专题02 数轴综合压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建数轴动点问题突破体系，提炼四步解题模型，分层覆盖基础到最难压轴，典例精选安徽期末真题，强化方法迁移与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4类通法|设t表动点→列绝对值方程→分类求解→检验，折返运动分段列式，定值证明系数消元|从基础相遇、相距到定值证明，难度递进，通法步骤标准化| |题型归纳|4题型含典例+变式|每题型配易错点与模版，如相遇问题注意绝对值双解|题型与通法一一对应，典例覆盖高频考法| |压轴挑战|选择+填空+解答共15题|综合运用通法解决复杂运动与定值问题|整合前两模块方法，提升思维上限|

专题02 数轴综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、基础动点相遇、相距问题（高频必考） 题型二、数轴动点距离倍数问题（中档压轴） 题型三、动点折返运动+中点问题（难点压轴） 题型四、数轴定值证明（期末最难压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：基础动点相遇、相距问题（高频必考） 1. 设运动时间为t秒，用含t的代数式，表示所有动点对应的数； 2. 代入距离公式，写出两点距离的绝对值表达式； 3. 根据题意列方程：相遇问题列等式，相距问题列绝对值方程； 4. 去掉绝对值，分两种情况解方程，检验时间t为正数，舍去不合理的解。 通法2：数轴动点距离倍数问题（中档压轴） 1. 设时间t，写出动点对应的数； 2. 利用距离公式，分别表示动点到定点的两段距离； 3. 根据题目倍数关系，列出绝对值倍数方程； 4. 根据绝对值零点划分取值区间，分类去绝对值解方程，舍去无效解。 通法3：动点折返运动+中点问题（难点压轴） 1. 先计算动点单程运动时间，划分去程、返程两个时间段； 2. 分阶段写出不同时间段内，动点对应的代数式； 3. 结合中点公式、距离条件列方程； 4. 检验方程的解是否在对应运动区间内，不在则舍去。 通法4：数轴定值证明期末最难压轴） 1. 设运动时间t，写出所有动点、中点对应的数； 2. 代入所求代数式，整体去括号、合并同类项化简； 3. 若含t的项系数抵消为0，式子结果为常数，即为定值； 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、基础动点相遇、相距问题（高频必考） 【典例1】．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 题型模版 1.易错点：切勿忽略绝对值的两种情况，只计算一组解；容易混淆动点运动方向，导致代数式符号写错。 【变式1-1】．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足．若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，若t秒后C、D两点相距5个单位长度，则t的值为______． 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______，点P表示的数是_________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，？ 【变式1-3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，数轴上有两个动点、，点从数轴上表示处以每秒3个单位的速度向右运动，点从数轴上表示15处以每秒2个单位的速度向左运动． (1)若两点同时运动，用含有的代数式表示；秒后点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若两点同时运动，经过多少秒能使、两点之间的距离等于5个单位； (3)若、两点的中点为点，两动点、同时运动时，经过多少秒能使、两点之间的距离等于5个单位． 题型二、数轴动点距离倍数问题（中档压轴） 【典例2】．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）在数轴上，点、对应的数分别是和，点对应的数为，点到的距离是点到距离的倍，则点对应的数的值为________． 【典例3】．（23-24七年级上·安徽六安·期末）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6，若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，则经过______秒，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍． 【典例4】．（25-26七年级上·安徽池州·期末）数轴上有、、三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点、、所表示的数分别为、、，因为，，所以，因此，点是点、的“关联点”．根据上述描述，回答下列问题： (1)如果点表示数，点表示数．下列各数、、所对应的点分别是、、．其中______是点、的“关联点”． (2)点表示数（是一个常数，），点表示数，为数轴上一个动点： ①如果点在点、之间，并且点是点、的“关联点”，试用含有的代数式来表示点所表示的数； ②如果点在点的右侧，点、、中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，并且点与点之间的距离为．请直接写出此时点表示的数． 【变式2-1】．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段检测）已知数轴上A、B两点对应的数分别为、，且满足    （1）求点A、B两点对应的有理数是______； （2）若点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过______秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍． 【变式2-2】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我们规定：点在线段上，此时共有三条线段，若其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，则称点为线段的二倍分点．如图，在数轴上有三点，且点表示的数分别为45，55，点在之间．动点从点出发，沿着数轴正方向以1个单位每秒速度匀速运动．设运动时间为秒，回答下列问题： (1)若点恰好为线段的二倍分点，且，则点表示的数为___________； (2)在（1）条件下，当为何值时，点恰好为线段的二倍分点？ 【变式2-3】．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）已知数轴上两点对应的数分别为和，点为数轴上一动点． (1)请在数轴上标出点、点； (2) 若点到的距离是点到的距离的两倍，我们就称点是的好点． 若点运动到原点时，此时点____的好点填是或者不是； 若点以每秒个单位的速度从原点开始运动，当是的好点时，求点的运动方向和运动时间； (3)试探究线段和的差即的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【变式2-4】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知数轴上两点、，若在数轴上另外存在一点，使得，则称点为线段的“两倍点”．例如：如图①所示，当点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，，有，，成立，则称点是线段的“两倍点”． (1)若点是线段的“两倍点”，则点的位置不可能在(    ) A、点的左边 B、线段上 C、点的右边 (2)如图②，已知点表示的数为，点表示的数为，若点是线段的“两倍点”，求点表示的数是多少？请说明理由． (3)如图③，已知点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，动点从出发，以每秒个单位的速度向右匀速运动，动点从出发，以每秒个单位的速度向左匀速运动，设运动的时间为秒．当为何值时，点是线段的“两倍点”？ 题型三、动点折返运动+中点问题（难点压轴） 【典例5】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）将数轴折叠后，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． 【典例6】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数______的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为，请求出所有满足条件的点P所表示的数． 【典例7】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 题型模版 1.核心技巧 折返运动必须分段列式，全程通用一个代数式必然出错。 【变式3-1】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，是数轴上的三点，且两点之间的距离为8，以C为折点，将此数轴向右对折，此时点A和点B恰好重合． (1)若点C表示的数为1，则点A表示的数为________； (2)若点C表示的数为，则点A表示的数与点B表示的数之和为________． 【变式3-2】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图，结合数轴与绝对值的知识可知：一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)数轴上表示数3和数的两点之间的距离是______；若表示数和数的两点之间的距离是5，则______； (2)（i）若数轴上表示数的点位于与7之间，则的值为______； （ii）若将数轴折叠，使得数2表示的点与数表示的点重合，此时数轴上的点，（点在点的左侧）也互相重合．若数轴上，两点之间的距离为1018，求点，分别表示的数． 【变式3-3】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）如图1，已知点，，在数轴上，点在点的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点表示的数为，若点到原点的距离是点到原点的距离的倍，则数轴上点对应的数是_____；若点到点，的距离相等，则点对应的数是_________． (2)点表示的数为，设点表示的数为，若动点沿数轴正方向移动了个单位长度到达点，试求的值． (3)如图2，若数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点（点的对应点）落在点的右侧，且，两点之间的距离为，则点表示的数是多少? 题型四、数轴定值证明（期末最难压轴） 【典例8】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中，b是最小的正整数，． (1)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数______表示的点重合； (2)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒． ①当点C在点B右侧时，_____，______（用含t的代数式表示）； ②小西同学发现：的值是个定值，求此时m的值． 题型模版 1.定值核心思路：若调整速度使MN为固定常数，只需令含t项的系数为0，即可消去变量，得到定值。 2.高频考法：PA−PB、2PM−QN等代数式定值问题，核心都是化简消去变量t。 【变式4-1】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ； (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ； (3)如图3，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【变式4-2】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）【背景知识】 数轴是初中数学的一种重要的工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴时我们发现了许多重要的规律；若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离．线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)求两点间的距离的值； (2)用含的代数式表示后，点与点表示的数； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出线段的长；若变化，请说明理由． 【变式4-3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）数轴可以将数与形完美地结合．若点、分别是有理数、在数轴上对应的两点，我们就把、叫做点、点的一维坐标．一般地，称为点与点之间的距离；线段的中点对应的数是．已知，数轴上点的坐标为，点的坐标为9，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为秒． 请解答下列问题： (1)填空： ①、两点间的距离______；线段的中点坐标为______． ②用含的代数式表示：秒后，点的坐标为______；点的坐标为______． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点的坐标； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．已知数轴上两点A、B表示的数分别为﹣3、1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x，如果点P到点A、点B的距离之和为6，则x的值是（　　） A．﹣4 B．2 C．4 D．﹣4或2 3．一条数轴上有点A，B，点C在线段上，其中点A，，B表示的数分别是，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点B的距离为4个单位，则点C表示的数是（    ） A．1 B． C．或3 D．1或 4．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．在数轴上有一点A，先将点A向右移动3个单位长度得到点B，再将点B向左移动5个单位长度则得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c，若这三个数的和与其中一个数相等，且，则c的值为_____________． 7．如图，数轴上点，表示的数分别为和16，线段在数轴上的，两点之间运动．点是的中点，当线段的端点与点重合时，端点在数轴上对应的数是2，若，则点在数轴上对应的数是_____． 8．如图，将印有数轴的纸条从到11这一段剪下（总长为18个单位长度，不考虑宽度），并把这段纸条沿某点折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三段纸条，发现这三段纸条的长度之比为（此比值与剪下三段纸条的顺序无关），若折痕处的点对应一个正数，则这个正数可能是______    9．如图，点A，C，B在数轴上表示的数分别是，1，5．动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B匀速运动，设点P的运动时间为．当点P，Q到点C的距离相等时，t的值是______．    10．如图，点P和点Q在数轴上表示的数分别是和7．点P和点Q同时相向匀速运动，运动不停止，速度分别为3个单位/秒和2个单位/秒． （1）运行前，_____； （2）设运动时间为，若时，则时间为_____． 三、解答题 11．如图1，点A，B分别在数轴上原点O的左右两侧，且，点B对应的数是90， (1)求A点对应的数是多少？ (2)如图2，动点M，N，P分别从点O，A，B同时出发，其中M，N均向右运动，速度分别为2个单位/秒，7个单位/秒，点P向左运动，速度为8个单位/秒．设它们运动的时间为t秒．问t为何值时，点M，N之间的距离等于点P，M之间的距离？ 12.（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 13．如图，在数轴上A，B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)点A表示的数为___________，点B表示的数为___________； (2)①点P运动t秒后表示的数为___________，点Q运动t秒后表示的数为___________；（用含t的代数式表示） ②当时，求P、Q两点之间的距离； (3)两点同时出发，则当P，Q之间的距离为6时，求t的值． 14．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且、满足． (1)_________，_________，_________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_________表示的点重合； (3)若点、同时从点，开始在数轴上分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度一起向右运动，假设运动时间为秒： ①点与点之间的距离表示为，当时，求的值； ②如果、、三点中有一点是另外两点所构成线段的中点时，就称、、为一组“关联点”，当、、为一组“关联点”时，求的值． 15．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． (1)求点A，B在数轴上表示的数． (2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒． ①t秒后，长为______，长为______；（以上均用含t的式子表示） ②求t秒后点M与点N在数轴上表示的数；（用含t的式子表示） ③当t为何值时，？（直接写出答案） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、基础动点相遇、相距问题（高频必考） 题型二、数轴动点距离倍数问题（中档压轴） 题型三、动点折返运动+中点问题（难点压轴） 题型四、数轴定值证明（期末最难压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：基础动点相遇、相距问题（高频必考） 1. 设运动时间为t秒，用含t的代数式，表示所有动点对应的数； 2. 代入距离公式，写出两点距离的绝对值表达式； 3. 根据题意列方程：相遇问题列等式，相距问题列绝对值方程； 4. 去掉绝对值，分两种情况解方程，检验时间t为正数，舍去不合理的解。 通法2：数轴动点距离倍数问题（中档压轴） 1. 设时间t，写出动点对应的数； 2. 利用距离公式，分别表示动点到定点的两段距离； 3. 根据题目倍数关系，列出绝对值倍数方程； 4. 根据绝对值零点划分取值区间，分类去绝对值解方程，舍去无效解。 通法3：动点折返运动+中点问题（难点压轴） 1. 先计算动点单程运动时间，划分去程、返程两个时间段； 2. 分阶段写出不同时间段内，动点对应的代数式； 3. 结合中点公式、距离条件列方程； 4. 检验方程的解是否在对应运动区间内，不在则舍去。 通法4：数轴定值证明期末最难压轴） 1. 设运动时间t，写出所有动点、中点对应的数； 2. 代入所求代数式，整体去括号、合并同类项化简； 3. 若含t的项系数抵消为0，式子结果为常数，即为定值； 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、基础动点相遇、相距问题（高频必考） 【典例1】．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 【答案】B 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为2或； 故选：B． 题型模版 1.易错点：切勿忽略绝对值的两种情况，只计算一组解；容易混淆动点运动方向，导致代数式符号写错。 【变式1-1】．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足．若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，若t秒后C、D两点相距5个单位长度，则t的值为______． 【答案】，， 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∵若t秒后C、D两点相距5个单位长度，根据题意得： 点到达时运动时间为（秒），点到达时运动时间为（秒）， 点从原点出发反向先到达点所用时间为（秒）， 根据题意分情况讨论： ①当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：， ②当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：（舍）， ③当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：或， 综上所述：秒，秒，秒后C、D两点相距5个单位长度， 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______，点P表示的数是_________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，？ 【答案】(1)； (2)①当点P运动10秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动秒时 【详解】（1）解：∵点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10． ∴点B表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点P向左移动的距离为， 则点P表示的数为， 故答案为：；； （2）解：①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得， 解得， 答：当点P运动10秒时，点P与点Q相遇． ②由题意得， 解得， 答：当点P运动秒时． 【变式1-3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，数轴上有两个动点、，点从数轴上表示处以每秒3个单位的速度向右运动，点从数轴上表示15处以每秒2个单位的速度向左运动． (1)若两点同时运动，用含有的代数式表示；秒后点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若两点同时运动，经过多少秒能使、两点之间的距离等于5个单位； (3)若、两点的中点为点，两动点、同时运动时，经过多少秒能使、两点之间的距离等于5个单位． 【答案】(1)， (2) 经过7秒或9秒能使M、N两点之间的距离等于5个单位； (3)经过6秒或10秒能使K、M两点之间的距离等于5个单位． 【详解】（1）解：根据题意，秒后点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：， 设经过t秒能使M、N两点之间的距离等于5个单位， 当点M在点N左边时，，即， 解得， 当点M在点N右边时，，即， 解得， ∴经过7秒或9秒能使M、N两点之间的距离等于5个单位； （3）解：设运动时间为m， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点K是点M、N两点的中点， ∴点K表示的数为， ∵K、M两点之间的距离等于5个单位， ∴， 解得：或， ∴经过6秒或10秒能使K、M两点之间的距离等于5个单位． 题型二、数轴动点距离倍数问题（中档压轴） 【典例2】．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）在数轴上，点、对应的数分别是和，点对应的数为，点到的距离是点到距离的倍，则点对应的数的值为________． 【答案】或 【详解】解：∵点、表示的数分别是和．点表示的数为． ，， 又∵点到的距离是点到距离的4倍， ， 即． 或， 由，解得：． 由，解得：． 综上所述：点表示的数为或， 故答案为：或． 【典例3】．（23-24七年级上·安徽六安·期末）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6，若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，则经过______秒，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍． 【答案】2或 【详解】解：设运动t秒，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍， 当乙小球没有碰到挡板之前，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍时， ∴， 解得； 当乙小球没有碰到挡板之后，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍时， ∴， 解得； 综上所述，经过2秒或秒时，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍， 故答案为；2或． 【典例4】．（25-26七年级上·安徽池州·期末）数轴上有、、三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点、、所表示的数分别为、、，因为，，所以，因此，点是点、的“关联点”．根据上述描述，回答下列问题： (1)如果点表示数，点表示数．下列各数、、所对应的点分别是、、．其中______是点、的“关联点”． (2)点表示数（是一个常数，），点表示数，为数轴上一个动点： ①如果点在点、之间，并且点是点、的“关联点”，试用含有的代数式来表示点所表示的数； ②如果点在点的右侧，点、、中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，并且点与点之间的距离为．请直接写出此时点表示的数． 【答案】(1) (2)①点所表示的数为，；②表示的数为或或 【详解】（1）解：点表示数，点表示数，表示数， ，， ， 是点、的“关联点”； 点表示数，点表示数，表示数， ，， 不是点、的“关联点”； 点表示数，点表示数，表示数， ，， 不是点、的“关联点”； 故答案为：； （2）设点表示的数为， ①，点在点、之间， ，， 点是点、的“关联点”， 或， 或， 解得或； 即点所表示的数为，； ②，点在点的右侧，点与点之间的距离为， ，，， ， 当是，“关联点”时，， ，解得， ， 即此时表示的数为； 当是，“关联点”时，或， 或， 或， 解得或， 或， 即此时表示的数为或； 当为，的“关联点”时，， ， ， 解得， ， 即此时表示的数为； 综上所述，表示的数为或或． 【变式2-1】．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段检测）已知数轴上A、B两点对应的数分别为、，且满足    （1）求点A、B两点对应的有理数是______； （2）若点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过______秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍． 【答案】 ，； 或 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故答空1答案为：，； （2）当点P在B点左侧时， ，， ∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍， ∴， 即：， 解得：， 当点P在B点右侧时， ，， ∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍， ∴， 即：， 解得：， 故答空2答案为：或； 【变式2-2】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我们规定：点在线段上，此时共有三条线段，若其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，则称点为线段的二倍分点．如图，在数轴上有三点，且点表示的数分别为45，55，点在之间．动点从点出发，沿着数轴正方向以1个单位每秒速度匀速运动．设运动时间为秒，回答下列问题： (1)若点恰好为线段的二倍分点，且，则点表示的数为___________； (2)在（1）条件下，当为何值时，点恰好为线段的二倍分点？ 【答案】(1) (2)时，点恰好为线段的二倍分点 【详解】（1）解：设点表示的数为， 点恰好为线段的二倍分点，且， ，即， 解得； 故答案为：； （2）解：由题意可知：在数轴上表示的数为； ①当，此时点恰好为线段的二倍分点， 即：， 解得：； ②当，即，点恰好为线段的二倍分点，即：，解得：； ③当，此时点恰好为线段的二倍分点，即：，解得：； 综上，的值为时，点恰好为线段的二倍分点． 【变式2-3】．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）已知数轴上两点对应的数分别为和，点为数轴上一动点． (1)请在数轴上标出点、点； (2) 若点到的距离是点到的距离的两倍，我们就称点是的好点． 若点运动到原点时，此时点____的好点填是或者不是； 若点以每秒个单位的速度从原点开始运动，当是的好点时，求点的运动方向和运动时间； (3)试探究线段和的差即的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【答案】(1)见解析 (2)不是；当是的好点时，点向右运动秒，或向左运动秒 (3)线段与的差即的值，发生变化，理由见解析 【详解】（1）解：在数轴上标出点、点如下： ； （2）解：①当点运动到原点时，，， 故点M不是的好点， 故答案为：不是； ②设运动时间为t， 当点在点的左侧时， ， 解得； 当点在点与之间时， ， 解得； 当点在点的右侧时， 到点的距离小于到点的距离，不合题意舍去． 故当是的好点时，点向右运动秒，或向左运动秒； （3）解：线段与的差即的值，发生变化，理由是： 设点对应的数为， 由， 则分三种情况：当点在点的右侧时， ； 当点在点与之间时，， 当点在点的左侧时，， 所以线段和的差即的值发生变化． 【变式2-4】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知数轴上两点、，若在数轴上另外存在一点，使得，则称点为线段的“两倍点”．例如：如图①所示，当点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，，有，，成立，则称点是线段的“两倍点”． (1)若点是线段的“两倍点”，则点的位置不可能在(    ) A、点的左边 B、线段上 C、点的右边 (2)如图②，已知点表示的数为，点表示的数为，若点是线段的“两倍点”，求点表示的数是多少？请说明理由． (3)如图③，已知点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，动点从出发，以每秒个单位的速度向右匀速运动，动点从出发，以每秒个单位的速度向左匀速运动，设运动的时间为秒．当为何值时，点是线段的“两倍点”？ 【答案】(1)B (2)或． (3)或 【详解】（1）解：∵点P是线段的“两倍点”，则点P的位置不可能在线段上． 故选：B （2）解：设点P表示的数为m，点A表示的数为，点B表示的数为2， ∵P为线段的“两倍点”， ∴， 当在的左边时， ∴， 解得：， 当在B的右边时， ∴， 解得． 综上：点P表示的数为：或． （3）解：由题意可得：运动后表示，运动后表示 ∵点M是线段的“两倍点”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或，经检验符合题意． 题型三、动点折返运动+中点问题（难点压轴） 【典例5】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）将数轴折叠后，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． 【答案】2025 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴知识，解题的关键是熟练的掌握数轴知识．先根据已知条件表示的点与表示3的点重合，确定折叠时的对称轴所在的数，根据对称性，再求与重合的点表示的数． 【详解】解：∵表示的点与表示3的点重合， ∴折叠时对称点为：， ∴， 即表示的点与表示2025的点重合． 故答案为：2025． 【典例6】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数______的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为，请求出所有满足条件的点P所表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)P点表示的数为或 【详解】（1） 由折叠知，表示数的点与表示数的点关于数的点对称， 由数轴可知表示数的点与表示数的点关于数的点对称， 故答案为． （2）折叠后点与点重合， 点与点关于表示数的点对称， 两点之间距离为， 点和点到表示数的点的距离都为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为，． （3）点P到与的距离比为， 设P表示的数为x，则： ， 即：， 情况1：当时，，解得， 情况2：当时，，解得， 情况3：，，解得（不在范围，舍去）， 综上所述，P点表示的数为或． 【典例7】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【答案】(1)2，3 (2)①1.5；②0.75或2或3.5． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）根据两点之间的距离公式解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：∵点，，分别对应有理数，1，4， ∴，之间的距离为，，之间的距离为 故答案为：2，3． （2）①因为对折后点与点重合，，所以． 因为，所以此时的值为1.5． ②由题意知，对折后存在以下三种情况： （i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以， 则点表示的数为，可得， 则，所以点表示的数为， 即此时的值为0.75； （ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为2； （iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为3.5． 综上，的值为0.75或2或3.5． 题型模版 1.核心技巧 折返运动必须分段列式，全程通用一个代数式必然出错。 【变式3-1】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，是数轴上的三点，且两点之间的距离为8，以C为折点，将此数轴向右对折，此时点A和点B恰好重合． (1)若点C表示的数为1，则点A表示的数为________； (2)若点C表示的数为，则点A表示的数与点B表示的数之和为________． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，为的中点，， 若点表示的数为，则点表示的数为， 故答案为：； （2）由题意可知，为的中点，， 若点C表示的数为，则点A表示的数为，点B表示的数为， 则点表示的数与点表示的数之和为； 故答案为：； 【变式3-2】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图，结合数轴与绝对值的知识可知：一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)数轴上表示数3和数的两点之间的距离是______；若表示数和数的两点之间的距离是5，则______； (2)（i）若数轴上表示数的点位于与7之间，则的值为______； （ii）若将数轴折叠，使得数2表示的点与数表示的点重合，此时数轴上的点，（点在点的左侧）也互相重合．若数轴上，两点之间的距离为1018，求点，分别表示的数． 【答案】(1)4，或3 (2)（i）10；（ii）点表示的数为，点表示的数为 【详解】（1）解：数轴上表示数3和数的两点之间的距离是， ∵表示数和数的两点之间的距离是5， ∴， 或， 解得：或； 故答案为：4，或3． （2）解：（i）∵表示数的点位于与7之间， ， ． （ii）∵数轴上、两点之间的距离为1018， ∴点、到对称中心的距离为， 若沿数2表示的点与表示的点重合，则对称中心为， 则点表示数，点表示数． 【变式3-3】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）如图1，已知点，，在数轴上，点在点的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点表示的数为，若点到原点的距离是点到原点的距离的倍，则数轴上点对应的数是_____；若点到点，的距离相等，则点对应的数是_________． (2)点表示的数为，设点表示的数为，若动点沿数轴正方向移动了个单位长度到达点，试求的值． (3)如图2，若数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点（点的对应点）落在点的右侧，且，两点之间的距离为，则点表示的数是多少? 【答案】(1)； (2)4 (3)或 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到原点的距离是． ∵点到原点的距离是点到原点的距离的倍， ∴点到原点的距离是， 又∵点在点左侧， ∴数轴上点对应的数是． ∵点到点，的距离相等， ∴点对应的数是． 故答案为：3， 1； （2）解：由题意可知，点沿数轴向右移动了个单位长度，则， ． （3）解：当点在点的左侧时， 因为，两点之间的距离为， 所以点表示的数是，此时点表示的数是， 当点在点的右侧时， 因为，两点之间的距离为， 所以点表示的数是，此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或． 题型四、数轴定值证明（期末最难压轴） 【典例8】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中，b是最小的正整数，． (1)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数______表示的点重合； (2)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒． ①当点C在点B右侧时，_____，______（用含t的代数式表示）； ②小西同学发现：的值是个定值，求此时m的值． 【答案】(1)3； (2)①，；②m的值为． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，， ∴， 则， ， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折叠点为， ∴与点重合的点表示的数为； （2）解：①由题意得，运动秒后点，点，点分别表示的数为， ∵点在点右侧， ， 故答案为：； ②∵， 当时， ， 的值是个定值， 的结果与t无关， ， ． 当时， ∵的值是一个定值， ∴的结果与无关， ， ， 综上所述，的值为． 题型模版 1.定值核心思路：若调整速度使MN为固定常数，只需令含t项的系数为0，即可消去变量，得到定值。 2.高频考法：PA−PB、2PM−QN等代数式定值问题，核心都是化简消去变量t。 【变式4-1】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ； (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ； (3)如图3，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1) (2) (3)若的值是一个定值，m的值为 【详解】（1）解：∵a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示数的点到表示数的点的距离与表示数的点到表示数的点的距离的和，且， ∴的最小值为， 当时，， 当时，，且， 当时，， ∴的最大值为7； （3）解：假设t秒，点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，则运动后表示的数为， 点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，则点F运动后表示数为，点G运动后表示数为， ∴， ∴， 当时，即，是定值， ∴， 解得，； 当时，即，是定值， ∴， 解得，； 综上所述，若的值是一个定值，m的值为． 【变式4-2】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）【背景知识】 数轴是初中数学的一种重要的工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴时我们发现了许多重要的规律；若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离．线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)求两点间的距离的值； (2)用含的代数式表示后，点与点表示的数； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出线段的长；若变化，请说明理由． 【答案】(1); (2)点表示的数：点表示的数：; (3)或; (4)线段的长不变，为． 【详解】（1）解：表示，表示, ; （2）解：后，点表示的数：, 后，点表示的数：; （3）解：，，， ， 当时，，， 当时，，， 或; （4）解：是中点，点表示的数为， 表示的数：， 是中点，点表示的数为， 表示的数：， ，即线段的长不变，为． 【变式4-3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）数轴可以将数与形完美地结合．若点、分别是有理数、在数轴上对应的两点，我们就把、叫做点、点的一维坐标．一般地，称为点与点之间的距离；线段的中点对应的数是．已知，数轴上点的坐标为，点的坐标为9，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为秒． 请解答下列问题： (1)填空： ①、两点间的距离______；线段的中点坐标为______． ②用含的代数式表示：秒后，点的坐标为______；点的坐标为______． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点的坐标； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10；4；②； (2)当时，、两点相遇，相遇点的坐标为29 (3)或 (4)线段的长不发生变化，为定值5 【详解】（1）解：①由题意得，，线段的中点坐标为； ②∵点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动．运动时间为秒， ∴秒后，点的坐标为；点的坐标为； （2）解：由题意得， 解得， ∴， ∴当时，、两点相遇，相遇点的坐标为29； （3）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； （4）解：∵点为的中点，点为的中点， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴， ∴线段的长不发生变化，为定值5． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B， ∴线段的长为． 2．已知数轴上两点A、B表示的数分别为﹣3、1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x，如果点P到点A、点B的距离之和为6，则x的值是（　　） A．﹣4 B．2 C．4 D．﹣4或2 【答案】D 【详解】∵AB=|1-（-3）|=4，点P到点A，点B的距离之和是6， ∴点P在点A的左边时，-3-x+1-x=6， 解得：x=-4， 点P在点B的右边时，x-1+x-（-3）=6， 解得：x=2， 综上所述，x=-4或2； 故选D． 3．一条数轴上有点A，B，点C在线段上，其中点A，，B表示的数分别是，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点B的距离为4个单位，则点C表示的数是（    ） A．1 B． C．或3 D．1或 【答案】D 【详解】解：当点落在点B左边时，则点与数轴上表示的数重合， ∴折叠点C表示的数为； 当点落在点B右边时，则点与数轴上表示的数重合， ∴折叠点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数是1或， 故选D． 4．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】解：， 、两个数之间的距离小于3， ， ∴原点不在、两个数之间，(否则)，即原点不在或， ∴原点是或． 故选：A． 5．如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：C． 二、填空题 6．在数轴上有一点A，先将点A向右移动3个单位长度得到点B，再将点B向左移动5个单位长度则得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c，若这三个数的和与其中一个数相等，且，则c的值为_____________． 【答案】 【详解】解：设点表示有理数，则点表示有理数， 点表示有理数， 三个数的和， 若，解得，则， 此时，不符合条件； 若，解得，则， 此时，符合条件； 若，解得，则， 此时，不符合条件； 故的值为． 故答案为：． 7．如图，数轴上点，表示的数分别为和16，线段在数轴上的，两点之间运动．点是的中点，当线段的端点与点重合时，端点在数轴上对应的数是2，若，则点在数轴上对应的数是_____． 【答案】8或4 【详解】解：∵点A表示的数为，当线段的端点C与点A重合时，端点D在数轴上对应的数是2， ∴， 又∵， ∴分以下两种情况讨论： 当点E在点C左侧时，如图所示， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵点A表示的数为， 则， ∴点D在数轴上对应的数为8； 当点E在点C右侧时，如图所示， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵点A表示的数为， 则， ∴点D在数轴上对应的数为4， 综上所述，点D在数轴上对应的数为8或4． 故答案为：8或4． 8．如图，将印有数轴的纸条从到11这一段剪下（总长为18个单位长度，不考虑宽度），并把这段纸条沿某点折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三段纸条，发现这三段纸条的长度之比为（此比值与剪下三段纸条的顺序无关），若折痕处的点对应一个正数，则这个正数可能是______    【答案】2，5， 【详解】∵纸条从到11，总长为18个单位长度，三段纸条的长度之比为， 设段纸条的长度为x，， ，列方程得 解得：， ∴三段纸条的长度分别为2，8，8， ∵纸条的长度之比为，此比值与剪下三段纸条的顺序无关， ∴当时， 如图 ，，， 折痕点表示的数是（不符合题意，舍去）； 当时， 如图 ，，， 折痕点表示的数是； 当时， 如图 ， ，，， 折痕点表示的数是； 综上所述： 这个正数可能是2，5． 故答案为：2，5． 9．如图，点A，C，B在数轴上表示的数分别是，1，5．动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B匀速运动，设点P的运动时间为．当点P，Q到点C的距离相等时，t的值是______．    【答案】或或或4 【详解】解：由题意得：， 点P在上运动时， 当时，若点P在点C左侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 当时，若点P在点C右侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 点P在上运动 当时，若点P在点C右侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 当时，若点P在点C左侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 综上所述，t的值为或或或4． 故答案为：或或或4． 10．如图，点P和点Q在数轴上表示的数分别是和7．点P和点Q同时相向匀速运动，运动不停止，速度分别为3个单位/秒和2个单位/秒． （1）运行前，_____； （2）设运动时间为，若时，则时间为_____． 【答案】 25 3或7 【详解】解：（1）． 故答案为：25． （2）当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 当时，， 解得或． 故答案为：3或7． 三、解答题 11．如图1，点A，B分别在数轴上原点O的左右两侧，且，点B对应的数是90， (1)求A点对应的数是多少？ (2)如图2，动点M，N，P分别从点O，A，B同时出发，其中M，N均向右运动，速度分别为2个单位/秒，7个单位/秒，点P向左运动，速度为8个单位/秒．设它们运动的时间为t秒．问t为何值时，点M，N之间的距离等于点P，M之间的距离？ 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式可得，，再由建立方程求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， 解得． ∵点A在原点左侧， ∴A点对应的数为． （2）解：依题意可得：，． ∵， ∴ ∴或， ∴或（舍去）， ∴当时，． 12.（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【答案】(1)， (2)运动5秒，点可以追上点 (3)点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为，图见解析 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数是， 点对应的数是， 故答案为：，． （2）解：由题意得：， 解得， 答：运动5秒，点可以追上点． （3）解：线段的长度不发生变化，画图求解如下： ①如图，当点在点之间运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； ②如图，当点在点左侧运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 综上，点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为． 13．如图，在数轴上A，B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)点A表示的数为___________，点B表示的数为___________； (2)①点P运动t秒后表示的数为___________，点Q运动t秒后表示的数为___________；（用含t的代数式表示） ②当时，求P、Q两点之间的距离； (3)两点同时出发，则当P，Q之间的距离为6时，求t的值． 【答案】(1)，7 (2)①，；②3 (3)或 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， （2）解：①点A表示的数为，点B表示的数为7，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴秒后，点表示的数为；点表示的数为． ②当时， 点P表示的数： 点Q表示的数： ． （3）由题意得： 化简得 分两种情况： ①， ， ， ②， ， ； ， 或均符合题意． 14．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且、满足． (1)_________，_________，_________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_________表示的点重合； (3)若点、同时从点，开始在数轴上分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度一起向右运动，假设运动时间为秒： ①点与点之间的距离表示为，当时，求的值； ②如果、、三点中有一点是另外两点所构成线段的中点时，就称、、为一组“关联点”，当、、为一组“关联点”时，求的值． 【答案】(1)；5； (2)3 (3)①t的值为4或8；②t的值为或3． 【详解】（1）解：是最大的负整数，且a、b满足， ，，， ，， 故答案为：；5；； （2）解：； （3）解：①秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为， ， ， 解得或， 时间t的值为4或8； ②秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为， 当点B为中点时，由题意得， 解得； 当点为中点时，由题意得， 解得； 当点为中点时，由题意得， 解得（舍去）； 综上，t的值为或3． 15．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． (1)求点A，B在数轴上表示的数． (2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒． ①t秒后，长为______，长为______；（以上均用含t的式子表示） ②求t秒后点M与点N在数轴上表示的数；（用含t的式子表示） ③当t为何值时，？（直接写出答案） 【答案】(1)，2 (2)①，；②点M对应的数为，点N对应的数为；③当秒或秒时， 【详解】（1）解；因为，， 所以， 因为点C对应的数为6， 所以点A表示的数是，点B表示的数是 故答案为：，2； （2）解：①因为动点P，Q分别同时从点A，C出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动， 所以， 故答案为：，； ②因为M为的中点，， 所以，， 则点M对应的数为，点N对应的数为； ③由题意知，， 当点M在点O的左侧时，， 若，则， 解得， 当点M在点O的右侧时，， 若，则， 解得； 综上所述，当秒或秒时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $