2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次方程解集求法及韦达定理，通过知识回顾提问复习十字相乘法等旧知，以“最简单方程形式”探究新知，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接初中解法与高中深化内容。 其亮点是以“问题驱动-猜想证明-应用拓展”为主线，通过特例观察猜想韦达定理培养推理意识，换元法体现转化思想发展抽象能力，分层练习助力学生用数学语言表达关系，既巩固知识又提升思维，便于教师高效教学。

第二章 等式与不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 《人教B版2019高中数学必修第一册》 知识点 解一元二次方程的常用方法： （直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等） 2.理解并熟练运用韦达定理（根与系数的关系） 3.能根据方程根的情况确定参数取值或求解代数式的值。 2 知识回顾 提问： 1.一元二次方程的标准形式？ ax2+bx+c= 0(a≠0) 2.上节讲的的一元二次方程 解集的求法？ 十字相乘法（因式分解） 3.求一元二次方程x2-4x+3=0的解集？ {1,3} 4.求一元二次方程x2-7x+8=0的解集？ 还能用十字相乘法吗？ 3 探究新知 我们知道，形如 的方程为一元二次方程，其中，，是常数，且. 从上一小节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，此时该怎么办呢？ 尝试与发现：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式呢？可以怎样得到这种方程的解集？ 最简单的形式：x2=t 解集 (1)当时，解集为___________； (2)当时，解集为___________； (3)当时，解集为___________. 4 逐层突破 直接开平方法：适用于形如(mx+n)2=p(p≥0）的方程，直接开方求解，解集直 接书写对应根的集合，例：求解(x-2)2=1，解集为{1,3} 配方法：通用方法，核心是将一般式配成完全平方式，步骤为 “二次项系数 化为 1→移项→配方→开方→求解”，例：求解2x2-4x-6=0，配方法 变形方法得(x-1)2=4，解集为{-1,3} 公式法：先计算判别式∆=b2-4ac，判断根的情况∆>0有两个不等实根，∆=0有两 个相等实根，∆<0无实根；再代入求根公式x= 求解，最终写出 解集，强调 “两个相等实根在解集中只写1 个元素” 求解集：初中知识回顾 5 配方法求解集 形如的一元二次方程的解集也容易得到.因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为形式，就可得到方程的解集. 例：求一元二次方程2x2-4x-6=0的解集 配方法步骤： “二次项系数化为1→移项→配方→开方→求解” 解 1.二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数 2,得 x2-2x-3=0 2.移项：把常数项移到等号右侧，注意变号，得 x²-2x=3 3.配方：等式左边配成完全平方式,配方关键是加“一次项系数一半的平方”; 此式一次项系数是-2,一半为-1,平方为1,等式两边同时加1,得 x²-2x+1=3+1 左边写成完全平方形式,右边计算结果,得 (x-1)²=4 4.开平方：等式两边同时开平方,注意开平方有正负两种情况,得 x-1=±2 5.求解两个一元一次方程，得两个解 ① 当x-1=2时,解得 x = 3； ②当x-1=-2时，解得 x = -1； 综上，原方程的解集为{-1,3} 6 韦达定理证明 特殊猜想，初步感知：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时，跟与系数的关系 例 求以下三个方程的解 1.x2+4x+2=0 2.x2+3x-4=0 3.2x2-3x-2=0 解 (可以用十字相乘法、配方法） 1.x1=-2+，x2=-2- 2.x1=1,x2=-4 3.x1=2,x2=- 猜想：观察根与系数的关系，根的和、根的积与 a、b、c 的关联？ x1+x2= ,x1x2= 证明： ， 因此可以化为. 7 韦达定理证明 证明： ， 因此可以化为. 从而可知，的符号情况决定了上述方程的解集情况： (1)当时，方程的解集为； (2)当时，方程的解集为； (3)当时，方程的解集为. ∴当一元二次方程的解集不是空集时,可得韦达定理： x1+x2= x1x2= 8 韦达定理应用 强调注意事项： 2. 前提条件是△≥0（有实根）； 3. 二次项系数a≠0，避免漏看前提导致错误。 1. 方程必须化为标准形式ax2+bx+c=0后再用定理； 9 基础练习 例 已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值： (1)；(2). 解: (1)由上有 (2)因为 所以. 由一元二次方程根与系数的关系，得，. 10 整体法 1.求方程的解集 解 设，则，且原方程可变为， 由此可知或(舍). 从而，即，所以原方程的解集为. 的解集 解 设, 则.原方程可变为 解得或（舍） 即从而,解集为 解 设=y,则y≠0.原方程可变为2y2+y−1=0 解得y=−1或y=.即=−1或=. 从而x=−1或x=2,解集为{−1,2}. 11 基础练习 用配方法求下列方程的解集. （1）; （2）. 解： （1）方程可化为,则, 所以,解集为. （2）方程可化为，解集为. 12 巩固练习 1.解方程： 解 利用公式法解方程即可得 2.解方程： 解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等 解 原方程变形，得 因式分解法求解即可得 ， 3.解方程: 解 利用配方法解方程即可得 ， 4.解方程: 解 先移项再提公因式得 ，解得： 13 巩固练习 1.关于x的一元二次方程kx2-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A.K>4且k≠0       B.k≥4且k≠0       C.k≤4且k≠0       D.k<4且k≠0 C 2.关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根时，k的取值范围是（    ） A．K<1              B．K>-1           C．K<1且k≠0      D．K>-1且k≠0 C 3.关于x的一元二次方程方程(2-m)x2-x+4=0有实数根，则m的取值范围          由题意，得 且2-m≠0 解得：m≥ 且m≠2 m≥且m≠2 14 巩固练习 已知x1,x2是方程2x2-4x+1=0的两根，求下列两个代数式的值： (1) (2)(x1+2)(x2+2) 解(1) 根据根与系数的关系得到 再由 计算求解为：4 解(2) 根据根与系数的关系得到 再把所求式子去括号得到 据此计算求解为：8.5 15 巩固练习 已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若x1,x2是该方程的两根，且满足 ，求m的值. （1）证明： △=b2-4ac=m2-4(m-2) =m2-4m+8 =(m-2)2+4>0 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根. 解2 , 故m的值为-3或1 ， 16 巩固练习 解：由方程x2-(k+4)x+k+3=0得(x-1)(x-k-3)=0， ∴x-1=0或x-k-3=0， ∴x=1或x=k+3， ∵方程有一个根为负数， ∴k+3<0 ∴k<-3． ∴k的取值范围是k<-3． 已知关于x的一元二次方程x2-(k+4)x+k+3=0若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 17 巩固练习 1.已知关于x的方程x2-2x+m-1=0的两个实数根同号，则实数m的取值范围为         根据题意得到 ,即 ,解得 故答案为：(1，2] (1，2] 2.已知a，b∈R，证明：“a≥2且|b|≤4”是“关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根，且两 根均小于2”的充分条件 证明：由a≥2且|b|≤4，得a≥2，-4≤b≤4， 则方程x2+2ax+b=0的判别式△=4a2-4b，所以该方程有两根， 不妨设方程两根分别为x1,x2， 因为(x1-2)(x2-2)=4+4a+b>0，(x1-2)+(x2-2)=-2a-4<0，所以x1<2且x2<2﹒ 18 课堂小结 本节课的两个核心内容： ●一元二次方程解集的方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分 解法等） ●韦达定理的内容与应用 强调易错点： ●韦达定理的前提条件（a≠0且方程有时根） ●代数式变形的等价性。 题型归纳：一元二次方程的解、判别一元二次方程的根的个数、利用根与系数的关系计算、应用根与系数的关系求字母系数的值或范围、实根分布 19 $