精品解析：山西太原师范学院附属中学2026-2027学年高二上学期开学监测数学试题

太原师范学院附属中学2025级高二年级开学监测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上填写好自己的考号、姓名、校班等信息．将条形码横贴在答题卡“考生条形码粘贴区”． 3．考生作答时，请将答案正确地填写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到，进而求出和，代入即可求出答案. 【详解】由题意得，则，， 所以. 故选：C. 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理，得 . 因为，所以为锐角， 所以，所以. 所以的面积为. 方法二： 由余弦定理， 得， 即， 解得或（舍去）. 所以的面积为. 5. 已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的增函数， 所以，函数在区间上为增函数， 函数在区间上为增函数， 需满足：，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 6. 若，并且､均为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由均为钝角，且，得， 而， 则， 所以 . 7. 已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质求出底面半径和母线、高的关系，根据圆锥的体积公式求出底面半径、母线和高，根据圆锥外接球的性质求出外接球半径，最后利用球的表面积公式计算求解． 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长， 故，则，解得， 圆锥的高， 则，解得，故，， 圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设外接球半径为， 则，展开整理得， 外接球的表面积为：． 8. 若函数在区间内恰有两个最值点和三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照的正负分类讨论，根据正弦函数的图象和性质列不等式求解即可. 【详解】当时，，则， 根据在的图象可知， 无法使得在区间内恰有两个最值点和三个零点，所以不能为正； 当时，，则， 由函数在区间内恰有两个最值点和三个零点， 故根据在的图象可知， 需满足，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. B. 与的夹角为 C. D. 在方向上的投影向量的模是 【答案】BD 【解析】 【分析】已知向量的坐标，证明向量垂直，求向量的模长、夹角、投影等都比较简单，根据公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 则，所以与不垂直，故A错误； 因为，所以，故C错误； ，因为，所以，B正确； 在方向上的投影向量是，故D正确. 故选:BD. 10. 某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，有错误选项不得分.若答案是两项，选对一项得3分，选对两项得6分，答案是三项，选对一项得2分，选对两项得4分，选对三项得6分.”已知某选择题的正确答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ） A. 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率是 C. 丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是 D. 丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项. 【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为， 随机事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率为，故A正确. 乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件， 分别为：， 随机事件“能得6分”中有基本事件，故“能得6分”的概率为，故B正确. 丁同学随机至少选择两个选项，共有基本事件10个， 分别为：选两项有， 选三项有， 随机事件“能得分”中有基本事件有，故“能得分”的概率为，故C正确； 丙同学随机选择选项，但不选四项，由C与A可知共有14种选法， 能得分的选法有共3种，故能得分的概率是，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在线段上，则的最小值为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若点是棱的中点，则过，，的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D. 若点是线段的中点，则点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将空间折线最值通过翻折转化为平面共面线段，利用余弦定理求解；空间动点轨迹则借助投影和勾股定理转为截面圆上的弧长；截面与体积问题通过实际作图、计算边长和等体积法逐一验证. 【详解】正方体棱长为，为中点，故. 选项A.将沿翻折，使它与共面，的最小值为翻折后到的线段长. 和均为等边三角形，边长， 翻折后. 由余弦定理得， 即最小值为，正确. 选项B.在面内，到面的距离为，设满足， 由勾股定理，到在面的垂足（中点）的距离满足，即. 的轨迹是以为圆心、​为半径的圆弧. 该圆与正方形的交点为​中点和中点，对应圆心角为， 故轨迹弧长为，正确. 选项C.当是​中点时，为​上的点，. 取的中点，的中点，连接，则. 因为，则四边形为为平行四边形，则. 则过截面为四边形， 则，，，，总周长为，错误. 选项D.是​中点，三边为，则； 由等体积法​，结合得，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若事件与事件互斥，且，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，求得，再由对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，则， 又因为，所以. 故答案为：. 13. 已知的定义域为，满足，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合函数的周期性和奇函数的性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为函数的定义域为，满足，则函数为上的奇函数， 因为，所以， 即，故， 故函数是周期为的周期函数， 则，， ，， 故. 故答案为：. 14. 已知一组数据，，…，的平均值为，方差为，删去一个数后，平均值不变，方差变为，则原来这组数据的个数______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据平均值及方差公式求解即可. 【详解】由题意知，，则，. 删去一个数后，平均值不变，则删去的数一定为5， 此时新方差为，即. 所以，即，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式，并求出的对称轴； （2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 【答案】（1），对称轴方程为，. （2），最小值，最大值 【解析】 【分析】（1）根据图象可得，再由周期可求出，再代入点坐标可求得解析式，即可求得对称轴方程； （2）利用图象平移规则求出的解析式，再由函数单调性可求得最大值和最小值. 【小问1详解】 由图象可知，设函数的最小正周期为， 则，故，又，所以， 将点代入，得，即， 所以，，即，， 又，故， 所以， 令，，得的对称轴方程为，. 【小问2详解】 先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为， 再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为， ，则， ∴当，即时，取得最小值，此时； ∴当，即时，取得最大值，此时； 16. 揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计样本的平均数； （2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率． 【答案】（1），68.5 （2）78.6 （3） 【解析】 【分析】（1）利用所有矩形面积（频率）之和为1，列方程求出；每组用区间中点代表本组数据，用“中点 × 本组频率”再求和，得到样本平均数. （2）从低分段向上累加频率，得到分数线落在这一组，利用分位数公式列方程求解，最后精确到0.1. （3）两组分别抽取4人和2人；给6个人编号，列举法求出概率. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 则平均数为 ； 【小问2详解】 由题意可得：本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员， 即求第80百分位数， 又， ， 则分数线在内，且设分数线为x， 可得， 解得，即获奖分数线为78.6. 【小问3详解】 由题意得两组的频率之比为，现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则从中抽取4人，记为， 从中抽取2人，记为， 所有可能的情况为，，，，，，， ，，，，，，，，共15种， 其中至少有1人的分数在的情况有，，，， ，，，，，共9种， 故所求概率. 17. 已知在中，内角所对的边分别为 ，且． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，得到，求得，即可求解； （2）由正弦定理求得，，化简得到，再由为锐角三角形，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 所以，可得． 【小问2详解】 由正弦定理知，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，可得，即，解得， 则，所以， 所以， 所以， 所以的周长的取值范围为． 18. 已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质运算求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3）由题意得，根据函数的单调性分别求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为是上的偶函数，故对任意，恒成立， 所以，， 令，代入化简得得​， 因此的解析式为. 【小问2详解】 由题意可得，易知在上单调递增， 因此不等式等价于. 令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得， 由基本不等式得， 当且仅当取最小值，因此，即. 【小问3详解】 对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值. 因为单调递增，故，因此存在，使得， 即，开口向上，对称轴， 若，，得； 若，，恒成立； 若，，结合恒成立. 综上得​，即. 19. 如图，在三棱台中，平面平面，，，且． （1）证明：； （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段BE的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：三棱台中，平面平面，， 又，所以四边形为等腰梯形，易得. 在中，， 则，所以，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质及线面垂直的性质，结合棱台的性质证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理得到平面平面，根据面面垂直的性质及线面角的定义求解即可. （3）根据面面垂直的性质及线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理及二面角的定义确定二面角的平面角，根据平行线的性质求解判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 三棱台中，因为，所以. 由（1）知，平面，因为平面，所以. 因为平面，，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 过点作，交的延长线于. 因为平面平面，平面，所以平面， 则即为直线与平面所成的角. 在中，，，所以，即. 故直线与平面所成的角大小为. 【小问3详解】 设三棱台侧棱的延长线交于点，易知为等边三角形， 由平面平面，平面平面，得平面平面. 取中点，连接，则，且. 又平面平面，平面，所以平面. 连接，过点作交于，则平面. 因为平面，所以. 过点作交于，连接. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以，则即为二面角的平面角. 若存在点，使得二面角的平面角正切值为，即. 设，则， 因为，，则， 即，解得. 在中，， 在中，， 在直角梯形中，， 因为，即，所以， 所以线段上存在满足题意的点，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原师范学院附属中学2025级高二年级开学监测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上填写好自己的考号、姓名、校班等信息．将条形码横贴在答题卡“考生条形码粘贴区”． 3．考生作答时，请将答案正确地填写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，并且､均为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间内恰有两个最值点和三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. B. 与的夹角为 C. D. 在方向上的投影向量的模是 10. 某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，有错误选项不得分.若答案是两项，选对一项得3分，选对两项得6分，答案是三项，选对一项得2分，选对两项得4分，选对三项得6分.”已知某选择题的正确答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ） A. 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率是 C. 丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是 D. 丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是 11. 如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在线段上，则的最小值为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若点是棱的中点，则过，，的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D. 若点是线段的中点，则点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若事件与事件互斥，且，，则______. 13. 已知的定义域为，满足，，若，则______. 14. 已知一组数据，，…，的平均值为，方差为，删去一个数后，平均值不变，方差变为，则原来这组数据的个数______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式，并求出的对称轴； （2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 16. 揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计样本的平均数； （2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率． 17. 已知在中，内角所对的边分别为 ，且． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 18. 已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19. 如图，在三棱台中，平面平面，，，且． （1）证明：； （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段BE的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $