第二章一元二次函数、方程和不等式单元素养测评卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第二章不等式单元素养测评卷，通过基础题与情境应用题结合，覆盖不等式解法、性质、基本不等式等核心知识，适配新授课单元测评，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|不等式解法、性质、实际建模（如军训分数、加油方案）|单选巩固基础，多选综合辨析（如不等式性质判断）| |填空题|3/15|范围问题、方程根与系数关系|结合绝对值、二次方程考查运算能力| |解答题|5/77|解不等式、基本不等式应用、命题逻辑、实际应用（商家礼包）|梯度设计（如16题三问提升能力），情境应用（如18题礼包问题）体现数学语言表达|

单元素养测评卷(二)[范围:第二章] (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤1或x≥2} C.{x|1<x<2} D.{x|x<1或x>2} 2.在某校新生军训考核评比中,甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为 (　 ) A. B. C. D. 3.已知实数m,n在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 (　 ) A.m2>mn>0 B.< C.m-n>0 D.m2<n2 4.已知x<3,则y=+x的最大值是 (　 ) A.-1 B.1 C.4 D.7 5.已知二次函数y=ax2+bx-c的图象如图所示,则不等式bx2+ax+c>0的解集为 (　 ) A.{x|x<-1或x>2} B. C. D.{x|-1<x<2} 6.由于燃油的价格有升也有降,现本月要加两次油,第一种方案:每次加30升的燃油;第二种方案:每次加200元的燃油.从两次加油的燃油均价角度看,下列说法正确的是 (　 ) A.无法确定采用哪种方案划算 B.两种方案一样划算 C.采用第一种方案划算 D.采用第二种方案划算 7.命题“∀x∈R,ax2-2x+1>0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　 ) A.a>0 B.a>1 C.0<a< D.a>2 8.若两个正实数x,y满足x+y=1,且不等式+<m2+m有解,则实数m的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.[2026·安徽临泉高一期末] 若a,b,c∈R,则下列说法正确的是 (　 ) A.若ab≠0,且a>b,则< B.若c<b<a,则cb2<ab2 C.若0<a<1,则a3<a D.若a>b>0,则> 10.关于x的不等式x2-4x+4-a2≤0的解集,下列说法正确的是 (　 ) A.当a=0时,解集为{x|x=2} B.当a>0时,解集为{x|2-a≤x≤2+a} C.当a≠0时,解集为{x|2-a≤x≤2+a} D.当a<-2时,原不等式对0≤x≤4恒成立 11.已知实数a>1,b>1,且满足ab=a+b+3,则 (　 ) A.ab的最小值为9 B.a+b的最小值为7 C.a2+b2的最大值为18 D.+的最小值为1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是　　　　　　.  13.关于x的方程mx2+4mx+3=0有两个不等的实根x1,x2,且+-3x1x2>0,则实数m的取值范围是　　　　.  14.[2026·浙江台州高一阶段练] 已知a>1,b>0,且a2+1=a,则3a-2b的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)[2026·海口一中高一期末] 解下列关于x的不等式: (1)≥1; (2)ax2-(a+2)x+2≥0(a>0). 16.(15分)已知a>0,b>0,且2a+b=1. (1)求ab的最大值; (2)求+的最小值; (3)求的最小值. 17.(15分)设命题p:∀x<0,x2+mx+2≥0;命题q:∃x∈{x|0≤x≤1},2x-2≥m2-3m. (1)若p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若命题p,q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围. 18.(17分)[2026·扬州高一期末] 某商家举办周年庆活动,原计划准备400份福利礼包,每份礼包的成本为10元,为提升活动效果,现决定,在总份数400份不变的前提下,将礼包分为A,B两类礼包.A礼包有x(x∈N*)份,且A礼包的每份成本为10元,B礼包的每份成本为10元. (1)若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本,求调整后x的最大值. (2)为了兼顾活动效果和参与度,商家提出要求:当60≤x≤260时,A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本,且A礼包的每份成本始终不低于15元.请问是否存在实数t,使得商家的要求全都得到满足?若存在,求实数t的取值集合;若不存在,请说明理由. 19.(17分)已知函数y=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R). (1)当m=0时,求不等式y>0的解集; (2)若不等式y>0的解集为⌀,求m的取值范围; (3)当-≤x≤时,不等式y≥-x恒成立,求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(二) 1.A　[解析] 因为(x-1)(2-x)≥0,所以(x-1)(x-2)≤0,解得1≤x≤2,所以解集为{x|1≤x≤2}.故选A. 2.D　[解析] 由题意得故选D. 3.A　[解析] 对于A,由题图知m<n<0,则-m>0,所以-m2<-mn<0,所以m2>mn>0,故A正确;对于B,由题图可得m<n<0,则>0,所以>,故B错误;对于C,因为m<n<0,所以m-n<0,故C错误;对于D,取m=-2,n=-1,满足m<n<0,但m2>n2,故D错误.故选A. 4.B　[解析] 由题意可得,y=+x-3+3=-+3,因为x<3,所以3-x>0,则+3-x≥2,当且仅当x=2时取等号,故y=-+3≤1.故选B. 5.A　[解析] 由题图可知,a<0,-=-1+2,=(-1)×2,∴b=-a,c=2a,∴bx2+ax+c>0等价于-ax2+ax+2a>0,∵a<0,∴x2-x-2>0,解得x<-1或x>2.故选A. 6.D　[解析] 设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为=≥,当且仅当m=n时取等号;第二种方案的均价为=,因为m+n≥2>0,当且仅当m=n时取等号,所以≤,故≤.所以无论油价如何变化,第二种方案都更划算.故选D. 7.D　[解析] 当a=0时,-2x+1>0,解得x<,不合题意;当a≠0时,解得a>1,所以“∀x∈R,ax2-2x+1>0”为真命题的一个充分不必要条件应为集合{a|a>1}的真子集.而{a|a>2}是{a|a>1}的真子集,所以命题“∀x∈R,ax2-2x+1>0”为真命题的一个充分不必要条件是“a>2”.故选D. 8.C　[解析] 由x+y=1,x,y>0,可得(x+1)+(y+2)=4,所以+=[(x+1)+(y+2)]=≥(2+5)=,当且仅当=,即x=,y=时等号成立,所以m2+m>,解得m<-3或m>.故选C. 9.CD　[解析] 对于A,当a=1,b=-1时,满足a>b,但>,故A不正确;对于B,若b=0,则cb2=ab2=0,故B不正确;对于C,若0<a<1,则a3-a=a(a+1)(a-1)<0,∴a3<a,故C正确;对于D,-==,∵a>b>0,∴a-b>0,a(a+1)>0,∴-=>0,即>,故D正确.故选CD. 10.ABD　[解析] 将不等式x2-4x+4-a2≤0变形为(x-2)2-a2≤0,利用平方差公式分解可得(x-2-a)(x-2+a)≤0,即[x-(2+a)][x-(2-a)]≤0.当a=0时,不等式可化为(x-2)2≤0,解得x=2,所以不等式的解集为{x|x=2},故A正确;当a>0时,2+a>2-a,所以不等式的解集为{x|2-a≤x≤2+a},故B正确;当a≠0时,若a<0,则2+a<2-a,所以不等式的解集为{x|2+a≤x≤2-a},不是{x|2-a≤x≤2+a},故C错误;二次函数y=x2-4x+4-a2的图象的对称轴方程为x=2,当0≤x≤4时,ymax=4-a2,当a<-2时,a2>4,4-a2<0,所以y=4-a2<0,即不等式x2-4x+4-a2≤0对0≤x≤4恒成立,故D正确.故选ABD. 11.AD　[解析] 对于A,因为a+b≥2,当且仅当a=b时取等号,所以ab-3≥2,可得ab≥9,当且仅当a=b=3时取等号,所以ab的最小值为9,故A正确;对于B,a+b+3=ab≤,当且仅当a=b=3时取等号,可得a+b≥6,所以a+b的最小值为6,故B不正确;对于C,因为a2+b2≥2ab,由选项A可知,ab≥9,所以a2+b2≥18,当且仅当a=b=3时取等号,所以a2+b2的最小值为18,故C不正确;对于D,由ab=a+b+3可得,(a-1)(b-1)=4,所以+≥2=2=1,当且仅当=,即a=b=3时取等号,故D正确.故选AD. 12.-3<α-|β|<3　[解析] 由题得1<α<3,-4<-|β|≤0,则-3<α-|β|<3. 13.m<0或m>　[解析] 因为关于x的方程mx2+4mx+3=0有两个不等的实根x1,x2,所以 解得m<0或m>,又x1+x2=-4,x1x2=,所以+-3x1x2=(x1+x2)2-5x1x2=16-=>0,解得m<0或m>.综上可得,实数m的取值范围是m<0或m>. 14.2　[解析] 因为a>1,b>0,且a2+1=a,所以=a+,则b2+4=a2+2+,整理得b2=a2-2+=,又a>1,b>0,所以a>,所以b=a-,所以3a-2b=3a-2=a+≥2=2,当且仅当a=,即a=时取等号.故3a-2b的最小值为2. 15.解:(1)由≥1,得1-=≤0, 则解得-<x≤, 故不等式≥1的解集为. (2)ax2-(a+2)x+2=(ax-2)(x-1)≥0. 当a=2时,不等式为2(x-1)2≥0,解集为R; 当a>2时,<1,故解集为; 当0<a<2时,>1,故解集为. 综上,当a=2时,解集为R; 当a>2时,解集为, 当0<a<2时,解集为. 16.解:(1)∵a>0,b>0,∴1=2a+b≥2,∴1≥8ab,则ab≤.故ab的最大值为. (2)+=×1=·(2a+b)=4++≥4+2=8,所以+的最小值为8. (3)== ==++3≥2+3=7,所以的最小值为7. 17.解:(1)因为命题p:∀x<0,x2+mx+2≥0为真命题,所以m≤-在(-∞,0)上恒成立, 又-=(-x)+≥2=2,当且仅当-x=,即x=-时取等号,所以m≤2,即实数m的取值范围为m≤2. (2)若q为真命题,即∃x∈{x|0≤x≤1},2x-2≥m2-3m,则对于0≤x≤1,(2x-2)max≥m2-3m. 由于0≤x≤1,所以-2≤2x-2≤0, 则m2-3m≤0,解得0≤m≤3,即命题q为真命题时,m的取值范围为0≤m≤3. 因为命题p,q有且只有一个是真命题, 所以或解得m<0或2<m≤3,所以实数m的取值范围为m<0或2<m≤3. 18.解:(1)由题意知,B礼包共(400-x)份,每份成本为10元,则10(400-x)≥4000,整理得x2-24x≤0,解得0≤x≤384, 因为x∈N*,所以调整后x的最大值是384. (2)假设存在实数t满足要求, 由题意得10x≤10(400-x)对60≤x≤260恒成立,整理得t≤++24对60≤x≤260恒成立, 因为++24≥2+24=34,当且仅当=,即x=80时等号成立,所以t≤34. 10≥15对60≤x≤260恒成立,整理得t≥+对60≤x≤260恒成立,所以t≥+=34. 综上,存在t满足条件,其取值集合为{34}. 19.解:(1)当m=0时,y=x2-1,由y>0得x2-1>0,解得x>1或x<-1, 故不等式y>0的解集为{x|x<-1或x>1}. (2)当m=-1时,由y>0,得x-2>0,解得x>2,不合题意;当m≠-1时,不等式y>0的解集为⌀, 则可得m≤-. 所以实数m的取值范围为m≤-. (3)由不等式y≥-x,得m(x2-x+1)≥-x2-x+1,因为x2-x+1=+>0恒成立,所以m≥=-1+恒成立. 设1-x=t,因为-≤x≤,所以≤t≤,x=1-t, 则===,因为t+≥2=2,当且仅当t=1,即x=0时取等号,所以当x=0时,=1,故m≥1. 学科网（北京）股份有限公司 $