2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练以“二次函数与一元二次方程、不等式”为核心，通过基础巩固、参数提升、综合应用三层设计，构建从概念理解到逻辑推理再到实际应用的知识巩固路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（考点一）|一元二次不等式求解、解集判断|以选择题（1-3）、填空题（4）为主，直接考查基本解法，巩固概念理解| |提升层（考点二）|含参数一元二次不等式|通过多选题（6）、解答题（7）训练参数分类讨论，发展逻辑推理能力| |综合层（考点三）|三个“二次”关系及应用|结合图像分析（10）、实际情境（16高斯函数），考查知识迁移与问题解决，体现数学应用价值|

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 1.D　[解析] 由(x-1)(3-x)≥0,可得(x-1)(x-3)≤0,解得1≤x≤3.故选D. 2.A　[解析] 由题意知,A={x|-1<x<2},又B={x|-1<x<3},所以A⫋B.故选A. 3.C　[解析] 对于A选项,x2-x+2>0,即+>0,所以不等式x2-x+2>0的解集为R,故A选项错误;对于B选项,-2x2+x+1>0,即2x2-x-1<0,即(2x+1)(x-1)<0,解得-<x<1,所以不等式-2x2+x+1>0的解集为,故B选项错误;对于C选项,2x-x2>5,即x2-2x+5<0,即(x-1)2+4<0,所以不等式2x-x2>5的解集为⌀,故C选项正确;对于D选项,x2+x<2,即x2+x-2<0,即(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,所以不等式x2+x<2的解集为{x|-2<x<1},故D选项错误.故选C. 4.{x|-1≤x≤3}　[解析] 令-x2+2x+3≥0,即x2-2x-3=(x-3)(x+1)≤0,解得-1≤x≤3. 5.A　[解析] 由0<a<1,得>1>a>0,解不等式(x-a)<0,得a<x<,所以不等式(x-a)<0的解集是.故选A. 6.ABD　[解析] 当a=0时,不等式为-(x+2)≤0,解得x≥-2,故A正确.当a>0时,不等式可化为(x+2)≤0,解得-2≤x≤,故C错误.当a<0时,不等式可化为(x+2)≥0.若a=-,则x∈R,故B正确.若-<a<0,则x≤或x≥-2,故D正确.故选ABD. 7.解:(1)x2-ax-(a+1)<0,即[x-(a+1)](x+1)<0. 当a+1=-1,即a=-2时,原不等式的解集为⌀; 当a+1<-1,即a<-2时,原不等式的解集为{x|a+1<x<-1}; 当a+1>-1,即a>-2时,原不等式的解集为{x|-1<x<a+1}. 综上,当a<-2时,原不等式的解集为{x|a+1<x<-1};当a=-2时,原不等式的解集为⌀;当a>-2时,原不等式的解集为{x|-1<x<a+1}. (2)由题意得Δ=a2-16. ①当Δ<0,即-4<a<4时, 方程2x2+ax+2=0无实根,所以原不等式的解集为R. ②当Δ≥0,即a≥4或a≤-4时,方程2x2+ax+2=0的两个根为x1=,x2=, 所以当a=-4时,原不等式的解集为{x|x≠1}; 当a>4或a<-4时,原不等式的解集为; 当a=4时,原不等式的解集为{x|x≠-1}. 综上所述,当a>4或a<-4时,原不等式的解集为; 当-4<a<4时,原不等式的解集为R; 当a=-4时,原不等式的解集为{x|x≠1}; 当a=4时,原不等式的解集为{x|x≠-1}. [规律方法] 二次项系数含参数的一元不等式求解采用两级分类: (1)第一级:二次项系数的正、负、零的分类讨论; (2)第二级:二次项系数不为0的前提下,借助Δ与0的大小讨论或相应一元二次方程两根的大小讨论. 解本题时分类应做到使所给参数a的集合的并集为R,交集为空集,只有这样才能达到“不重不漏”,即分类完备.另外,还要注意在讨论a<0时,解一元二次不等式ax2+bx+c<0应首先将二次项系数变为正数再求解. 8.A　[解析] 因为关于x的不等式ax2+bx-3<0的解集为{x|-1<x<3},所以a>0且-1和3为关于x的方程ax2+bx-3=0的两个根,所以解得所以a-b=1-(-2)=3.故选A. 9.BCD　[解析] ∵关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥2},∴-1和2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,故A错误;∴若ax+c>0,则ax-2a>0,又a<0,∴x-2<0,即x<2,∴ax+c>0的解集为{x|x<2},故B正确;∵a<0,∴5a+4b+2c=5a-4a-4a=-3a>0,故C正确;∵∴cx2+bx+a=-2ax2-ax+a<0,∵a<0,∴-2x2-x+1>0,∴2x2+x-1<0,解得-1<x<,∴关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为,故D正确.故选BCD. 10.{x|x≥3或x≤-1}　[解析] 根据二次函数y=x2+bx+c的图象可知,-1,2为方程x2+bx+c=0的两根,则-1+2=-b,-1×2=c,即b=-1,c=-2,则bx2-cx+3≤0,即-x2+2x+3≤0,即x2-2x-3≥0,即(x-3)(x+1)≥0,解得x≥3或x≤-1,故不等式bx2-cx+3≤0的解集为{x|x≥3或x≤-1}. 11.D　[解析] ∵关于x的不等式mx>n的解集是{x|x<2},∴m<0,且n=2m,∴(mx+n)(x-3)>0可化为m(x+2)(x-3)>0,即(x+2)(x-3)<0,解得-2<x<3,∴关于x的不等式(mx+n)(x-3)>0的解集是{x|-2<x<3}.故选D. 12.C　[解析] 由题意得,a>0,关于x的方程ax2+2bx+4=0的两个根为m,,∴m·=,m+=-,∴a=1,b=--,∵m<0,m≤,∴m≤-2,∴b=--=+≥2=2,当且仅当-=-,即m=-2时等号成立,∴b的最小值为2.故选C. 13.C　[解析] 由ax2+(1-2a2)x-2a<0,得(ax+1)(x-2a)<0.若a=0,则原不等式即为x<0,不符合题意;若a<0,则原不等式的解为x<2a或x>-,不符合题意;若a>0,则原不等式的解为-<x<2a,由题意可知,满足条件的三个正整数解为1,2,3,则3<2a≤4,解得<a≤2.故选C. 14.a<α<β<b　[解析] 如图是函数y=(x-a)(x-b)+2的图象(图中隐去了y轴).∵α,β(α<β)是(x-a)(x-b)+2=0的两根,∴α,β为y=(x-a)(x-b)+2的图象与x轴交点的横坐标.∵a,b(a<b)为(x-a)(x-b)=0的两根,∴a,b为y=(x-a)(x-b)+2的图象与y=2的图象的交点的横坐标,由图可知a<α<β<b. 15.解:(1)由条件知k>0且1,3是关于x的方程kx2-(3k2+1)x+3k=0的两个根,由根与系数的关系可得1+3=,1×3=,解得k=1或k=. 当k=1或k=时,不等式均可化为x2-4x+3<0,即(x-3)(x-1)<0,解得1<x<3,符合条件,所以k=1或k=. (2)原不等式可化为(kx-1)(x-3k)<0. 当k=0时,不等式为-x<0,解集为{x|x>0}. 当k<0时,关于x的方程(kx-1)(x-3k)=0的根为,3k,则3k-==. 若-<k<0,则y=(kx-1)(x-3k)的图象开口向下且3k>,所以原不等式的解集为; 若k=-,则y=(kx-1)(x-3k)的图象开口向下,与x轴有唯一交点且3k=,所以原不等式的解集为{x|x≠-};若k<-,则y=(kx-1)(x-3k)的图象开口向下且3k<, 所以原不等式的解集为. 综上所述,当k=0时,解集为{x|x>0};当-<k<0时,解集为;当k=-时,解集为{x|x≠-};当k<-时,解集为. 16.0<x<3(答案不唯一)　[解析] 因为[x]2-[x]-6<0,所以([x]+2)([x]-3)<0,解得-2<[x]<3,则[x]∈{-1,0,1,2},所以-1≤x<3,则使不等式[x]2-[x]-6<0成立的充分不必要条件可以是0<x<3. 17.解:(1)因为a>0,关于x的不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}, 所以关于x的不等式ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3},且关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集为R, 所以关于x的方程ax2+bx+c-3=0的两个根分别为2和3,所以得所以6b+5c=6×(-5a)+5(6a+3)=15. (2)由(1)知b=-5a,c=6a+3,则不等式ax2+bx+c≥2可化为ax2-5ax+6a+1≥0, 由(1)知关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集为R,所以ax2-5ax+6a+1≥0恒成立, 所以解得0<a≤4,不等式ax2+(b-3)x-c≤0等价于ax2-(5a+3)x-(6a+3)≤0, 所以[ax-(6a+3)](x+1)≤0,得-1≤x≤6+, 因为关于x的不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且仅有9个整数解, 所以7≤6+<8,解得<a≤3. 故a的取值范围为<a≤3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 考点一　解一元二次不等式 1.不等式(x-1)(3-x)≥0的解集是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{x|x<1或x>3} B.{x|x≤1或x≥3} C.{x|1<x<3} D.{x|1≤x≤3} 2.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<3},则 (　 ) A.A⫋B B.B⫋A C.A=B D.A∩B=⌀ 3.下列不等式的解集是空集的是 (　 ) A.x2-x+2>0 B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5 D.x2+x<2 4.[教材P55第2题变式] 使得式子有意义的x的取值范围是　　　　.  考点二　解含参数的一元二次不等式 5.若0<a<1,则不等式(x-a)<0的解集是 (　 ) A. B. C. D. 6.(多选题)关于x的不等式(ax-1)(x+2)≤0(a∈R)的解集可以是 (　 ) A.{x|x≥-2} B.R C. D. 7.(1)解关于x的不等式x2-ax-(a+1)<0; (2)解关于x的不等式2x2+ax+2>0. 考点三　三个“二次”之间的关系 8.[2026·深圳高一期中] 若关于x的不等式ax2+bx-3<0的解集为{x|-1<x<3},则a-b= (　 ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 9.(多选题)[2026·邵阳高一期中] 已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥2},则下列说法正确的是 (　 ) A.a>0 B.ax+c>0的解集为{x|x<2} C.5a+4b+2c>0 D.关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为 10.已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示,则不等式bx2-cx+3≤0的解集为　.  11.已知关于x的不等式mx>n的解集是{x|x<2},则关于x的不等式(mx+n)(x-3)>0的解集是 (　 ) A.{x|x<2或x>3} B.{x|2<x<3} C.{x|x<-2或x>3} D.{x|-2<x<3} 12.[2026·江苏南通海门中学高一月考] 已知关于x的不等式ax2+2bx+4≤0的解集为,其中m<0,则b的最小值为 (　 ) A.-2 B.1 C.2 D. 13.已知关于x的不等式ax2+(1-2a2)x-2a<0的解集中恰有3个正整数解,则a的取值范围为 (　 ) A.≤a≤2 B.a<或a>2 C.<a≤2 D.≤a<2 14.已知α,β(α<β)是关于x的方程(x-a)(x-b)+2=0(a<b)的两根,则α,β,a,b的大小关系是　　　　　　　　　　.(用“<”连接)  15.已知关于x的不等式kx2-(3k2+1)x+3k<0(k∈R). (1)若不等式的解集为{x|1<x<3},求k的值; (2)若k≤0,试求该不等式的解集. 16.函数y=[x]在数学上称为高斯函数,也叫取整函数,其中[x]表示不大于x的最大整数,如[1.9]=1,[-2.1]=-3,[2]=2,[-1]=-1.请你写出一个使不等式[x]2-[x]-6<0成立的充分不必要条件　　　　.  17.[2026·广西玉林高一联考] 已知关于x的不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}. (1)若a>0,求6b+5c的值; (2)若a>0,且关于x的不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且仅有9个整数解,求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $