的有理数，当时，，，或，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：0． （2）∵， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时，则：； ②、、有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则．   综上所述，原式的值为1或． （3），，为三个不为0的有理数，且得，，，． 当、、中只有一个负数，另两个为正数时，设，，， ； 当、、中只有一个正数，另两个为负数时，设，，， ．   综上所述，原式的值为1或．   2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $