13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的中线、角平分线、高及重心等核心概念，通过复习垂线、中点、角平分线等旧知，结合动点问题引导学生发现特殊位置，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于通过动手画不同三角形的三线探究位置关系，结合重心平衡等生活实例，培养几何直观与空间观念，例题训练提升推理与运算能力，助力学生理解知识本质，教师可高效开展教学。

第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 学习目标 理解三角形的中线、角平分线、高等概念，了解三角形的重心的概念. 探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点的过程. 会画出任意三角形的中线、角平分线、高. 复习回顾 回顾：什么叫垂线？线段中点？角平分线？ 垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点. 角的平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. A B O B A 复习导入 如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的一个动点，连接 AD，在点 D 的运动过程中，观察点 D或线段 AD 有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？ 在三角形中，连接一个 与它 的 线段， 叫做这个三角形的中线. 顶点 对边中点 如图，在△ABC 中，D是BC的中点则 是BC边上的中线， 此时：___________. B C A D AD BD=CD 如图，在△ABC 中，AD是BC边上的中线 则D是BC的 ，此时：___________. 中点 BD=CD 新知探究 问题1 如图，如果点C 是线段AB 的中点，你能得到线段间怎样的数量关系？ A C B 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线. A B C D 几何语言 每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条中线. 如图，画出三角形的中线. 3 3 这三条中线之间有怎样的位置关系? 锐角三角形的三条中线是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条中线交于同一点. 锐角三角形的三条中线都在三角形的内部. 对于任意三角形，是否也满足“三条中线相交于一点”？ 分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线，并观察三条中线是否相交于一点. 新知探究 三角形的三条中线 ，且 相交于一点 该交点位于三角形内部 三角形三条中线的交点，叫做三角形的的 . 重心 三角形的重心的实际意义 图中框架能被手指托起后保持平衡，是因为手指恰好托在了框架的重心上. 一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心. 保持平衡 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高． 试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系，为什么？ B C D E A 新知探究 相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 三角形的中线能将三角形的面积平分. 通过以上问题你能发现什么规律？ 1. 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心. 2. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 3.三角形重心的性质（拓展） A C D B G 新知探究 如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？ A 例1 如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm， 求△ABC的边AC 的长（AC＜AB）. 解：∵ AD为△ABC的中线 ∴ BD＝CD ∵ △ABD和△ADC的周长差是4cm ∴ AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD) ＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD ＝AB﹣AC＝4cm ∵ AB＝12cm ∴ AC＝AB﹣4cm＝8cm ∴ △ABC的边AC的长为8cm 例1 B C A D 你能把两个三角形的周长差用线段表示出来吗？ 对点训练 你能类比三角形的中线的定义，说明什么是三角形的角平分线吗？ 在三角形中，一个内角的 与它的 相交，这个角 的 与 之间的线段，叫做三角形的角平分线. 如图，在△ABC 中，∠1=∠2 则 是∠A的角平分线 1 2 A B C D AD 如图，在△ABC 中，AD是∠A的角平分线 则___________ ∠1=∠2 新知探究 平分线 对边 顶点 交点 A B C D 相同点是： ∠ABD = ∠CBD； 不同点是：前者是线段，后者是射线. 三角形的角平分线与角的平分线相同吗? 新知探究 三角形的角平分线 画出∠A的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。 2 1 D 几何语言 每一个三角形都有 个内角，因此每一个三角形都有 条角平分线. 如图，画出三角形的角平分线. 3 3 这三条角平分线之间有怎样的位置关系? 锐角三角形的三条角平分线是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条角平分线交于同一点. 锐角三角形的三条角平分线都在三角形的内部. 新知探究 对于任意三角形，是否也满足“三条角平分线相交于一点”？ 分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线，并观察三条角平分线是否相交于一点. 三角形的三条角平分线 ，且 ， 该点称为三角形的 .三角形的角平分线是一条 . 相交于一点 该交点位于三角形内部 线段 内心 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE. 解：∵在△ABC中， ∠B=80°，∠C=30°， ∴∠BAC=70°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE. ∵∠BAC=70°， ∴∠BAE=35°. ∵AD⊥BC，∠B=80°， ∴∠BAD=10°. ∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°. D E ┐ B A C 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=x°， ∠C=y°，求∠DAE(用x,y表示). 解：∵在△ABC中， ∠B=x°，∠C=y°， ∴∠BAC=(180-x-y)°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE. ∴∠BAE=90°-0.5(x+y)°. ∵AD⊥BC，∠B=80°， ∴∠BAD=(90-x)°. ∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=0.5(x-y)°. D E ┐ B A C 从特殊到一般！ 复习回顾 回顾：过一点画如何画已知直线的垂线? 放 靠 过 画 三角形的高 定义： 几何语言 每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条高. 如图，画出三角形的高. 3 3 这三条高之间有怎样的位置关系? 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 新知探究 对于任意三角形，是否也满足“三条高相交于一点”? 分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，并观察三条高是否相交于一点. A C B A C B A C B 知识点3 三角形的高 A B C D E F O 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高交于三角形内一点. 这个点叫作三角形的垂心. 画出锐角三角形的三条高，你有什么发现？ 探究 知识点3 三角形的高 画出直角三角形的三条高，你有什么发现？ 探究 A B C 直角边BC边上的高是_____； 直角边AC边上的高是_____； AC BC 斜边AB边上的高是_____； D CD 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，三条高的交点在直角顶点处. 知识点3 三角形的高 画出钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 探究 A B C D E F 三条高的交点在三角形外部. O 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上. 三角形的三条高的特性 三条高所在的直线 是否相交 三条高是否相交 高的数量和位置 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3条都在内部 1条在内部 2条在边上 1条在内部 2条在外部 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 对应训练 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高（ ） B AD一定要垂直于三角形的另一条边. 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE， 并求AE的长. E 1.如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm C 2. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，图中线段 中可以作为△ABC 的高的有 （　　） A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条 B 当堂练习 当堂练习 3.填空： (1) 如图①，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 AB = 2＿＿，BD = ＿＿，AE = ＿＿ . (2) 如图②，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线， 则∠1 =_______， ∠3 =_______，∠ABC = 2_____. 图① 图② AF DC ∠CAD ∠2 ∠BCF A B C D E F AC 当堂练习 4.BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，求△ABD和△BCD的周长的差. 解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD和△BCD的周长的差 =(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD) =AB﹣BC， ∵AB＝5，BC＝3， ∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2 解：∵ CD 是△ABC 的中线， ∴ BD = AD. ∵ BC - AC = 5cm， ∴△DBC 与△ADC 的周长差是 5 cm. 又∵△DBC 的周长为 25 cm， ∴△ADC 的周长为 25 - 5 = 20 (cm). 5. 如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm， △DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长. A D B C 当堂练习 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长. 解：∵DB为△ABC的中线 ∴AD＝CD 设AD＝CD＝x，则AB＝2x 当x+2x＝12，解得x＝4 BC+x＝15，解得BC＝11 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11 当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7 当堂练习 7. 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时， BP 有最小值． 此时由△ABC 的面积公式可知， AD · BC＝ BP · AC. 代入数值，可解得 BP＝ . P 当堂练习 课堂小结 三角形的重要线段 高 中线 角平分线 A B C E D F A B C D A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F 课后作业 1.A组：课本P8练习第1，2题 2.B组：课本P9习题巩固第3、4、7题 中午做卷子，尽量全做，做不完的晚上全部补做完整 3.C组： 中午做卷子，尽量全做，做不完的晚上全部补做完整 课本P9习题巩固第3、4、7、8题 中午做卷子，尽量全做，做不完的晚上全部补做完整 $