2.3第2课时　一元二次不等式的应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次不等式应用，通过基础巩固、综合应用、实际情境三阶分层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|分式不等式解法、恒成立问题基础|直接考查定义应用，如选择1-2题、填空3题，夯实运算能力| |中档层|含参不等式、恒成立综合|结合参数讨论，如解答8题分情况推理，提升逻辑推理能力| |提升层|实际应用与创新题型|融入销售、面积、药液稀释等情境（9-14题）及类比推理（17题），发展应用意识与创新思维|

第2课时　一元二次不等式的应用 1.C　[解析] 依题意,不等式≤0等价于解得x<2或x≥3,所以原不等式的解集为{x|x<2或x≥3}.故选C. 2.B　[解析] 因为A=,2∈A,所以<0,解得a>2或a<-2,又4∉A,所以≥0或4-a=0,解得-1≤a≤4,所以2<a≤4.故选B. 3.{x|1<x≤3}　[解析] 因为≥1,所以-1=≥0,所以(x-1)(x-3)≤0且x-1≠0,解得1<x≤3,则原不等式的解集为{x|1<x≤3}. 4.{x|x<-1或x>2}　[解析] 因为不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},所以a=b>0,所以不等式>0等价于>0,即(x+1)(x-2)>0,解得x<-1或x>2,所以关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>2}. 5.A　[解析] 当m=0时,-3≤0恒成立,符合题意;当m≠0时,解得-1≤m<0.综上所述,实数m的取值范围是{m|-1≤m≤0}.故选A. 6.A　[解析] 对于任意的x>0,不等式mx≤x2-2x+4恒成立,即m≤x+-2恒成立,当x>0时,x+-2≥2-2=2,当且仅当x=2时取等号,所以m≤2,故实数m的取值范围为{m|m≤2}.故选A. 7.{a|-3<a≤1}　[解析] 当a-1=0,即a=1时,原不等式为-4<0,对一切x∈R恒成立;当a-1≠0时,解得-3<a<1.综上,a的取值范围是{a|-3<a≤1}. 8.解:(1)y≥-mx即为x2-mx+2-m≥0,此不等式对x∈R恒成立,所以Δ=(-m)2-4(2-m)≤0,解得-2-2≤m≤-2+2, 所以实数m的取值范围是{m|-2-2≤m≤-2+2}. (2)y=x2-2mx+2-m≥0对x∈{x|0≤x≤1}恒成立. 若0≤m≤1,则当x∈{x|0≤x≤1}时,ymin=m2-2m2+2-m≥0,解得-2≤m≤1,所以0≤m≤1; 若m<0,则当x∈{x|0≤x≤1}时,ymin=2-m≥0,解得m≤2,所以m<0;若m>1,则当x∈{x|0≤x≤1}时,ymin=1-2m+2-m≥0,解得m≤1,所以无解. 综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤1}. [结论] 不等式恒成立问题的一般求解方法:参变量分离法、数形结合法、最值法等.在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中,除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外,还要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. 9.C　[解析] 由题意得[30-(x-15)]x>500,即x2-45x+500<0,解得20<x<25,所以这批台灯的销售单价x的取值范围是{x|20<x<25}.故选C. 10.B　[解析] 设花卉带的宽度为x m,则≤,所以(5-x)(3-x)≤5,整理得(x-4)2≤6,解得4-≤x≤4+.由解得x<3,所以4-≤x<3,又1<4-<2,所以x的可能取值为2.故选B. 11.3　[解析] 由题意得,y=50x-2x2-5x-100=-2x2+45x-100,令-2x2+45x-100>0,解得<x<20,又x∈N*,所以从第3年开始,使用该设备开始盈利. 12.A　[解析] 对于ax2+2ax+6≥0,当a=0时,6≥0恒成立,此时不等式的解集为R,满足条件;当a≠0时,解得0<a≤6.综上,若关于x的不等式ax2+2ax+6≥0的解集为R,则实数a的取值范围是{a|0≤a≤6}.所以“0<a≤6”是“关于x的不等式ax2+2ax+6≥0的解集为R”的充分不必要条件.故选A. 13.-<a≤4　[解析] 当a=4时,不等式可化为-1≥0,其解集为⌀,满足题意;当a=-4时,不等式可化为8x-1≥0,解得x≥,不满足题意;当a≠±4时,要使不等式(a2-16)x2-(a-4)x-1≥0的解集为⌀,只需解得-<a<4.综上,实数a的取值范围是-<a≤4. 14.2　[解析] 设每次倒出V升药液,第一次稀释后,药液浓度为,第二次稀释后,药液浓度为,依题意知≤64%,即V2-20V+36≤0,解得2≤V≤18,又V<10,所以2≤V<10,所以每次至少倒出2升药液. 15.解:(1)因为不等式的解集为{x|-3<x<1}, 所以解得m=. (2)当m-1=0,即m=1时,1>0恒成立; 当m-1≠0时,解得1<m<2. 综上所述,实数m的取值范围为{m|1≤m<2}. 16.A　[解析] 令y=x2-nx-2,则其图象的对称轴方程为x=.当x=m时,(x-m)(x2-nx-2)=0.若m≤0,当x>0时,要使不等式(x-m)(x2-nx-2)≥0对任意的x>0恒成立,则y=x2-nx-2≥0对任意的x>0恒成立,当x=0时,y=-2<0不满足题意,所以m>0,且x=m是方程x2-nx-2=0的一个正根,<m.将x=m代入x2-nx-2=0,可得m2-mn-2=0,则n==m-,故m2+n2=m2+=2m2+-4≥2-4=4-4,当且仅当2m2=,即m2=时取等号,此时n=m-<0,满足<m,所以m2+n2的最小值为4-4.故选A. 17.B　[解析] 因为关于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集为{x|1<x<4或x>8},且+++d>0,即a·+b·+c·+d>0,所以1<<4或>8,解得0<x<或<x<,所以关于x的不等式+++d>0的解集为.故选B 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　一元二次不等式的应用 考点一　分式不等式的解法 1.不等式≤0的解集为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{x|x≤2或x≥3} B.{x|2<x≤3} C.{x|x<2或x≥3} D.{x|2≤x≤3} 2.设集合A=,若2∈A,且4∉A,则实数a的取值范围是 (　 ) A.-1≤a<2 B.2<a≤4 C.a<-2或a≥4 D.-2<a≤4 3.[2026·山东实验中学高一期中] 不等式≥1的解集为　　　　.  4.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为　　　　.  考点二　不等式恒成立问题 5.[2026·福建莆田高一期中] 已知不等式mx2+4mx+m-3≤0的解集为R,则实数m的取值范围是 (　 ) A.{m|-1≤m≤0} B.{m|-1≤m<0} C.{m|m≤-1或m>0} D.{m|m≤-1或m≥0} 6.[2026·广西师大附中高一期中] 若对于任意的x>0,不等式mx≤x2-2x+4恒成立,则实数m的取值范围为 (　 ) A.{m|m≤2} B.{m|m≤6} C.{m|-2≤m≤6} D.{m|m≥6} 7.若不等式(a-1)x2+2(a-1)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是　　　　　.  8.已知函数y=x2-2mx+2-m. (1)若不等式y≥-mx对x∈R恒成立,求实数m的取值范围; (2)若y≥0对x∈{x|0≤x≤1}恒成立,求实数m的取值范围. 考点三　一元二次不等式的实际应用 9.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,则每天能卖出30盏;若售价每提高1元,则日销售量将减少1盏.现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得500元以上(不含500元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是 (　 ) A.{x|15≤x<25} B.{x|20<x<28} C.{x|20<x<25} D.{x|20<x<24} 10.[教材P55练习T2改编] 某小区计划建造一个长为10 m、宽为6 m的矩形花园,其四周种植花卉,中间种植草坪(如图所示).如果花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的三分之一,那么花卉带的宽度可能为 (　 ) A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m 11.[2026·清华大学附中高一期中] 某工厂在2026年年初用100万元购进一台新的设备,并立即投入使用,使用该设备后,每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为2x2+5x(x∈N*)万元,盈利总额为y万元,从第　　　　年开始,使用该设备开始盈利.  12.[2026·承德高一期中] “0<a≤6”是“关于x的不等式ax2+2ax+6≥0的解集为R”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.关于x的不等式(a2-16)x2-(a-4)x-1≥0的解集为⌀,则实数a的取值范围为　　　　.  14.[2026·福建泉州高一期中] 为配制一种药液,进行了二次稀释.先在体积为10升的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出一部分后用水补满,再搅拌均匀,第二次倒出相同体积的药液后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%,则每次至少倒出　　　　升药液.  15.[2026·长郡中学高一月考] 已知关于x的不等式(m-1)x2+2(m-1)x+1>0,m∈R. (1)若不等式的解集为{x|-3<x<1},求实数m的值; (2)若不等式对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围. 16.已知不等式(x-m)(x2-nx-2)≥0对任意的x>0恒成立,则m2+n2的最小值为 (　 ) A.4-4 B.4 C.4 D.4+2 17.对于问题“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<4},解关于x的不等式ax2-bx+c>0”,给出一种解法:由ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<4},得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为{x|-4<x<2},即关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-4<x<2}.类比上述解法,若关于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集为{x|1<x<4或x>8},则关于x的不等式+++d>0的解集为 (　 ) A.{x|2<x<8或x>16} B. C.{x|1<x<2或x>4} D. 学科网（北京）股份有限公司 $