微专题04 基本不等式求最值同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式求最值12大考点，分层设计基础方法、进阶技巧、综合应用三阶练习，实现从单一方法到实际问题的知识巩固路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础方法|“1”的妙用、配凑法、消元法等|以选择填空为主，如“已知a+b=1求最值”，夯实概念理解与运算能力| |进阶技巧|对勾函数、齐次式、双换元等|含多选与解答题，如“多次使用基本不等式”，发展逻辑推理与技巧迁移| |综合应用|柯西/权方和不等式、参数范围、实际问题|结合展房造价等情境题，提升数学建模与问题解决能力|

微专题04 基本不等式求最值 12大考点汇总 考点01 “1”的妙用求最值 考点02 利用配凑法求最值 考点03 利用消元法求最值 考点04 二次与二次(或一次)的商式求最值 考点05 利用对勾函数求最值 考点06 利用齐次式法求最值 考点07 利用双换元法求最值 考点08 多次使用基本不等式求最值 考点09 柯西不等式的应用求最值 考点10 权方和不等式求最值 考点11 利用基本不等式求参数值或范围 考点12 利用基本不等式解决实际问题 题型专练 考点01 “1”的妙用求最值 1．（2026·西藏山南·一模）已知，，且，则的最小值是______. 2．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 4．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点02 利用配凑法求最值 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 7．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 8．（25-26高一上·云南大理·期末）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 考点03 利用消元法求最值 9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 10．（25-26高二下·广西北海·期末）若正数x，y满足 则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 11．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知正数满足，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 12．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 考点04 二次与二次(或一次)的商式求最值 13．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 15．（25-26高一·全国·课后作业）（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 16．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，则的最小值为___________. 考点05 利用对勾函数求最值 17．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 18．（25-26高一·全国·课堂例题）函数f（x）＝＋1的最小值为________． 19．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）（多选）下列结论不正确的是（ ） A．当时, B．当时, 的最小值是 C．当时, 的最小值是 D．设,,且,则的最小值是 20．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 考点06 利用齐次式法求最值 21．（25-26高一上·湖北·期末）已知正数x，y满足，则上的最小值为______________． 22．（2026·安徽合肥·一模）（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 23．（2026·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为_________，的最小值为___________． 24．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知，，若，则的最小值为________． 考点07 利用双换元法求最值 25．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 26．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 27．（2026高三上·全国·专题练习）已知且，则下列选项不正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 28．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 考点08 多次使用基本不等式求最值 29．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）设为正实数，则的最小值是____________． 30．（25-26高一上·北京朝阳·阶段检测）已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 31．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知正实数a，b，c，，则的最大值为__________，的最小值为__________． 32．（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 考点09 柯西不等式的应用求最值 33．（25-26高一上·全国·专题训练）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 34．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 35．（25-26高一上·全国·专题训练）若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 36．（25-26高一上·全国·专题训练）若，求的最小值. 考点10 权方和不等式求最值 37．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 38．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 39．（25-26高一上·河北承德·期末）（多选）若正实数、满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值是 D．的最小值为 40．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 考点11 利用基本不等式求参数值或范围 41．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 42．（25-26高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 43．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（2026高一·全国·专题练习）设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 考点12 利用基本不等式解决实际问题 45．（25-26高一上·河南洛阳·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 46．（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 47．（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 48．（25-26高一上·四川·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 基本不等式求最值 12大考点汇总 考点01 “1”的妙用求最值 考点02 利用配凑法求最值 考点03 利用消元法求最值 考点04 二次与二次(或一次)的商式求最值 考点05 利用对勾函数求最值 考点06 利用齐次式法求最值 考点07 利用双换元法求最值 考点08 多次使用基本不等式求最值 考点09 柯西不等式的应用求最值 考点10 权方和不等式求最值 考点11 利用基本不等式求参数值或范围 考点12 利用基本不等式解决实际问题 题型专练 考点01 “1”的妙用求最值 1．（2026·西藏山南·一模）已知，，且，则的最小值是______. 【答案】8 【详解】， 当且仅当时等号成立，即时，的最小值为8. 2．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 3．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 【答案】/ 【详解】由正数满足，得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当取最小值时，的值为. 4．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造乘“1”法，化简整理后利用基本不等式即可求出最小值，需注意等号成立条件. 【详解】由，可得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立． 故选：A 考点02 利用配凑法求最值 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式乘1法，即可求得其最小值. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当， 联立，解得，时取等号. 则的最小值为. 故选：A 6．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由配凑法结合换1法得出，再使用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 7．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件可得，根据“1”的妙用结合基本不等式求解作答. 【详解】因为，，且，则， 可得， 当且仅当时等号成立，结合可得，当且仅当时等号成立， 所以取得最小值. 故答案为：. 8．（25-26高一上·云南大理·期末）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据基本不等式计算求解最值. 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 考点03 利用消元法求最值 9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题设条件求得，代入所求式利用基本不等式即可求解. 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 10．（25-26高二下·广西北海·期末）若正数x，y满足 则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解. 【详解】由题设及，可得 . 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为4. 故选：C. 11．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知正数满足，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】首先求出的取值范围，根据将b用a表示，代入后配凑，根据基本不等式求得最小值. 【详解】当时，等式不成立，所以. 由得， 因为均为正数，所以，解得. 将代入得 ， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是12， 故选：A. 12．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得. 【详解】已知，且，，其中, ， 当且仅当时取等号. 故选：B 考点04 二次与二次(或一次)的商式求最值 13．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 14．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）；（2）8. 【分析】（1）因为，所以利用均值不等式即可求解； （2）因为，所以利用均值不等式即可求解. 【详解】解：（1）因为，又， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 故y的最大值为； （2）由题意，， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故y的最小值为8. 15．（25-26高一·全国·课后作业）（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）7；（2）5． 【分析】（1）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值； （2）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）， 当且仅当时，等号成立，即． （2）， 当且仅当时，等号成立，即． 16．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】利用换元法，令，将转化为关于的分式，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 考点05 利用对勾函数求最值 17．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】化简  为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 18．（25-26高一·全国·课堂例题）函数f（x）＝＋1的最小值为________． 【答案】＋1 【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值. 【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1， 令，t∈[，＋∞）， 则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥）， 则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝， 则g（t）≥， 所以函数f（x）的最小值为； 故答案为：. 19．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）（多选）下列结论不正确的是（ ） A．当时, B．当时, 的最小值是 C．当时, 的最小值是 D．设,,且,则的最小值是 【答案】BC 【分析】关于选项A,直接利用基本不等式即可判断正误;关于选项B,先将表示为,再用基本不等式,注意取等条件即可判断正误;关于选项C,当时,,所以不能直接用基本不等式,举出反例即可; 关于选项D,先将用把代换掉,即得,再用“1”的代换即可求出最值,注意等号取得的条件. 【详解】解:由题知,关于选项A,当时, , , 当且仅当时取等号, 故选项A正确; 关于选项B,当时, , 当且仅当时取等号, 但此时无解,等号取不到,因此最小值不是, 故选项B错误; 关于选项C, 因为,不妨取, 此时的值为负数, 故选项C错误; 关于选项D,因为,,, 则, 则 当且仅当,即时取等号,故最小值为, 故选项D正确. 故选:BC. 20．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于选项A、C、D中利用基本不等式即可判定，对于B中，可利用函数的单调性进行判定，即可求解，得到答案. 【详解】解：由题意，对于A中，因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立，所以函数的最大值为，不符合题意； 对于B中，函数在上单调递减，所以函数的最大值为，不符合题意； 对于C中，，当且仅当， 即时等号成立，所以最小值为，符合题意； 对于D中，， 当且仅当，即，即（显然不成立），所以最小值取不到2. 故选：C. 考点06 利用齐次式法求最值 21．（25-26高一上·湖北·期末）已知正数x，y满足，则上的最小值为______________． 【答案】 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到的最小值. 【详解】正数x，y满足， 故， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为： 22．（2026·安徽合肥·一模）（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】应用基本不等式计算结合一元二次不等式计算判断A，B，先化简再计算判断C，D. 【详解】对于A，由正数满足，可得，解得， 则，当且仅当，即时等号成立，即的最大值为1，故A正确； 对于B，由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B错误； 对于C，因，则， 当且仅当时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于D，由可得，则， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 23．（2026·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为_________，的最小值为___________． 【答案】 3 【分析】根据化简，得到，由，则的取值范围可求．将化简为，运用基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以， 又， 所以． ，当且仅当时取等号， 所以的最小值是3． 故答案为：①；②3. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力．属于中档题. 24．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知，，若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意，，则， 令，， 则， 等号成立时，即，， 故的最小值为. 考点07 利用双换元法求最值 25．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】令，则，将所求式转化为，利用 “1” 的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 26．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可解答. 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 27．（2026高三上·全国·专题练习）已知且，则下列选项不正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【分析】直接运用基本不等式可解决A、B；运用基本不等式中“1”的妙用可解决C；运用换元法结合基本不等式，可解决D. 【详解】对于A：因为且， 所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A正确； 对于B：因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C错误； 对于D：令，则 所以， 又因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 因此，则， ，故D正确. 故选：C. 28．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【分析】运用换元法与基本不等式中“1”的妙用，即可得解. 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 考点08 多次使用基本不等式求最值 29．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）设为正实数，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】设，从而用表达出，从而原式等于，利用基本不等式求出最值，验证取等条件后得到答案. 【详解】设， 则， 则， ， ， 故 ， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 验证取等条件，显然， ，，故，，， 代入可得，故等号成立 . 故答案为： 30．（25-26高一上·北京朝阳·阶段检测）已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 【答案】 / 【分析】直接根据基本不等式得，进而得即可得的最大值；再根据得，进而得的最大值. 【详解】由为正实数且满足， 故根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是； 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 所以的最大值为 故答案为：； 31．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知正实数a，b，c，，则的最大值为__________，的最小值为__________． 【答案】 【分析】第一空根据基本不等式，直接求出的最大值；第二空利用变形为，再将变形为，利用基本不等式整理为，进而再用基本不等式求得答案. 【详解】因为正实数a，b，满足，所以， 当且仅当时，等号成立； 由正实数a，b，满足，可得， 所以 ， 而，当且仅当 ，即 时取等号， ， 当且仅当时，即时取等号 故答案为：； 32．（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【答案】48 【分析】利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 考点09 柯西不等式的应用求最值 33．（25-26高一上·全国·专题训练）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 34．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 35．（25-26高一上·全国·专题训练）若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 【答案】B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力. 36．（25-26高一上·全国·专题训练）若，求的最小值. 【答案】 【分析】利用柯西不等式计算即可. 【详解】由柯西不等式得， 得， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为3. 考点10 权方和不等式求最值 37．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 38．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 39．（25-26高一上·河北承德·期末）（多选）若正实数、满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值是 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断A选项；将与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，可判断B选项；利用二次函数的最值可判断C选项；分析得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为正实数、满足， 对于A选项，由基本不等式可得，整理可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项，因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即的最小值为，D对. 故选：ACD. 40．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 考点11 利用基本不等式求参数值或范围 41．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 42．（25-26高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 43．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 44．（2026高一·全国·专题练习）设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【详解】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需. 故选：B 考点12 利用基本不等式解决实际问题 45．（25-26高一上·河南洛阳·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】(1)9平方米. (2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【分析】（1）由，结合一元二次不等式求解即可； （2）由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 46．（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【分析】（1）根据各个面的面积直接写出总造价； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为. （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 47．（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【答案】(1)40 (2)长：米，宽：米，最小成本：10456.85元 【分析】（1）根据容积得到，写出池底周长的表达式，然后根据基本不等式即可求解； （2）写出总成本的表达式，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 48．（25-26高一上·四川·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $