微专题01 基本不等式求最值（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，系统构建从单变量到多变量、从代数到应用的方法体系，通过题型分类与方法提炼培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元和式最值型|6例+10练|“一正二定三相等”直接应用|从单变量和式/积式/分式基础应用，到双变量配凑与条件约束（放缩/代换/消元），再到恒成立与实际应用，形成完整逻辑链| |一元积式最值型|6例+7练|和定积最大| |一元分式最值型|9例+10练|分离常数/换元转化| |二元配凑型|8例+6练|配凑和积定值| |等式放缩型|8例+9练|等式放缩求范围| |常数代换型|6例+9练|“1”的代换整体乘| |等式消元型|8例+7练|消元转化单变量| |恒成立问题|10例+11练|恒成立求参数范围| |实际应用|10例+11练|建模-求最值-回归实际|

专题01 基本不等式求最值 题型一 一元和式最值型 1 题型二 一元积式最值型 5 题型三 一元分式最值型 9 题型四 二元配凑型 14 题型五 等式放缩型 18 题型六 常数代换型（“1” 的代换） 23 题型七 等式消元型 28 题型八 基本不等式的恒成立问题 32 题型九 基本不等式求最值的实际应用 40 题型一 一元和式最值型 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【经典例题】 1．已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【来源】河北张家口市部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末巩固训练数学试题 【详解】由题意得，，等号成立时，故的最小值为 2．若，则的最小值为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】福建福州市山海联盟教学协作体2025-2026学年高二下学期期末适应性练习数学试卷 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 3．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【来源】福建省福州第一中学2025-2026学年第二学期第四学段模块考试（期末）数学试卷 【详解】因为，所以，则，s时，等号成立，故函数的最小值为5. 4．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【详解】，，，，由基本不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立，故选A. 5．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【来源】江西南昌市南昌县莲塘第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷 【详解】，当且仅当，即时取等. 6．函数（）的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 【答案】B 【详解】由题得，因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立，则函数（）的最小值为12． 【巩固练习】 1．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【来源】宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号，所以最小值为. 2．当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【来源】河北唐山市丰润区2025-2026学年度高一第一学期期中考试数学试题 【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 3．已知实数，则的最小值是__________. 【答案】 【来源】四川南充市顺庆区2026届高三第二学期四月阶段性检测数学试题 【详解】，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为 4．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【详解】，，，当且仅当时，即时等号成立，因此函数最小值为. 5．当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【来源】山东泰安市2026届高三二轮检测数学试题 【详解】由题意得， 则， 当且仅当即时等号成立. 6．已知函数，则函数的最小值为________此时______. 【答案】 【来源】辽宁辽南协作体2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】因为，所以，又因为 ， 当且仅当，即或(舍去)时等号成立. 所以函数的最小值为，此时. 7．的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【来源】2026年高考天津卷数学高考真题（网络 收集版） 【详解】因为，当且仅当，即，时，等号成立,所以的最小值为9. 8．函数的最小值为______． 【答案】9 【来源】陕西省镇安中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值为． 9．（2023·山西忻州·模拟预测）已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为.故选：D 10．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由，得，又， 当且仅当，即时等号成立.故选：A. 题型二 一元积式最值型 正数条件下求积的最大值，利用，需要和为定值，牢记一正二定三相等。 【经典例题】 1．函数的最大值是______   【答案】5 【来源】广东省茂名市化州市2025-2026学年高一上学期11月期中学科素养测评数学试卷 【详解】易知，可得；所以，当且仅当，即时等号成立，故函数的最大值是5，故答案为：5 2．函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题 【详解】，由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立，所以函数的最大值为.故选：B. 3．已知，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由于，故，， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为，故答案为： 4．若，则的最大值为________． 【答案】 【来源】天津市和平区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 5．若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省马鞍山市第二十二中学2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题 【详解】，当且仅当等号成立.故选：A. 6．已知实数，求的最大值________. 【答案】 【来源】云南省楚雄龙江中学2025-2026学年高一上学期十月月考数学试卷 【详解】当时，，当时，,，当且仅当时，取等号，故最大值为，故答案为： 【巩固练习】 1．若，则的最大值是__________. 【答案】3 【来源】内蒙古呼和浩特市第四十中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是3.故答案为：3. 2．已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【来源】陕西省咸阳市永寿县中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 【详解】因为，则，可得，即，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.故选：C 3．的最大值为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【来源】山东省济南市2025-2026学年高一上学期10月学情检测数学试题 【详解】由，则，当且仅当时取等号，即的最大值为.故选：B. 4．求函数的最大值. 【答案】 【详解】因为，，所以,当且仅当，即时，.故函数的最大值为.故答案为： 5．当时，的最大值为______． 【答案】 【详解】因为，,当且仅当，即时，等号成立，故所求函数的最大值为.故答案为：． 6．(其中)的最大值是 （   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【来源】天津市第一0二中学2025-2026学年高一上学期统练（11月月考）数学试题 【详解】因为)，所以,所以 ，当且仅当，即时，等号成立，故选：B. 7．已知，则的最大值是______. 【答案】 【来源】江苏省徐州市第三十七中学2025-2026学年高一上学期期中质量监测数学试卷 【详解】由于，则，故，当且仅当，即时取到等号，故最大值为，故答案为： 题型三 一元分式最值型 分式函数，分子分母为一次、二次；手段：分离常数、换元，转化为 模型，再使用基本不等式。 【经典例题】 1．当时，函数的最小值为 ________________ ． 【答案】 【来源】北京市怀柔区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】当时，函数， 当且仅当，即x时,等号成立，所以的最小值为. 2．若，则的最小值是________. 【答案】/ 【来源】广东省江门市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题 【详解】因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故答案为： 3．函数 的最大值为________. 【答案】/ 【详解】因为，则，所以≤，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 4．若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为.故答案为：， 5．函数的最小值为___________. 【答案】9 【来源】2025届吉林省白城市第一中学高三一模数学试题 【详解】因为，则，所以，当且仅当即时等号成立，∴已知函数的最小值为9.故答案为：9. 6．，则的最小值是 ，此时a＝ ． 【答案】 2； 0 【详解】显然，，则，，当且仅当，即时，等号成立.所以，的最小值是2，此时.故答案为：2；0． 7．函数的值域是__________． 【答案】 【来源】上海市浦东复旦附中分校2022-2023学年高一上学期期中数学试题 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为.故答案为： 8．函数在上的最大值为_______． 【答案】 【来源】福建省泉州一中、南安一中2023届高三上学期期中考试数学试题 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为： 9．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数 ，又由，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，即函数的最大值是.故选：C. 【巩固练习】 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021-2022学年高三上学期第三次验收考试教学（文）试题 【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为． 故选：C． 2．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得：，当且仅当时，即时取等， 故答案为：. 3．已知，则的最大值为______________; 【答案】 【来源】上海市杨浦区交通大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题 【详解】当时，，，当且仅当即时等号成立.故答案为：. 4．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省沈阳五中2021-2022学年高一10月份第一次月考数学试题 【详解】解：因为，又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即y的最大值是.故选：D. 5．函数的最小值为_______________ 【答案】8 【来源】江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2019级新疆班）上学期期中数学试题 【详解】函数，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.故答案为：8. 6．函数的最小值为________. 【答案】3 【来源】云南玉溪第一中学（北校区）2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 【详解】，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立. 7．若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【详解】由题意得，因为，所以，则，由基本不等式可得，当且仅当时取等，此时解得，则有最小值4，故D正确. 8．函数的最小值为___． 【答案】 【详解】因为，令，则，又因为，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故答案为：. 9．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【来源】河北承德市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D. 10．函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【来源】北京市第二中学2025-2026学年高二第五学段考试数学试卷 【详解】，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 题型四 二元配凑型 两个变量，无等式约束，直接配凑和积，构造定值，前提：。 【经典例题】 1．设，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号． 2．已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【详解】因为，则，. 所以 . 当且仅当时，即等号成立.因此，的最小值为9. 3．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号，即的最小值为. 4．已知，则的最小值为______. 【答案】/ 【详解】因为，则，令，由可知，即， 所以，所以由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，所以，故答案为： 5．已知实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】3 【详解】设，因，则，且， 因，当且仅当时取等，即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 6．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号 ，所以，所以，当且仅当，即时取等号，其中第一个不等式等号成立的条件为，第二个不等式等号成立的条件为，所以当，时，取最小值，此时.故选：A 7．已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，故的最小值为； 法二：因为，，则，，由基本不等式可得， ，上述两个不等式相加可得，可得，当且仅当时，即当时，等号成立.所以的最小值为. 8．已知a，且，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】 ， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为. 【巩固练习】 1．若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为8.故选：D. 2．若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】由题意得：，，当，即时，等号成立. 3．已知，则的最小值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】因为，当，即时取等号，所以，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为． 4．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题，所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立.故答案为：. 5．（2021·天津高考）若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：. 6．（2023春·湖南·高三联考）当时，的最小值为_________. 【答案】0 【详解】，当且仅当，时，，所以的最小值为0.故答案为：0. 题型五 等式放缩型 已知变量满足等式，利用基本不等式对等式进行放缩，求解目标代数式的最值或者取值范围。 【经典例题】 1．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】福建厦门市同安实验中学2025-2026学年第一学期高一第一次月考数学试题 【详解】因、都是正数，，则由，可得. 当且仅当，即，时取等号.所以的最大值为. 2．已知正数，满足，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【来源】云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题 【详解】因为，解得，当且仅当，即时等号成立. 3．已知实数满足，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【来源】贵州遵义市第二中学2025-2026学年第一学期期末质量监测高一数学 【详解】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，则的最小值是. 4．若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省杭州市富阳区2025-2026学年高一第一学期期末学业水平测试数学试题 【详解】因为正实数a，b满足，则，又因为，即，可得，即，当且仅当，即时，等号成立，则，所以的最小值为.故选：A. 5．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，即，得，因为，所以.由代入，解得，因此当，的最小值为. 6．已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省安庆市桐城中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题 【详解】已知，得：，设（），则，不等式变为：，整理得： ，因为，所以，不等式等价于，解得，因为，所以.故选：C. 7．已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【答案】 【来源】北京十一学校2025-2026学年第四学段教与学质量诊断高二数学试题 【详解】∵ 为正实数，且，对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 8．已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【来源】黑龙江省龙江教育联盟2025-2026学年高三上学期1月期末数学试卷 【详解】由题意得，所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号， 当时，所以的最大值为2.故选：A. 【巩固练习】 1．（2022·上海嘉定·模拟预测）若、，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.故选：A. 2．（2022·四川广安·模拟预测）已知，当取最大值时，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由已知可得，则，即，所以，当且仅当时取等号，即，，此时.故选：B． 3．若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【来源】新疆乌鲁木齐市第三十一中学2025-2026学年高一上学期12月第二次月考数学试题 【详解】因为正实数满足，由基本不等式，当且仅当时等号成立，将代入得.所以时，的最大值为4.故选：B 4．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】甘肃兰州市某校2025-2026学年高三下学期诊断考试数学试卷 【详解】由题意，为正数，且，则，即，所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为.故选：A 5．已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．1 C．3 D． 【答案】A 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题 【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，又因为 ，所以 ，整理可得 ，解得 或 （舍去），所以 ，所以 ，当且仅当时等号成立．所以 的最小值为：9.故选：A 6．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【来源】河北安平中学2025-2026学年第二学期学期假期作业测试高一数学试卷 【详解】由正数满足，可得，所以，同理，将条件变形为，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 7．若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南通市海安市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题 【详解】因为正数a，b满足，所以，即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为.故选： 8．已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【来源】甘肃陇南市康县第一中学等3校2026届高三下学期一模模拟考试数学试题 【详解】因为且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：C. 9．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【来源】微点03 基本不等式求最值问题【练】2027届高三大一轮【实战高考】微点突破 【详解】（方法一）由，可得，因为，，所以，， 则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为13． 题型六 常数代换型（“1” 的代换） ，求 类的最值； 操作：整体乘以 ，展开后用基本不等式。 【经典例题】 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【来源】湖南株洲市第一中学2026届高三普通高中学业水平合格性考试练习卷数学试题 【详解】 ，当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 2．已知，均为正数且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D．9 【答案】B 【来源】贵州省毕节市黔西市2025-2026学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题 【详解】由题意得， 当且仅当，即时等号成立.故选：B. 3．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【来源】贵州省贵阳市2025-2026学年度第一学期高一年级期末考试数学科试题 【详解】因为，所以， 当且仅当即时取等号，此时联立可得，故选：C. 4．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【来源】山东师范大学附属中学2026届高三高考前适应性训练数学试题 【详解】由，得，所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得，所以的最小值是. 5．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 【答案】A 【来源】江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期末调研高二数学样题 【详解】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. 6．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【来源】江西省南昌市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】 ，当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1.故选：D. 【巩固练习】 1．若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．9 D． 【答案】C 【来源】宁夏回族自治区石嘴山市2025-2026学年高一上学期1月教学质量检测数学试题 【详解】因为正实数满足，所以， 当且仅当等号成立，将代入解得.即时等号成立，所以的最小值为9.故选：C 2．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】黑龙江省黑河市第五中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】因为，所以，由，则，所以 ，当且仅当即等号成立，所以的最小值为，故选：A. 3．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【来源】广西贺州市2025-2026学年高二下学期期末质量检测数学试题 【详解】∵ 正实数满足,∴ .∴ . ∵ ，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立.将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 4．已知正数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正数、满足，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故选：B. 5．已知，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省深圳市坪山区坪山高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由题意得：， 当，即时，等号成立，故选：D. 6．若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【来源】贵州省毕节市2025-2026学年高一第一学期高中期末质量监测数学试题 【详解】由正数，且，得，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值是.故选：B 7．若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【来源】上海市静安区风华中学2026届高三下学期5月数学冲刺试卷01 【详解】， 当且仅当，即时等号成立，所以，的最小值为. 8．已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【来源】湖北宜昌市某重点中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 9．（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】由题意知，当且仅当，且，即，时等号成立，即的最小值为.故选:A. 题型七 等式消元型 条件给出变量等式，把其中一个变量用另外一个变量表示，消元转化为单变量，再用基本不等式求解。 【经典例题】 1．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【来源】云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为：.故选：D 2．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【来源】安徽合肥市第六中学2026届高三下学期4月月考数学试题 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 3．已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【来源】微点03 基本不等式求最值问题【讲】2027届高三大一轮【实战高考】微点突破 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 4．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】由可得，显然，则有，由，可得， 则，当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为9.故选：B. 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】（方法一）由，可得，因为，，所以，， 则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为13． 6．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【来源】天津市南开区2025-2026学年第二学期期末学情调研高二年级数学学科试卷 【详解】由题可知，已知， 则，，由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 7．已知为实数，且，则的最小值为________. 【答案】/ 【详解】因为，且，所以，所以 ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 8．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【来源】1.4基本不等式及其应用【讲】2027届高三大一轮【实战高考】讲与练 【详解】 ，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为4. 【巩固练习】 1．已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【来源】贵州贵阳市清华中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题 【详解】已知，对已知等式变形得.将上式代入中化简得.得，因此，当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 2．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【详解】由，则，即，又，则， 解得 ，当且仅当取等，则的最小值为7. 3．已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【来源】黑龙江绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年高一第二学期开学测试数学试卷 【详解】由题可得，所以， 则，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值是. 故答案为：. 4．已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【来源】广东广州市三校联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题 【详解】由题可得，所以，令，即， 所以，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为13. 5．已知，，若，则的最小值为________． 【答案】 【来源】江苏常州市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷 【详解】由题意，，则，令，，则，等号成立时，即，， 故的最小值为. 6．已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【详解】，，，， ，当且仅当，即，结合得时等号成立，的最小值为4． 7．若，，且，则的最小值为________. 【答案】5 【详解】由得，所以，因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为5. 题型八 基本不等式的恒成立问题 恒成立逻辑： 对定义域内所有 x 恒成立 对定义域内所有 x 恒成立 【经典例题】 1．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【来源】广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】当时，表达式，当且仅当时取等号．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．故答案为：． 2．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【详解】令，展开可得，即，其中，因为，，由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时等号成立，所以， 当且仅当时等号成立，由不等式对于任意的恒成立，可得，所以正实数的最大值为. 3．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【来源】广东深圳市龙岗第二高级中学2025-2026学年高一上学期第一次（10月）月考数学试题 【详解】因为不等式恒成立，，，所以恒成立，设，则，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 4．若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【来源】福建省三明市永安九中2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷 【详解】当时，，，则，当且仅当，即时等号成立，即恒成立，则，故，故实数的最大值为.故选：A. 5．若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【来源】天津市河北区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题 【详解】由已知，,当且仅当时取等号，结合已知解得,符合题意，所以,因为恒成立，所以,解得,故答案为： 6．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【来源】山东省日照市第一中学2025-2026学年高一上学期第三次质量检测（1月）数学试题 【详解】因为不等式恒成立，所以，因为正实数满足，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以.所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是.故答案为：. 7．已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____. 【答案】 【来源】江苏省南京市七校联合体2025-2026学年高一上学期11月期中调研数学试题 【详解】因为，，且，由，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，则，故实数的最大值为. 故答案为：. 8．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【来源】上海中学东校2025-2026学年高一上学期期末素质评估数学试题 【详解】因为正实数x，y满足，即，则，当且仅当，即时，等号成立，若恒成立，则，所以实数的范围是.故答案为：. 9．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【来源】广东深圳市宝安区2025-2026学年高一上学期期末教学质量检测数学试题 【详解】因为，且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以，即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立，即成立，解得.  故答案为：. 10．设，若，则实数的最大值为______． 【答案】6 【来源】山东省济宁市育才中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题 【详解】因为，由，可得，令，则，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以当时，的最小值为6，所以要想当时，恒成立，只需，即的最大值为6．故答案为：6 【巩固练习】 1．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，不等式对一切都成立，则，当时，，当且仅当，即时等号成立，所以，即，则实数的取值范围为.故选：C 2．已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【来源】广东省广州市第四中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】因为，，且，所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为.因为恒成立，所以，所以实数的最大值是9.故答案为：9 3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为，，且，则，所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为： 4．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 【答案】6 【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题，分离参数可得：，令，所以，所以，当且仅当，即时等号成立， 即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6. 5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【来源】广东省衡水金卷2025-2026学年高一上学期11月月考数学试卷 【详解】因为，所以，则， 因为，当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是4．因为恒成立，所以，所以， 所以的取值范围是．故答案为：． 6．设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 【答案】27 【来源】湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】，即，且， 当且仅当时，等号成立，所以.故实数的最大值为27.故答案为：27 7．设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是______. 【答案】 【来源】四川省阆中中学校2025-2026学年高一上学期期中学习质量检测数学试题 【详解】不等式恒成立，等价于恒成立， 由，，，得， ，当且仅当，即，时，等号成立，所以，即.故答案为： 8．已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为________. 【答案】 【来源】福建省九师联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】由题意可得，恒成立，所以，又，令，则，当且仅当，即时取等号，所以，即实数a的最小值为，故答案为：. 9．设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 【答案】 【详解】因为，所以，，，则恒成立，等价于恒成立，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以要使恒成立，则需，所以的最大值为.故答案为：. 10．“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为“，”是假命题，所以“，”是真命题，由，得，令，所以，当且仅当，即时，等号成立，即当时，取最小值为，所以的最大值为． 11．若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【来源】上海市风华中学2025-2026学年高一上学期10月阶段练习数学试卷 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，，所以对恒有，只需，即. 故答案为： 题型九 基本不等式求最值的实际应用 解题步骤： ①设变量； ②根据题意写出目标函数； ③写出约束条件； ④基本不等式求最值； ⑤检验等号条件，回归实际问题作答。 【经典例题】 1．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【答案】B 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克，则，解得，，当且仅当时，取到等号，而，所以.故选：B 2．要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【来源】云南省普通高中2024-2025学年高二下学期期末学业水平合格性考试数学试卷 【详解】设水池底部长宽分别为米，则，所以水池总造价为，当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元.故选：B 3．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【来源】北京市通州区潞河中学025-2026学年高一上学期阶段检测一数学试题 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ，，令，则， ，当且仅当，即时取等号，该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元．故答案为：8000 4．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元.故选：B 5．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，，则总造价，当且仅当，即时取等号，且，所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低.故选：C. 6．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【来源】北京市清华大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学统练一 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件，，，令，则，，当且仅当，即时取等号，该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元．故选：B． 7．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【来源】上海市徐汇区位育中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 8．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【详解】（1）由则，， 所以. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 9．某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【来源】上海市控江中学2025-2026学年高一上学期期中质量调研数学试卷 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 10．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【来源】山东省单县第二中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为. （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【巩固练习】 1．用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______． 【答案】 【详解】设长方体长为m，高为m，则有，即．∵，当且仅当时，取等号∴，即，解得，∴，∴，当且仅当时，等号成立，∴车厢的最大容积是，故答案为：． 2．小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【答案】 【来源】河南省新乡市2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 【详解】设底面长方形的长和宽分别为和，则，纸的面积，当时等号成立，所以小李所用纸的面积的最小值为.故答案为： 3．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，________. 【答案】10 8 【详解】设矩形铁片的面积为，因为，所以，解得， 所以，则，当且仅当时等号成立，即取得最大值时.故答案为：， 4．某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【来源】河北省邢台市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 5．“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60 【来源】四川省嘉祥教育集团2025-2026学年高一上学期期中质量监测数学试题 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时，则全程生产成本，，当时，即等号成立，综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时．故答案为：60． 6．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 【答案】 【来源】天津市朱唐庄中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 7．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 【答案】 【来源】重庆市求精中学校2025-2026学年高一上学期第一阶段考试（月考）数学试题 【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得. 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 8．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【来源】江苏省淮安市高中协作体2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试卷 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 9．某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【来源】河南省洛阳市2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】（1），且， ，即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知，总造价为 ，当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 10．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．   (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【来源】河北省冀州中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 11．物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【来源】安徽省临泉田家炳实验中学2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 基本不等式求最值 题型一 一元和式最值型 1 题型二 一元积式最值型 3 题型三 一元分式最值型 4 题型四 二元配凑型 5 题型五 等式放缩型 6 题型六 常数代换型（“1” 的代换） 8 题型七 等式消元型 9 题型八 基本不等式的恒成立问题 10 题型九 基本不等式求最值的实际应用 12 题型一 一元和式最值型 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【经典例题】 1．已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 2．若，则的最小值为（　） A． B． C． D． 3．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 5．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 6．函数（）的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 【巩固练习】 1．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 2．当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 3．已知实数，则的最小值是__________. 4．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 5．当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 6．已知函数，则函数的最小值为________此时______. 7．的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 8．函数的最小值为______． 9．（2023·山西忻州·模拟预测）已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 10．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 题型二 一元积式最值型 正数条件下求积的最大值，利用，需要和为定值，牢记一正二定三相等。 【经典例题】 1．函数的最大值是______   2．函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．已知，则的最大值为__________. 4．若，则的最大值为________． 5．若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 6．已知实数，求的最大值________. 【巩固练习】 1．若，则的最大值是__________. 2．已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 3．的最大值为（   ） A． B． C．4 D．8 4．求函数的最大值. 5．当时，的最大值为______． 6．(其中)的最大值是 （   ） A． B． C．1 D．2 7．已知，则的最大值是______. 题型三 一元分式最值型 分式函数，分子分母为一次、二次；手段：分离常数、换元，转化为 模型，再使用基本不等式。 【经典例题】 1．当时，函数的最小值为 ________________ ． 2．若，则的最小值是________. 3．函数 的最大值为________. 4．若，则函数的最小值为______，此时______. 5．函数的最小值为___________. 6．，则的最小值是 ，此时a＝ ． 7．函数的值域是__________． 8．函数在上的最大值为_______． 9．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【巩固练习】 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．若，则的取值范围是 ． 3．已知，则的最大值为______________; 4．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．函数的最小值为_______________ 6．函数的最小值为________. 7．若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 8．函数的最小值为___． 9．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．函数(）的最大值为______． 题型四 二元配凑型 两个变量，无等式约束，直接配凑和积，构造定值，前提：。 【经典例题】 1．设，则的最小值为__________． 2．已知，则的最小值为__________． 3．已知，则的最小值为_____． 4．已知，则的最小值为______. 5．已知实数，满足，则的最小值为_____. 6．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 7．已知，，则的最小值为_________. 8．已知a，且，则的最小值为______． 【巩固练习】 1．若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．已知，则的最小值为（    ） A．8 B． C．4 D． 4．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 . 5．（2021·天津高考）若，则的最小值为____________． 6．（2023春·湖南·高三联考）当时，的最小值为_________. 题型五 等式放缩型 已知变量满足等式，利用基本不等式对等式进行放缩，求解目标代数式的最值或者取值范围。 【经典例题】 1．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知正数，满足，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 3．已知实数满足，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 4．若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 8．已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【巩固练习】 1．（2022·上海嘉定·模拟预测）若、，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．（2022·四川广安·模拟预测）已知，当取最大值时，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．1 C．3 D． 6．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 7．若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 9．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 题型六 常数代换型（“1” 的代换） ，求 类的最值； 操作：整体乘以 ，展开后用基本不等式。 【经典例题】 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 2．已知，均为正数且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D．9 3．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 4．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． ， 6．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【巩固练习】 1．若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．9 D． 2．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 4．已知正数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 7．若均为正数，且，则的最小值为___________． 8．已知，，则的最小值为__________． 9．（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 题型七 等式消元型 条件给出变量等式，把其中一个变量用另外一个变量表示，消元转化为单变量，再用基本不等式求解。 【经典例题】 1．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 4．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 6．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 7．已知为实数，且，则的最小值为________. 8．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【巩固练习】 1．已知，均为正数，若，则最小值为________. 2．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 3．已知，且，则的最大值为__________. 4．已知，，且，则的最小值为____________. 5．已知，，若，则的最小值为________． 6．已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 7．若，，且，则的最小值为________. 题型八 基本不等式的恒成立问题 恒成立逻辑： 对定义域内所有 x 恒成立 对定义域内所有 x 恒成立 【经典例题】 1．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 2．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 3．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 4．若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 5．若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________. 6．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 7．已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____. 8．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 9．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 10．设，若，则实数的最大值为______． 【巩固练习】 1．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 4．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 6．设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 7．设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是______. 由，，，得， 8．已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为________. 9．设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 10．“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．若对恒有，则的取值范围是_____ 题型九 基本不等式求最值的实际应用 解题步骤： ①设变量； ②根据题意写出目标函数； ③写出约束条件； ④基本不等式求最值； ⑤检验等号条件，回归实际问题作答。 【经典例题】 1．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 2．要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 3．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 4．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 5．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 6．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 8．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 9．某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 10．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【巩固练习】 1．用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______． 2．小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 3．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，________. 4．某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 5．“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 6．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 7．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 8．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 9．某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 10．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．   (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 11．物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $