2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式课时练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦二次函数与一元二次方程、不等式，开学场景适用。分层清晰，基础巩固与能力提升衔接紧密，从概念应用到综合探究，培养数学思维与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|基础解法、图像应用、简单实际问题|选择填空为主，强调概念理解与基本运算，如解不含参不等式、二次函数图像解不等式| |B级|参数讨论、新定义运算、综合应用|含多选与解答题，突出逻辑推理与问题解决，如含参不等式分类讨论、新定义运算转化|

2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 A级　基础练习 1.不等式-x2+3x+10>0的解集为(　　) A.{x|-2<x<5} B.{x|x<-2或x>5} C.{x|-5<x<2} D.{x|x<-5或x>2} 2.(2026广东江门期中)下列不等式的解集是空集的是(　　) A.x2-x+2>0 B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5 D.x2+x<2 3.(2026广东河源期中)不等式<0的解集为(　　) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1} C.{x|-1<x<2} D.{x|x<-1或x>2} 4.不等式的解集是(　　) A.{x|x<2} B.{x|x>2} C.{x|0<x<2} D.{x|x<0或x>2} 5.若t>1,则关于x的不等式(t-x)(x-)>0的解集是(　　) A.{x|<x<t} B.{x|x<或x>t} C.{x|x<t或x>} D.{x|t<x<} 6.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-3<x<2},则函数y=ax2+x-c的图象与x轴的交点为(　　) A.(3,0)和(-2,0) B.(-2,0) C.(3,0) D.-2和3 7.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　.  8.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是　　　　　台.  9.解关于x的不等式(组). (1)(2-x)(x+3)<2-x; (2)9x2-6x-1≤0; (3) (4)(x-a)(3-x)<0. B级　拔高提升 10.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　) A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} 11.“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是(　　) A.0<a<1 B.0<a< C.0≤a≤1 D.a<0或a> 12.已知a>0,b>0,则不等式-b<<a等价于(　　) A.x<-或x> B.x<-或x> C.-<x<0或0<x< D.-<x<0或0<x< 13.(多选题)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1},则下列选项正确的有(　　) A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|-1<x<} 14.已知集合A={x|2x+3<5},B={x|x2-(2a+1)x+a2+a<0},若B⫋A,则实数a的取值范围为　　　　　.  15.(2026上海海洋大学附中期中)已知关于x的不等式ax2-(a+1)x+b<0. (1)若不等式的解集是{x|1<x<5},求a+b的值; (2)若b=-且不等式的解集为R,求a的取值范围; (3)若a>0,b=1,讨论此不等式的解集. 16.不等式(x+2)3-(x2+4x)<2(x+2)+4的解集是　　　　　.  17.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R. (1)若5∈A,求实数k的取值范围. (2)求不等式的解集A. (3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由. 答案： 1.A　由-x2+3x+10>0,得x2-3x-10<0, 即(x+2)(x-5)<0,解得-2<x<5, 所以不等式的解集为{x|-2<x<5}.故选A. 2.C　对于A,Δ=(-1)2-8=-7<0,不等式解集为R,故A错误;对于B,-2x2+x+1>0,即2x2-x-1<0,Δ>0,解集显然不是空集,故B错误;对于C,2x-x2>5,即x2-2x+5<0,Δ=(-2)2-20=-16<0,不等式解集为⌀,故C正确;对于D,x2+x<2,即x2+x-2<0,Δ>0,解集显然不是空集,故D错误.故选C. 3.C　由已知x2-x-2=(x+1)(x-2)<0, 解得-1<x<2.故选C. 4.D　由,可得<0,即<0, 所以2x(2-x)<0,解得x<0或x>2.故选D. 5.A　原不等式即(x-t)(x-)<0, 又t>,解得<x<t.故选A. 6.A　由已知得a<0,且解得则函数y=ax2+x-c=-x2+x+6.令y=0,解得x=-2或x=3,故函数y=ax2+x-c的图象与x轴的交点为(-2,0)和(3,0).故选A. 7.{x|x<-2,或x>3}　根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的图象如图. 由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}. 8.150　依题意得25x≥3 000+20x-0.1x2,整理得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去). 因为0<x<240,所以150≤x<240, 即生产者不亏本时的最低产量是150台. 9.解 (1)原不等式即(2-x)(x+3)-(2-x)<0, 整理得(2-x)(x+2)<0,即(x-2)(x+2)>0, 解得x<-2或x>2,所以原不等式的解集为{x|x<-2或x>2}. (2)Δ=(-6)2-4×9×(-1)=72, 所以9x2-6x-1=0的根为x1=,x2=, 所以原不等式的解集为{x|≤x≤}. (3)x2-6x+8=(x-2)(x-4)>0,解得x<2或x>4,-2=>0,即(-x+5)(x-1)>0,解得1<x<5,所以原不等式组的解集为{x|1<x<2或4<x<5}. (4)原不等式即(x-a)(x-3)>0,所以当a>3时,原不等式的解集为{x|x<3或x>a};当a=3时,原不等式的解集为{x|x≠3};当a<3时,原不等式的解集为{x|x<a或x>3}. 10.B　根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故x的取值范围是{x|-2<x<1}. 11.C　因为不等式x2-2ax+a>0的解集为R,所以Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)<0,解得0<a<1.选择的必要不充分条件的范围,应该大于0<a<1包含的范围,显然只有C项满足.故选C. 12.B　因为-b<<a,所以>-b,即+b=>0,即(1+bx)x>0,因为b>0,所以得x<-或x>0;解<a,即-a=<0,即(1-ax)x<0,因为a>0,所以得x<0或x>. 综上,x<-或x>.故选B. 13.AC　由题意可知对于A,因为a>0,所以b>0且c<0,故A正确;对于B,4a+2b+c=4a+2a-2a=4a>0,故B错误;对于C,不等式bx+c>0⇔ax-2a=a(x-2)>0⇒x>2,故C正确;对于D,不等式cx2-bx+a<0⇔-2ax2-ax+a=-a(2x-1)(x+1)<0,因为a>0,可得(2x-1)(x+1)>0,所以x>或x<-1,故D错误.故选AC. 14.{a|a≤0}　依题意,A={x|x<1},B={x|(x-a)(x-a-1)<0}={x|a<x<a+1}, 因为B⫋A,所以a+1≤1,解得a≤0. 15.解 (1)由题可知1和5是方程ax2-(a+1)x+b=0的两个根,且a>0,所以1+5=,1×5=, 解得a=,b=1,所以a+b=. (2)若b=-,则不等式为ax2-(a+1)x-<0,当a=0时,不等式即为-x-<0,得x>-,不合题意;当a≠0时,则有解得-2-<a<-2+. (3)原不等式即(ax-1)(x-1)<0, 又a>0,所以(x-)(x-1)<0. 当0<a<1时,>1,所以1<x<;当a=1时,(x-1)2<0,无解;当a>1时,<1,所以<x<1. 综上,当0<a<1时,原不等式的解集为{x|1<x<};当a=1时,原不等式的解集为⌀;当a>1时,原不等式的解集为{x|<x<1}. 16.{x|x<-3或-2<x<0}　(x+2)3-(x2+4x)<2(x+2)+4⇒(x+2)3-(x+2)2<2(x+2)⇒(x+2)[(x+2)2-(x+2)-2]<0⇒(x+3)(x+2)x<0. 当x>0时,(x+3)(x+2)>0,不满足题意,舍去;当x<0时,由(x+3)(x+2)<0,得x<-3或-2<x<0. 故不等式的解集为{x|x<-3或-2<x<0}. 17.解 (1)由题意(5k-k2-4)(5-4)>0,解得1<k<4, 所以k的取值范围是{k|1<k<4}. (2)当k=0时,不等式化为x-4<0,A={x|x<4};当k>0时,不等式化为(x-k-)(x-4)>0.当k>0且k≠2时,因为k+>4,所以A={x|x<4,或x>k+};当k=2时,A={x|x≠4};当k<0时,不等式化为(x-k-)(x-4)<0,A={x|k+<x<4}. (3)存在k=-2满足题意.由(1)知,当k≥0时,A中整数的个数为无限个;当k<0时,A中整数的个数为有限个.因为-k>0,所以k+=-[(-k)+]≤-4,当且仅当k=-2时,等号成立,所以当k=-2时,A中整数的个数最少. 学科网（北京）股份有限公司 $