3.1 第2课时　函数的概念(二)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕函数概念（二）的区间表示、同一函数判断、值域三大考点，通过基础概念理解、中档辨析应用、提升综合拓展的三阶分层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，适配新授课“基础巩固+能力提升”需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|区间表示（1-3题）|直接考查区间概念及表示，如多选题判断不可用区间的集合，填空题确定区间参数范围，培养抽象能力| |中档层|同一函数判断（4-6题）、值域基础（7-10题）|结合教材变式（如例3变式），通过多选辨析、解答题说明理由深化概念理解，考查基本值域求解，发展推理意识| |提升层|综合应用（11-18题）|含新定义“同族函数”、参数问题、存在性问题，如第13题同族函数个数，第18题存在性问题，培养创新意识与理性精神|

第2课时　函数的概念(二) 1.ABD　[解析] 区间形式可以表示连续数集,是无限集,选项A,D中集合是自然数集的子集,都不能用区间形式表示.B选项中,Q是有理数,数轴上大于1的有理数不是连续的,集合不能用区间形式表示.只有选项C中集合可以表示成区间,区间形式为(-∞,0]∪[3,+∞).故选ABD. 2.(1,+∞)　[解析] 由题意得m<4m-3,解得m>1,故m的取值范围为(1,+∞). 3.①[-1,6)　②　③(-∞,a)　[解析] ①{x|-2≤x-1<5}={x|-1≤x<6}=[-1,6).②{x|3-x≤3x}==.③{t|t<a}=(-∞,a). 4.B　[解析] 函数f(x)=x的定义域为R.函数h(x)=()2的定义域为[0,+∞),故A选项不合题意;函数g(t)=t的定义域和对应关系都与f(x)相同,故B选项符合题意;函数k(x)==|x|的对应关系与f(x)不同,故C选项不合题意;函数p(x)=|x|的对应关系与f(x)不同,故D选项不合题意.故选B. 5.BD　[解析] 对于A,g(x)的定义域为{x|x≠0},f(x)的定义域为R,两个函数的定义域不相同,不是同一个函数,故A错误;对于B,两个函数的定义域均为R,且对应关系相同,是同一个函数,故B正确;对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠2},两个函数的定义域不相同,不是同一个函数,故C错误;对于D,两个函数的定义域相同,f(1)=8,f(2)=4,g(1)=8,g(2)=4,对应关系相同,是同一个函数,故D正确.故选BD. 6.解:不是同一个函数,理由如下:对于函数y=·,由解得x≥1,故定义域为{x|x≥1}; 对于函数y=,由(x+1)(x-1)≥0,解得x≥1或x≤-1,故定义域为{x|x≥1或x≤-1}. 显然两个函数定义域不同,故不是同一个函数. [规律方法] 判断两个函数是否为同一个函数时应注意的三点:(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数;(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的;(3)在化简解析式时,必须是等价变形. 7.B　[解析] 对于A,f(x)=5x+1的定义域和值域都是R,故A错误;对于B,f(x)=x2+1的定义域为R,值域为[1,+∞),故B正确;对于C,f(x)=的定义域和值域都是(-∞,0)∪(0,+∞),故C错误;对于D,f(x)=的定义域和值域都是[0,+∞),故D错误.故选B. 8.BD　[解析] 对于A,当x=-2时,y==-1,故A错误;对于B,因为y=x2-x-2=-,所以y=|x2-x-2|≥0,故B正确;对于C,因为|x|≥0,所以y=2|x|+1≥1,故C错误;对于D,因为y=2x2+x-1的图象与x轴有两个交点,所以y=≥0,故D正确.故选BD. 9.　[解析] 因为x2+3≥3,所以0<≤,所以函数y=的值域为. 10.解:(1)f(x)===3+, 因为≠0,所以f(x)=的值域为(-∞,3)∪(3,+∞). (2)f(x)=x++1=+,因为≥0, 所以f(x)=x++1的值域为[1,+∞). (3)设t=,则t≥0,x=1-t2, 所以y=2(1-t2)+4t=-2(t-1)2+4, 所以函数y=2x+4的值域为(-∞,4]. 11.D　[解析] 函数f(x)=x-1的定义域为R.对于A,函数g(x)=x-的定义域为{x|x≠0},故A中的函数与f(x)不是同一个函数;对于B,函数g(x)=-1的定义域为R,g(x)=-1=|x|-1=故B中的函数与f(x)不是同一个函数;对于C,函数g(x)=|x|-1的定义域为R,g(x)=|x|-1=故C中的函数与f(x)不是同一个函数;对于D,函数g(x)=-1的定义域为R,且g(x)=-1=x-1,故D中的函数与f(x)是同一个函数.故选D. 12.C　[解析] 当x∈时,f(x)的值域为{-1,0,1,2,3}.对于A,由y=x,x∈{-1,0,1,2,3},得其值域为{-1,0,1,2,3},与f(x)的值域相同;对于B,由y=2x,x∈,得其值域为{-1,0,1,2,3},与f(x)的值域相同;对于C,由y=,x∈,得其值域为{-1,1,2,3,4},与f(x)的值域不同;对于D,由y=x2-1,x∈{0,1,,,2},得其值域为{-1,0,1,2,3},与f(x)的值域相同.故选C. 13.C　[解析] 当f(x)=1时,x=±1,当f(x)=4时,x=±2,∴定义域可以为{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,-2},{1,-1,2},{1,2,-2},{-1,2,-2},{1,-1,2,-2},共9个.故选C. 14.ABC　[解析] 令y=x2-2x+2=1,得x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,解得x=1.令y=x2-2x+2=2,得x2-2x=0,解得x=0或x=2.故定义域内必须含有1,且0与2至少含有一个,且定义域一定是[0,2]的子集.设定义域为[a,b],若a=0,则1≤b≤2,故A满足题意;若b=2,则0≤a≤1,故B,C满足题意.故选ABC. 15.　　[解析] 若函数f(x)的定义域为R,则对任意x∈R,mx2-(m-2)x+m-1≥0恒成立,所以m>0且Δ=(m-2)2-4m(m-1)≤0,解得m≥,所以实数m的取值范围是.当m=0时,f(x)=,f(x)的值域是[0,+∞),满足题意.令g(x)=mx2-(m-2)x+m-1,当m<0时,g(x)的图象开口向下,故f(x)的值域不可能是[0,+∞),不满足题意;当m>0时,若f(x)的值域是[0,+∞),则mx2-(m-2)x+m-1=0有解,所以(m-2)2-4m(m-1)≥0,解得-≤m≤,又m>0,所以0<m≤.综上,实数m的取值范围是. 16.解:(1)由1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}. 当x=0时,f(0)=1,当x≠0时,f(x)==1+=1+. 当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,-1<-1<0,则<-2, 此时f(x)=1+<-1; 当x∈(-1,0)∪(0,1)时,-1>0,则>0, 此时f(x)=1+>1. 综上,函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪[1,+∞). (2)f+f(x)=0,证明如下: 因为f(x)=,所以f==,所以f+f(x)=0. 17.{4}∪∪　[解析] 由题意可得a<2a-1,解得a>1.当1<a<4时,2a-1-a=a-1<3,此时[a,2a-1]中不可能有4个整数;当a=4时,[a,2a-1]=[4,7],其中含有4,5,6,7四个整数,符合题意;当4<a<5时,7<2a-1<9,因为区间[a,2a-1]内有且仅有4个整数,所以4个整数为5,6,7,8,则8≤2a-1<9,解得≤a<5;当a=5时,[a,2a-1]=[5,9],其中含有5,6,7,8,9五个整数,不符合题意;当5<a<6时,9<2a-1<11,因为区间[a,2a-1]内有且仅有4个整数,所以4个整数为6,7,8,9,则9<2a-1<10,解得5<a<;当a≥6时,2a-1-a≥5,此时[a,2a-1]内不只有4个整数,不符合题意.综上所述,a的取值范围为{4}∪∪. 18.　[解析] 记函数f(x)在[0,4]上的取值范围为集合A,函数g(x)在[0,4]上的取值范围为集合B,由题意得,A=[-1,3],B⊆A.当m=0时,g(x)=1,则B={1},满足B⊆A;当m>0时,B=[1-m,1+3m],∵B⊆A,∴解得m≤,∴0<m≤;当m<0时,B=[1+3m,1-m],∵B⊆A,∴解得m≥-,∴-≤m<0.综上,实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　函数的概念(二) 考点一　区间表示 1.(多选题)下列集合不能用区间形式表示的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{1,2,3,4} B.{x∈Q|x>1} C.{x|x≤0或x≥3} D.{x∈N|2<x≤5} 2.若(m,4m-3)为一确定区间,则m的取值范围为　　　　.  3.用区间表示下列集合: ①{x|-2≤x-1<5}=　　　　;  ②{x|3-x≤3x}=　　　　;  ③{t|t<a}=　　　　.  考点二　同一个函数的判断 4.[教材P66例3变式] 下列函数与f(x)=x是同一个函数的是 (　 ) A.h(x)=()2 B.g(t)=t C.k(x)= D.p(x)=|x| 5.(多选题)[2026·深圳二中高一期中] 下列各组函数中是同一个函数的有 (　 ) A.f(x)=x,g(x)= B.f(x)=2x-1,g(t)=2t-1 C.f(x)=|x-2|,g(x)= D.f(x)=,x∈{1,2},g(x)=12-4x,x∈{1,2} 6.试判断函数y=·与函数y=是否是同一个函数,并说明理由. 考点三　函数的值域 7.下列函数定义域和值域不同的是 (　 ) A.f(x)=5x+1 B.f(x)=x2+1 C.f(x)= D.f(x)= 8.(多选题)下列四个函数中值域为[0,+∞)的是 (　 ) A.y= B.y=|x2-x-2| C.y=2|x|+1 D.y= 9.函数y=的值域为　　　　.  10.求下列函数的值域: (1)f(x)=; (2)f(x)=x++1; (3)y=2x+4. 11.[2026·贵阳一中高一质检] 下列函数中,与f(x)=x-1是同一个函数的为 (　 ) A.g(x)=x- B.g(x)=-1 C.g(x)=|x|-1 D.g(x)=-1 12.已知函数f(x)=[x],其中[x]表示不超过x的最大整数,当-≤x≤时,下列函数中,其值域与f(x)的值域不同的为 (　 ) A.y=x,x∈{-1,0,1,2,3} B.y=2x,x∈ C.y=,x∈ D.y=x2-1,x∈{0,1,,,2} 13.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有 (　 ) A.7个 B.8个 C.9个 D.无数个 14.(多选题)已知函数y=x2-2x+2的值域是[1,2],则其定义域可能是 (　 ) A.[0,1] B.[1,2] C. D.[-1,1] 15.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是　　　　;若函数f(x)的值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是　　　　.  16.已知函数f(x)=. (1)求f(x)的定义域和值域; (2)判断f与f(x)的关系,并证明. 17.已知区间[a,2a-1]内有且仅有4个整数,则a的取值范围为　　　　　　.  18.已知函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=mx+1-m,若对任意x1∈[0,4],存在x2∈[0,4],使得g(x1)=f(x2)成立,则实数m的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $