2.2基本不等式同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦基本不等式，通过基础辨析、条件应用到综合实践的分层设计，强化数学思维与应用意识，适配课时目标实现知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式成立条件、简单求最值|单选题（1-6）直接考查公式理解与单一应用，如判断不等式恒成立（题1）、已知和求积最值（题2），培养抽象能力| |提升层|条件辨析、多变量最值|多选题（7-8）结合"一正二定三取等"条件判断（题7），填空题（9-12）涉及配凑法（题9）、实际问题建模（题10），发展推理意识| |综合层|实际应用与证明|解答题（13-16）通过矩形面积优化（题15）、代数式最值综合求解（题16），体现数学语言表达现实问题，强化应用意识|

2.2 基本不等式 同步练习 知识点一、基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：． 知识点二、用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 注意：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 一、单选题 1．下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若，则的最小值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．10 4．已知、都是正数，若，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为（　　） A．50 B． C． D．100 6．已知，，，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值2 D．有最大值2 8．设，下列说法正确的是（　　） A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则 三、填空题 9．已知，，则的最小值为______． 10．某工厂一年需要购买某种原材料100吨，计划每次购买吨．若每次的运费为5000元，一年的储存费用为元，则每次购买______吨原材料，总费用（运费和储存费之和）最低． 11．已知，，则的最小值为__________． 12．已知正数x，y满足，则的最大值是_________． 四、解答题 13．已知，求的最小值 14．已知，，证明：． 15．完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 16．求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.2 基本不等式 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C C A D AC BCD 1．A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 2．D 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 3．C 【分析】直接根据基本不等式求解. 【详解】由于，根据基本不等式， 当且仅当，即时取得等号，故最小值是. 故选：C 4．C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 5．A 【分析】设矩形的长和宽分别为，则，然后利用基本不等式可求出面积的最大值. 【详解】设矩形的长和宽分别为，则， 于是，当且仅当时等号成立． 故选：A. 6．D 【分析】利用“1”的代换及均值不等式计算可求解． 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：D. 7．AC 【分析】利用基本不等式和重要不等式求和的最小值. 【详解】为正数，且， 则有，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值2，有最小值2. 故选：AC. 8．BCD 【分析】A选项，对变形后用基本不等式判断等号能否取到；B选项，化简两个括号内的表达式，再整理乘积，判断结果和0的大小关系；C选项，通分整理原式判断符号即可；D选项，用基本不等式建立关于的不等式，再求解范围. 【详解】选项A：当时，，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故A错误. 选项B：，不等式恒成立，故B正确. 选项C：对任意，变形得：， 故不等式恒成立，故C正确. 选项D：，由基本不等式，代入得： （当且仅当时取等号），令，得， 解得（负根舍去），因此，故D正确. 9． 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 10．10 【分析】由题意可得出函数解析式，利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得总费用， 因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以每次购买10吨原材料，总费用最低． 故答案为：10 11． 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 12．2 【详解】因为正数x，y满足，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号. 13．6 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 14．证明见解析 【分析】根据完全平方公式，结合平方的性质即可变形求解. 【详解】证明：由得，则，即， 所以，则． 15．(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 16．(1)5 (2)18 (3)4 (4)1 【分析】（1）变形后利用基本不等式求出最小值； （2）化简得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值； （3）利用两次基本不等式求出最值； （4）利用基本不等式得求出最值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18； （3）， ，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4． （4）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $