第2章 2.3 第2课时 一元二次不等式解法的应用-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 高中数学不等式同步练，分层设计梯度清晰，从基础求解到综合应用，巩固知识同时培养运算能力、推理意识及模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一不等式求解|对应概念理解，如第1题解集判断| |中档|含参数与综合判断|强化推理能力，如第5题多选参数分析| |提升|实际应用与逻辑证明|培养模型意识，如第11题税收应用问题|

1．不等式≥2的解集为(　　) A.　　　　　 B. C. D. 答案：B 2．已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集是(　　) A．{x|x＜－1，或x＞2} B．{x|－1＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2} 答案：A 3．某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝v＋v2.在一次交通事故中，测得一辆这种汽车的刹车距离大于40 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为(精确到1 km/h)(　　) A．76 km/h B．77 km/h C．78 km/h D．80 km/h 答案：B 4．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 5．(多选)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，其中x1＜x2，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＋2＝0 B．－3＜x1＜x2＜1 C．|x1－x2|＞4 D．x1x2＋3＜0 解析：ACD　[由题设，不等式a(x－1)(x＋3)＋2＞0，即ax2＋2ax－3a＋2＞0的解为x1＜x＜x2，∴a＜0，则∴x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝＜0，则A，D正确；原不等式可化为a(x－1)(x＋3)＞－2，令y＝a(x－1)(x＋3)，由题意可知函数图象开口向下，与x轴两交点的横坐标分别为－3和1，与直线y＝－2两交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，作出大致图象如图所示，∴由图知x1＜－3＜1＜x2，|x1－x2|＞4，故B错误，C正确． ] 6．(多选)在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a可以为(　　) A．－ B．－2 C. D. 解析：ACD　[由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤.解得－≤a≤，故选A、C、D.] 7．不等式≥0的解集为　________　. 解析：因为≥0， 所以 即 令(x＋1)2(x－5)(x＋2)3(x－1)5＝0，解得x1＝x2＝x3＝－2，x4＝x5＝－1，x6＝x7＝x8＝x9＝x10＝1，x11＝5， 采用“穿针引线法”，如图所示， 由图可得不等式的解集为{x|x≤－2或x＝－1或1＜x≤5}． 答案：{x|x≤－2或x＝－1或1＜x≤5} 8．若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0恒成立，则实数a的取值范围为　________　. 解析：(1)若a2－1＝0，则a＝±1. 当a＝1时，原不等式为－1<0， 解集为R，满足题意； 当a＝－1时，原不等式为2x－1<0，解集为，与题意不符． (2)若a≠±1， 则当时，不等式的解集为R，解得－<a<1. 综上，实数a的取值范围是. 答案： 9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其一边长x(单位：m)的取值范围是　________　. 解析：设矩形的另一边长为y，由三角形相似得＝，且0＜x＜40,0＜y＜40，所以40＝x＋y.又矩形的面积xy≥300，所以x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，所以其一边长x的取值范围是{x|10≤x≤30}． 答案：{x|10≤x≤30} 10．设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围． (2)对于1≤x≤3，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解：(1)由已知条件得m＝0，或， 解得：－4＜m≤0.因此实数m的取值范围是(－4,0]． (2)当x∈[1,3]时，不等式等价于mx2－mx－1＜－m＋5，m＜，函数y＝在当1≤x≤3时，y随着x的增大而减小，则当x＝3时，函数取到最小值ymin＝，由已知条件m＜，因此实数m的取值范围是. 11．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)． 依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0， ∴－42≤x≤2. 又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2. ∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}． 12．(多选)已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　　) A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅ B．当1＜a＜b时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|d≤x≤f}的形式 C．当a＜b＝1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{2} D．如果不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b－a＝4 解析：ACD　[由x2－3x＋4≤b，得3x2－12x＋16－4b≤0，当b＜1时，Δ＝48(b－1)＜0， 从而不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示． 由图知，当1＜a＜b时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故B错误； 当a＜b＝1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{2}，C正确；由不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，可得a≤ymin，即a≤1，且x＝a，x＝b时函数值均是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4，当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意； 当b＝4时，由a2－3a＋4＝b＝4，解得a＝0或a＝4，只有a＝0满足a≤1，所以a＝0，此时b－a＝4－0＝4，故D正确．] 13．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.命题q：实数x满足≥0. (1)若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，得a＜x＜3a. 当p为真命题时，a＜x＜3a. 由≥0，得即2＜x≤3.当q为真命题时，2＜x≤3.a＝1时，p：1＜x＜3. 由p，q均为真命题，得解得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为{x|2＜x＜3}． (2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}．由题意知q是p的充分不必要条件，所以BA，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围为{a|1＜a≤2}． 学科网（北京）股份有限公司 $