2.2 练习2 基本不等式的应用 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 练习聚焦基本不等式应用，分层设计从基础概念辨析到综合问题解决，融入生活情境与数学史素材，适配新授课知识巩固与思维提升，体现用数学眼光观察、思维分析现实问题的核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念应用|如平均速度比较（题1）、面积最小值（题4），夯实公式直接应用能力| |提升层|综合问题解决|如进货量优化（题3）、运费方案比较（题7），培养实际问题建模与推理能力| |拓展层|跨情境拓展|如“勾股容方”历史问题（题16）、消毒液浓度最值（题12），发展创新意识与应用意识|

2.2 练习2　基本不等式的应用 1. 已知汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值(　 　) A. 大 B. 小 C. 相等 D. 不能确定 2. (2026春·莲湖区校级期末) 已知正实数满足，则的最小值是(　 　) A. 2 B.  C.  D. 6 3. 文具店的某种商品的年进货量为1 000件，分若干次进货，每次的进货量相同，且所需运费为10元，运来的货物需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元.为使一年的运费和租金最省，每次的进货量应为(　 　) A. 20件 B. 500件 C. 100件 D. 250件 4. 如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是(　 　) A. B. C. 1 D. 2 5.  (2025高一上·西湖月考) 某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为(　 　) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 6. (2024·金华一中高一期中)某食品加工厂生产某种食品，第一个月的产量为100 kg，第二个月产量的增长率为a，第三个月产量的增长率为b，若这两个月产量的平均增长率为x，其中a，b，x均大于零，则 (　 　) A. x＝ B. x≤ C. x＞ D. x≥ 7. 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降.现刘先生有两种加油方案：第一种方案，每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.下列说法中，正确的是(　 　) A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样 D. 无法确定哪种方案更划算 8. (多选)已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出，每辆车的运营总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断中，正确的有(　 　) A. 车辆运营年数越多，利润越高 B. 车辆在第6年时，总利润最高 C. 车辆在前5年的平均利润最高 D. 车辆每年都能盈利 9. (多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S， l)的有(　 　) A. (1， 4) B. (6， 8) C. (7， 12) D. 10. 若x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则使x＋y－m≥0恒成立的实数m的最大值是　 　.  11. 从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值是 　.  12. 为给教室消毒，工作人员向教室内喷洒某消毒液，已知该消毒液的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：min)的变化关系为C＝，则经过　 　min后教室内消毒液的浓度达到最大.  13. (1)设a＞0，b＞0，且a＋b＝，证明：a＋b≥2； (2)已知a，b，c为不全相等的正实数，证明：a＋b＋c＞. 14. 某公司设计了如下的绿化景观地带，这块绿化景观地带内圈周长为400 m，两条平行线段的两端用半圆弧相连接，两条平行线段的长为100 m，这样设计有什么好处?你能说出这样设计的理由吗? 15. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，又取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金是(　 　) A. 大于10 g B. 大于或等于10 g C. 小于10 g D. 小于或等于10 g 16. (2024·无锡一中高一检测)“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图1)的两直角边长分别为a和b，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长.”公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用“出入相补”原理给出了上述问题如图2和图3所示的解答，则图1中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为  　，当内接正方形的面积为1时，图3中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值是　 　.  图1　　　　 图2 图3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 练习2　基本不等式的应用 1. 已知汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值(　B　) A. 大 B. 小 C. 相等 D. 不能确定 【解析】令路程长度为s，则上坡时间为t1＝，下坡时间为t2＝，平均速度为. 2. (2026春·莲湖区校级期末) 已知正实数满足，则的最小值是(　 B 　) A. 2 B.  C.  D. 6 【解析】因为正实数满足，所以，所以， 所以，当且仅当，即时取“”，所以的最小值是. 3. 文具店的某种商品的年进货量为1 000件，分若干次进货，每次的进货量相同，且所需运费为10元，运来的货物需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元.为使一年的运费和租金最省，每次的进货量应为(　C　) A. 20件 B. 500件 C. 100件 D. 250件 【解析】设每次进货量为x件，一年的运费和租金总费用为y元.由题意，得 y＝10·＋2·＋x≥2＝200，当且仅当x＝100时取等号，故为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为100件. 4. 如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是(　D　) A. B. C. 1 D. 2 【解析】设一个正方形的边长为x，面积之和为y，则另一个正方形的边长为 2－x，0＜x＜2，则y＝x2＋(2－x)2≥＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立，故两个正方形面积之和的最小值为2. 5.  (2025高一上·西湖月考) 某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为(　 C　) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【解析】设无盖贮水池的底面长为，宽为， 由题意可得：，即， 设池底面积为，则，解得， 池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元， 池壁四个侧面面积为， 池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元， 综上所述，水池的总造价为元， 令，又因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取得最小值.. 6. (2024·金华一中高一期中)某食品加工厂生产某种食品，第一个月的产量为100 kg，第二个月产量的增长率为a，第三个月产量的增长率为b，若这两个月产量的平均增长率为x，其中a，b，x均大于零，则 (　B　) A. x＝ B. x≤ C. x＞ D. x≥ 【解析】根据题意得100(1＋a)(1＋b)＝100(1＋x)2，则1＋x＝，又≤＝1＋，当且仅当a＝b时取等号，∴x≤. 7. 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降.现刘先生有两种加油方案：第一种方案，每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.下列说法中，正确的是(　B　) A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样 D. 无法确定哪种方案更划算 【解析】假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为≥；第二种方案的均价为≤，∴无论油价如何变化，第二种方案都更划算. 8. (多选)已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出，每辆车的运营总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断中，正确的有(　BC　) A. 车辆运营年数越多，利润越高 B. 车辆在第6年时，总利润最高 C. 车辆在前5年的平均利润最高 D. 车辆每年都能盈利 【解析】由题意可知，y＝－x2＋12x－25是开口向下的二次函数，A错误；对称轴为直线x＝6，B正确；＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，C正确；当x＝1时，y＝－14，D错误. 9. (多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S， l)的有(　AC　) A. (1， 4) B. (6， 8) C. (7， 12) D. 【解析】不妨设矩形的长、宽分别为a，b，则＝a＋b≥2＝2，∴≥S.对于A，显然1≤＝1成立，符合题意；对于C，显然7≤＝9成立，符合题意，A，C正确；对于B，显然6≤＝4不成立；对于D，显然3≤不成立，B，D错误. 10. 若x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则使x＋y－m≥0恒成立的实数m的最大值是　9　.  【解析】由4x＋y＝xy，可得＝1，又x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)＝5＋≥5＋2＝9(当且仅当y＝2x＝6时，等号成立)，即x＋y的最小值为9.若x＋y－m≥0恒成立，则m≤9，故实数m的最大值是9. 11. 从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值是 　.  【解析】设两个正方形边长分别为a，b，则由∠B＝∠C＝45°，可得a＋b＝BC＝1，且≤a≤≤b≤，S＝a2＋b2≥2×，当且仅当a＝b＝时取等号. 12. 为给教室消毒，工作人员向教室内喷洒某消毒液，已知该消毒液的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：min)的变化关系为C＝，则经过　5　min后教室内消毒液的浓度达到最大.  【解析】由题意可得t＞0，C＝≤＝2，当且仅当t＝，即t＝5时取等号. 13. (1)设a＞0，b＞0，且a＋b＝，证明：a＋b≥2； (2)已知a，b，c为不全相等的正实数，证明：a＋b＋c＞. 证明：(1)由a＞0，b＞0，得a＋b＞0，∵a＋b＝，∴ab＝1，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴a＋b≥2. (2)∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≥(当且仅当a＝b时取等号)，≥(当且仅当b＝c时取等号)，≥(当且仅当a＝c时取等号)，∴≥(当且仅当a＝b＝c时取等号)，即a＋b＋c≥.∵a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c＞. 14. 某公司设计了如下的绿化景观地带，这块绿化景观地带内圈周长为400 m，两条平行线段的两端用半圆弧相连接，两条平行线段的长为100 m，这样设计有什么好处?你能说出这样设计的理由吗? 解：设矩形的长为x m，半圆的直径为d m，中间矩形的面积是S m2，则S＝dx，且2x＋πd＝400， ∴S＝dx＝·πd·2x≤×，当且仅当πd＝2x＝200，即x＝100，d＝时，等号成立.因此这样设计的一个好处是此时中间矩形的面积最大. 15. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，又取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金是(　A　) A. 大于10 g B. 大于或等于10 g C. 小于10 g D. 小于或等于10 g 【解析】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a(a＞0)，右臂长为b(b＞0)，则a≠b，再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b， ∴x＝，y＝，∴x＋y＝＝5≥5×2＝10，当且仅当，即a＝b时，等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y＞10，因此，顾客购得的黄金大于10 g. 16. (2024·无锡一中高一检测)“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图1)的两直角边长分别为a和b，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长.”公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用“出入相补”原理给出了上述问题如图2和图3所示的解答，则图1中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为 　，当内接正方形的面积为1时，图3中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值是　2　.  图1　　　　 图2 图3 【解析】设内接正方形的边长为x，则题图2中的长方形的面积为ab，题图3中的长方形的面积为(a＋b)x，∵题图2和题图3的面积相等，则ab＝(a＋b)x，解得x＝，故内接正方形的边长为.当内接正方形的面积为1时，内接正方形的边长x＝1，则有a＋b＝ab，利用基本不等式可得，a＋b＝ab≥2，故ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab－2≥2，故面积总和的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $