湖北省武汉市第二中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2025年武汉二中高三上学期九月月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D D A B D ABD ABD ABD 1.【解答】解：由已知得，2=220-)。=1-1，故1z5,故z-iH2-非5.故选C. 1+i(1+01-) 2.【解答】解：根据题意，可得BD=}B,8C=4C-正， 因为BP是AD8C的中线，所以即=8D+B0)=日西+aC-=丽+C.放选：C 3.【解答】解：2cos20=1+sin20,.2(cos20-sin20)=(cos0+sin0)2, 即2(cos0-sin0)(cos0+sin0)=(cos0+sin0)2,又0为锐角，.cos0+sin0>0, sA-sin0)=cos9+sin0,即cos0=3sin0,六tan0=,故 4.【解答】解：由题意知，cos[2(巧 2(cos(-a)=1-2sin( 6 -25 又5+2a=r-(区-2a),所以cos(5 6 6 +2a)=ox-后-2a月=-cog-2a）)=3放选：D 6 6 5.【解答】解：因为数列{an}为递增数列，所以a1>an,即k(n+1)2-(n+1)-2>m2-n-2恒成立，整理 得：(2n+1)k-1>0,因为当n∈N时，f(n)=(2n+1)k-1单调递增，f(n)mm=f(1)=3k-1>0, 所以>号故选：D. 6.【解答1解：由题意，a66-5,即石-6=石云，又3近-6Hā+i1,则好-6a6+2=8+2a5+公， 1b11b13 即a-6=,所以a2=,则cos<a,6a-6-5 1a川63，故选：A. 7.【解答】由题知，f(=2sn0x+若沿x轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数 8()=2sin(o+).令g()=1,即sn(ox+p)-=号由正弦曲线性质知，sinx=至少有2解，至多有 1 3解，则自变量x的区间长度在2π到8红之间，耶2≤oπ<S 3 2,那2≤0<。，选B, 8.【解答】解：设|AM=x,|AN=y,x,ye(0,), 则s=,$=1w0-0-列=+2”， 2 由平面向量数量积的运算可得：CM·AB=1-x,ICN·AD=1-y, M 又SW.1.D1,则y=0-0-,即x+y=1+,即1+>2可，当且仅当x=y 1 第1页共7页 时取等写，又w>0.甲0<32-，则0<6-45，则=+2”-号e5-归 故选：D. 9【答案I以样每抽医题可得改儿=水(or+p)的是本预为5，子（合）不子， 又>0，a>0,7一所以有==2，结合对称性可数)的图象过吾 所以f)5=5os(名+p解得p石+2keZ,又0<9<x,所以p-君 6 6 所以)-5cs2+) 2c0s2r、V 所以g()=/)os2r=cos2x+}cos2r= sin2x-cos2x, 对于A当=径88}e怎}0，所以(S0是g)的-个对称中心，放正确 因于B,令2x士中，kE乙，可得xkE乙，故g四的对称轴方程为x3五kE☑ 26 26 改B正确：对于c引，2x+骨[昏}所以ow2x+}故g0引 上的值域为 [-引，放c笛限：对于，令2点≤2x+号5+2e2,解得 3 π +kπ≤x≤ 6 +ae列，.所以g(纠的单调建减区间为[红名红+引e,故D正确 故选：ABD. 10.【解答】解：对于A,因为B.AC=25S,所以becosA=25s=2V5×besin d,所以anA=5 3 又因为E0),所以4=云，故4正确：对打B,若h=2,a=2,且4-=名，故B=名C=-4-B 2 6 6 3交， 所以三角形只有一解，故B正确：对于C,若△MBC为锐角三角形，则0<B<子，4+B=名+B>了，所 6 2 以智B智则A<nB<,由正弦定理有：一A所以h34snBE28.4,故C霜 2 sin B sin A sin A 误；对于D,若D为BC边上的中点，则AD=(AB+AC), 2 第2页共7页 a而-4（西+aG=4e2+2ceos4+b)-+c+5e, 又a2=b2+c2-2 becos A=b2+c2-√3bc=4,所以b2+c2=4+√5bc, 所以4=P+c2Bhc2 he-he=2-Bbc,所以bc≤25=42+V3),当且仅当b=c时等号成立， 4+a+a1+C≤+4B,所以D<2+3,当且仅当b=c时等号成 正确.故选：ABD. 1,n=4k+1,k∈N 1.【解答】解：对于选项4，由a,=s加受，可得a- 0,n=4k+2,k∈N -1,n=4k+3,keN I0,n=4k+4,k∈N ∴Sn=1或0，故令M=2,则有Vn∈N,3M>0,使得1SnkM,故A选项正确： 对于选项B,如果a,=,则s,=1++++++++1, 1 n 234567 n 1 1.1、1111、 1 5678 2 则YM>0,取m=2M],3,=2”,使得1S≥2M+1>M,故B选项正确： 2 对于选项C,下证m2x,®，，令f)=nx-名x,eo,则f=cosx-是在0受1上单调 π 递诚了0=1-子0，r受=s号是-子<0，存在气e0受，使得了6-0，当e0时 2ππ )>0,f)单调递增：当xe(x,)时，∫()<0，f)单调递减，又f0)=f否)=0，故fx)≥0在 xe0,恒成立，即sin≥2x,xe0,,0<<,则有sin≥2.，由选项B可知，当a,=,则YM>0, 2 nπn n,∈N,使得1S,PM,同理当b,=2.,则VM>0,m∈N,使得1S,>M,故当c,=sim,则VM>0, πn n 3n2∈N°，使得引Sn>M,故C选项错误；对于选项D,如果neN,M,>0,使得SnkM,, 则|an曰Sn-Sn1KSn|+|Sn1K2M1,故对于neN,3M2=2M1>0,使得1anKM2,故D选项正确. 故选：ABD· ,4×(4-0d=20 4a+ 12.【解答】解：设首项为a,公差为d,由S4=20,S。=12S2,可得 2 6×6-)d=12[2a+ 6a1+ 2x(2-1dl 2 2 1 解得}4=2，所以S=8a+8x8-D4=8×+8x得-Dx3=8. 2 d=3 22 13.【解答】解：因为A=45°，AB=1,AD=√2，若AP=AB+xAD(x∈R), 第3页共7页 所以-=丽+而=西+2而+r而-1+2x1kx号+2r=2++分 所以当x=号时，有最小值)，所以1的最小值为 2 14.【解答】【详解】因为a,=4++9++，me八， 23 n 所以a1=a+g+2++8+a,所以a1=a,+8,整理得=g,neN, 23 nn+1 n+1 n+1 n 是常数数列又4=0所以号-吕= 1 n 即 n120 ，即an= 20 因为f(x)=(x-2)+2(x-2)+2,所以 f(4-x)=(4-x-2)°+2(4-x-2)+2=-(x-2月-2x-2H2, 所以+/4刘=4，又a,0所以f和)=f0) ieN", 所三)=0品+器》8) )=(288}+品}8)】 所u运)[08}[a(8}+(8}9. 所以2/a)=2×79=158故答案为：15 15.【答案】(1) F18详+ca_2sin合-sm-2ha。b=b+g ab sin A a b2+a2-c21 .'cos C= Ce(0,π)， 2ab Γ2 C=π 3 【2详解】设△ABC外接圆的半径为R,由S=πR2_49元 3元，得R=7 3 ,因为C=2R=145 sinC 3 解得c=7,:S。Bc 2 absin C=6W5,所以ab=24,又c2=b+a2-b=a+b-3b,所 以49=(a+b)2-72,故a+b=11,△ABC周长a+b+c=18 16.【小问1详解】因为CD⊥平面ABD,BEC平面ABD,所以CD⊥BE; 又AB=BD,E是AD的中点，所以BE⊥AD: 因为AD∩CD=D,AD,CDC平面ACD,所以BE⊥平面ACD. 第4页共7页 【小间2详解】由CD⊥平面ABD,得CD⊥AD,CD⊥BD,故∠ADB= 3 设AB=BD=CD=2,以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，平面ABD内过D作DB的垂线为z 轴，建立坐标系， 音点率，p0ao)a2a0.c0204a)}0） ZA 设AF=AC,∈(0,1)，4C=-1,2,-5),则F1-,22,V3(1-)月， 直线BF的方向向量：BF=（-1-入，21,5(1-元)月， D 平面ACD的法向量：由(1)知BE= 9 C BF.BE 3 5 设直线BF与平面ACD所成角为0，则：sinO= BFBE√3.2√222-+12W22-1+1 7 令f(Q)=22?-入+1，其对称轴为入=，此时闭三。代入得(sin8)=V42 8 7 17.【小问1详解】令x=-1,y=0,由f(x+y)=f(x)f(y)得f(-1+0)=f(-1)f(0),即 f(-1)=f(-1)f(0);因为x<0时，f(x)>1,所以f(-1)>1,解得f(0)=1: 当x>0时，-x<0,即f(-x)>1, 所以0)=s4)=(-.由0=1将/八)=不 因为f(-x)>1,所以x>0时，0<f(x)<1:综上所述，f(x)在定义域为R恒为正： 令x<x2,则x-x2<0,可得f(x-x2)>1, f(x)=f[(x-x2)+x2=f(x-x2)f(x2). 由f(x1-x2)>1得f(x)=f(x-x2)f(x2)>f(x2),即f(x)>f(x2): 所以函数f(x)在定义域为R上单调递减 1 【小间2详解】由（1)得a=f(0=1,由/a)Ff-2-a得f(a,/(-2-a.)=1,即 f(an+1+(-2-an)月=f(0),可得a1-2-an=0,即a+1-an=2, 可得数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则an=1+(n-1)×2=2n-1, 第5页共7页 数列{an}的通项公式为an=2n-1. 【小问3详解】由(2)可知a,=2n-1,所以3，-+21-1n=, 2 1111 所以S3nn+nn+T' 11 得5+5，s+53223 =十·十 1=1-+t+1-1 11 nn+l n+1 因为n∈N,所以1-1 <1, n+1 1 1 当不等式 =十十 S,S2 S2S3 一<k对-一切neN恒成立时，k之1，则k的最小值为1 VS.Sa 18.【小问1详解】由题意，抛物线准线方程为x=-1,故p=2, 所以抛物线的标准方程为y2=4x. 【小问2详解】设A(x,乃)，由于A在第一象限，故斜率存在， 设直线l的方程为y-y=k(x-x), 由于A在第一象限，可得y=2,y=1 所以切线斜率为长店 12 ,即直线l的方程为y=2x-2x+=2(x+x), 令x=0得M 0,2 由题意知F(1,0), =-2,kkw=-=-=-1， A 故FM⊥I. M(B 【小间3详解】如图，设A,(x,-),A(x,), 由1，l2关于x轴对称，可得12：-y=2(x+x), A 由y=-2F,y=-↓， 可得飞=-1=2 所以4-为=2(x-x).即马yy=2(x+x）), 第6页共7页 联立1与1， yy=2(x+x) y=2(x+x3)' 解得，=出业=-=丛 -⅓4(y-y)4 同理0=-必，放x,+。=0, 4 设直线I,与y轴交于N,则P,Q关于点N对称，即NP=NQ, 由4y=2x+无)，令x=0,得y=25,所以N025 、y3 故w=-25，则长w=-钻=- =-1, 3 yy好 可得FN垂直于I,故FP=FQ,可得∠FPQ=∠FQP, 延长QF交y轴于B,则∠PFB=∠FPQ+∠FQP=2∠FQP, 又∠PFM=2∠PQF,故∠PFB=∠PFM,从而B与M重合，即M,F,Q共线， 进而k,=k2,注意到k≠0， k=1. 19.【小间1详解】当b=-1时，函数g)=21r-x+1的定义域为(0，o), 求学特g0-子1-=0-s0. 所以函数g(x)的递减区间为(0，+∞)，无递增区间. 【小间2详解】任意xEL,o),不等式f<x+1台r-l<x+1台a<nx+血x+上恒成立， Inx xx 令函数=nx+血x+,x>l,求导得h(= 1 1-Inx 1 x-Inx x x xx2 x2x2 令函数y=x-lnx,x>1,求导得y=1->0,函数y=x-nx在L,o)上单调递增， 当x>1时，x-lnx>1-ln1=1,h(x)>0,则函数h(x)在(1，+o)上单调递增， 因此h(x)>h()=1,a≤1，所以实数a的取值范围是a≤1. 【小间3详解1令函数()=nr-3r-3,求导得-1_12x2+12x+12。K- x2+4x+1 x(r+4x+Px+4r+≥0， 当且仅当x=1时取等号，则函数p(x)在(0，+0)上单调递增，而p(1)=0, 则当x>1时，p(x)>0:当0<x<1时，p(x)<0, 质以当x>时，r234当0<x<时，nr< 3x2-3 x2+4x+1 第7页共7页2025年武汉二中高三上学期九月月考数学试卷 命题人：曾维平岳俊 审题人：范向阳 20250927 一、单选题 1.设i为虚数单位，若复数z满足z(1+)=2,则川z-i=( A.1 B.√2 C.5 D.2 2.如图，在△MBC中，AB=4DB,P为CD的中点，则BP=() A.-44B+)4c .4丽+写cc.名+cn总+C 8 3.已知锐角0满足2cos20=1+sin29,则tan0=() C.2 D.3 4已知n行a)=号ae0,则c+2a)的值为( 12 6 8.、24 25 C. 5.已知数列{an}的通项公式为an=m2-n-2，若{a,}为递增数列，则k的取值范围为() A.(1,+∞) B.(0,+∞) 1 c.(+o) D.,+o) 6.向量a在向量6上的投影为5，且|3a-万Ha+1,则coa,=( ) A.3 3 B.② 3 C. 3 D.I 6 7.已知函数f(x)=sin(ox)+V3cos(ox),若沿x轴方向平移f(x)的图象，总能保证平移后的曲线与直线 y=1在区间[0，π]上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数0的取值范围为() (3.4 10 D.[2,4) 8.己知正方形ABCD的边长为1，M,N分别是边AB,AD上的点（均不与端点重合），记△AMN,△CMN 的面积分别为S,S,.若SCM·AB CN.AD|,则S,的取值范围是() 好 B.2-1 C. D.2-2 二、多选题 9.已知函数f(x)=Acos(ox+p)(A>0,0>0,0<p<π)的部分图象如图所示，令g(x)=f(x)-Cos2x, 则() A.g(x)的一个对称中心是 元，0 12 第1页共4页 B.g(x)的对称轴方程为x= 元+kr(keZ) Γ6+2 c.g(x)在 上的值域为 D.g(x)的单调递减区间为 (e 10.△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且a=2,AB.AC=23S, 下列选项正确的是() A.A= 6 B.若b=2,则△ABC只有一解 C.若△4BC为锐角三角形，则b取值范围是(2V3,4] D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+√5 11.已知数列{a,}的通项为a。,前n项和为S。,则下列选项中正确的有() A.如果a,=sinz,则VneN,3M>0,使得1S,KM B.如果a,=1,则M>0,3m,∈N,使得1SbM n C.如果a,=sin,则VneN,M>0,使得1S.KM n D.如果n∈N,3M>0,使得|SnkM,则n∈N,3M2>0,使得引anKM2 三、填空题 12.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4=20,。=12S2,则S= 13.在平行四边形ABCD中，A=45°，AB=1,AD=√2，若AP=AB+xAD(x∈R),则|AP|的最小值 为 14.若f(x)=(x-2+2(x-2)+2,已知数列0，}中，首项4=20’a,=4+ 1 +4+…+, 23 n neN,则∑f(a)= 第2页共4页 四、解答题 15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 b+c-a 2sin B-sin A ab sin A (1)求C的大小： 4 (2)若△ABC面积为6√3，外接圆面积为 3元，求△ABC周长 16.如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥平面ABD,AB=BD=CD,E是AD的中点，F是线段AC上 的一点（不含端点）， (1)证明：BE⊥平面ACD: (2)若二面角A-CD-B的大小为背求直线BF与平面4CD所成角的正弦值的最大值 17.设函数f(x)的定义域为R,当x<0时，f(x)>1,且对于任意的实数x,y∈R,有 x+W=//0成立.义数列a满足a=10,且/八aE2-六meN (1)求证：f(x)是R上的减函数： (2)求数列{an}的通项公式： 1 @记数列Q的前n项和为Su若不等式SSS,5mTS示，<k对一切meN切成 求实数k的最小值. 第3页共4页 18.已知抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是Γ上第一象限内的点.且A到F距离与A,到 x=-1的距离相等.过A,作T的切线l交y轴于点M. (1)求「的标准方程： (2)求证：FM⊥： (3)记A关于x轴的对称点为A,1关于x轴的对称直线为I,A,为T上第四象限的点（与A,不重合）， 过A,作T的切线l,分别交L,I于P,Q两点，若∠PFM=2∠PQF,直线FQ的斜率为k,直线FM 的斜率为k2,试判断 是否为定值？若为定值，求行的值，若不为定值，请说明理面 k 19已知函数f)=r-1 ,1 ,g(x)=bx+2Inx+ Inx (1)当b=-1时，求g(x)的单调区间： (2)若f(x)<x+1在(1，+oo)上恒成立，求实数a的取值范围： (3)帕德近似(Pade approximation)是数学中常用的一种将三角函数、指数函数、对数函数等“超越函数” 在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在x=1附近，可以用3r-3近似表示r.当x>0 x2+4x+1 且x≠1时，试比较nr与3r-3的大小 x2+4x+1 第4页共4页