第03讲 2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步类-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“四个二次”关系为核心，构建“概念-原理-方法-应用”四层体系，通过分类讨论、变量分离等方法实现不等式求解与综合应用的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|4知识点+2即学即练|定义辨析→关系建构→步骤规范|从一元二次不等式概念出发，通过函数图像与方程根的关联，建立解集判定的直观逻辑| |题型精讲|6题型+18典例变式|不含参直接求解、含参分类讨论、分式不等式转化、实根分布数形结合|按“基础求解→参数讨论→综合应用”梯度设计，每个题型匹配对应解法| |核心方法|3方法+9典例变式|判别法、变量分离法、分类讨论思想|提炼恒成立问题的通性通法，强化数学思维的严谨性与系统性|

第03讲 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点一：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点二：四个二次的关系 1一元二次函数的零点 一般地，对于一元二次函数，我们把使的实数叫做一元二次函数的零点． 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 一元二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点三：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 【即学即练1】（25-26高二下·天津红桥·期末）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 知识点四：解分式不等式 1、分式不等式定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【即学即练2】（25-26高二下·河北衡水·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01一元二次不等式（不含参）的求解 【典例1】（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【变式1】（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26高二下·陕西渭南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 题型02一元二次不等式（含参）的求解 【典例1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高一上·广东梅州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（25-26高一上·四川成都·期中）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）一元二次不等式的解集可以是（ ） A． B． C． D． 题型03一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是___________． 【变式1】（25-26高一上·安徽滁州·期中）若不等式的解集为，则的解集为（　　） A．或 B． C． D．或 【变式2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则一元二次不等式的解集是___________． 题型04分式不等式的解法 【典例1】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·辽宁大连·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】（25-26高二下·全国·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是________． 题型05一元二次方程的实根分布问题 【典例1】已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【典例2】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【变式1】已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【变式2】关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 题型06一元二次不等式的实际问题 【典例1】（多选）（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【典例2】（25-26高一上·上海·阶段检测）某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【变式3】（24-25高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 核心方法一：一元二次不等式的恒成立与有解问题（判别法） 【典例1】（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【变式1】（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（25-26高二下·河南·期末）若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 核心方法二：一元二次不等式的恒成立与有解问题（变量分离法） 【典例1】（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若对于，恒成立，求实数的取值范围. 核心方法三： 数学思想方法（分类讨论） 【典例1】解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【典例2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期中）讨论关于的不等式的解集 【变式2】解关于的不等式：． 【变式3】（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（ ） A． B．C． D． 3．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 6．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 7．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 三、填空题 9．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 10．（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. B能力提升 1．（2026·全国·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 3．（25-26高一上·广东汕头·期末）命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. C综合素养 1．（25-26高一上·上海·期中）关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．解不等式. 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（1）若关于的不等式的解集是，求的值． （2）解关于的不等式 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点一：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点二：四个二次的关系 1一元二次函数的零点 一般地，对于一元二次函数，我们把使的实数叫做一元二次函数的零点． 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 一元二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点三：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 【即学即练1】（25-26高二下·天津红桥·期末）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接求解不等式即可. 【详解】不等式的解集为，故B正确. 知识点四：解分式不等式 1、分式不等式定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【即学即练2】（25-26高二下·河北衡水·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式，解得， 所以原不等式的解集是. 第三部分 题型精讲 题型01一元二次不等式（不含参）的求解 【典例1】（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 【典例2】（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】不等式，即，解得或. 因此不等式的解集是或. 【变式1】（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 【变式2】（25-26高二下·陕西渭南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对原不等式变形，得， 得，解得， 所以不等式的解集为 【变式3】不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】由不等式，得， 解得，所以原不等式的解集为. 题型02一元二次不等式（含参）的求解 【典例1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论即可求解 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 【典例2】（多选）（25-26高一上·广东梅州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据含参数的一元二次不等式求解方法求解即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 【变式1】（多选）（25-26高一上·四川成都·期中）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 【变式2】（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对不等式中的参数讨论分析即可． 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，，其解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，，其解集为，故B可能. 故选：ABD 【变式3】（多选）一元二次不等式的解集可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】因式分解，分，，和，由一元二次不等式的解法求解． 【详解】不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 故选：BCD 题型03一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 【典例2】（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系来求解即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以方程有两根为，且， 根据韦达定理有：， ， 所以方程， 因为，所以原不等式的解集为 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·安徽滁州·期中）若不等式的解集为，则的解集为（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系可得到之间关系，进而可化简所求不等式为不含参数的一元二次不等式，根据一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】不等式的解集为， 且方程的两根分别为和 ，，即，， ，又， ，解得：或， 的解集为或. 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 【变式3】（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则一元二次不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】由的解集，确定的值代入所求不等式求解即得. 【详解】因为的解集为 则方程的两根为和， 则有，即， 则等价于， 得，得 解得， 故不等式的解集为. 故答案为： 题型04分式不等式的解法 【典例1】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得， 等价于且，解得， 综上得原不等式的解集为，故B正确. 【典例2】（25-26高一上·辽宁大连·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式组，结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】分式不等式等价于：，即. 解得或. 故不等式的解集为或. 【变式1】（25-26高二下·全国·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果. 【详解】不等式，可化为，整理得， 即，解得， 所以解集为. 【变式2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式化简为，即，且. 解得或. 即不等式的解集. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是________． 【答案】或 【详解】由得，即，即， 解得或，故不等式的解集是或. 题型05一元二次方程的实根分布问题 【典例1】已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 【典例2】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 【变式1】已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 【变式2】关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 题型06一元二次不等式的实际问题 【典例1】（多选）（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【答案】BC 【分析】设甲的速度为,解不等式得到甲的速度范围；设乙的速度为，解不等式得到乙的速度范围，即得解. 【详解】设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 【典例2】（25-26高一上·上海·阶段检测）某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 【答案】 【分析】根据“附加税=年销售额×税率”的等量关系建立关于的不等式，结合实际意义求解一元二次不等式即可得到结果。 【详解】由题意： ，且年销售量为正，即，解得， 此时附加税， 由题意，解得：，满足， 即的取值范围是. 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 【答案】 【详解】设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【答案】 【分析】先设出售价，再根据条件列不等式求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ， 又因为，所以， 故销售价格的范围为 ； 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 核心方法一：一元二次不等式的恒成立与有解问题（判别法） 【典例1】（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 【变式1】（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 【变式2】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为“，”是真命题， 所以. 所以实数的取值范围是. 【变式3】（多选）（25-26高二下·河南·期末）若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】AB 【详解】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 核心方法二：一元二次不等式的恒成立与有解问题（变量分离法） 【典例1】（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 【典例2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 【变式2】若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】含参恒成立问题，通过，，可直接分离参数，转化为在上恒成立问题，即，计算即可. 【详解】要使 在上恒成立， 即 ，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 核心方法三： 数学思想方法（分类讨论） 【典例1】解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【典例2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期中）讨论关于的不等式的解集 【答案】1.当时，不等式化为. （1）当时，不等式解集为：； （2）当时，不等式解集为：； 2.当时，不等式化为：. （1）当时，不等式解集为; （2）当时，不等式解集为; 3.当时，设不等式对应方程两根. （1）当时，，不等式解集为：或； （2）当时，，不等式解集为：； 4.当时，不等式对应方程的根为. （1）当时，不等式解集为：或； （2）当时，不等式解集为：； 5.当时，不等式对应方程无解. （1）当时，不等式解集为：R； （2）当时，不等式解集为：. 【解析】略 【变式2】解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 【变式3】（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解：， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出各选项对应的一元二次不等式即可求解． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 2．不等式的解集为（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 3．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 4．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，所以不等式的解集为 5．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 6．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，解得． 7．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 二、多选题 8．（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有. A：由上可知本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法正确； C： ，因此本选项说法不正确； D：因为，所以本选项说法正确， 故选：ABD 三、填空题 9．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 10．（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 【答案】或. 【详解】由可得， 故或， 故不等式的解集为或. B能力提升 1．（2026·全国·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，可得， 即，解得或， 当时，可得， 即，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 2．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 3．（25-26高一上·广东汕头·期末）命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据命题为假命题求出的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案. 【详解】∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， ∴，∴. 即命题“，使”是假命题等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求. ∴选项B正确. 4．（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围. 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. C综合素养 1．（25-26高一上·上海·期中）关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，得，解得或， 又，所以不成立， 故原不等式组等价于， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组有两个整数解，所以整数解为， 所以，解得. 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，即可求解． 【详解】由得，， 因为，所以， 得， 由不等式（）解集中恰有2个整数， 得，得， 故实数取值范围是． 3．解不等式. 【答案】答案见详解 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式可化为，即，解集为； 当时，原不等式可化为，解集为； 当时，原不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为， 当时，解集为． 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（1）若关于的不等式的解集是，求的值． （2）解关于的不等式 【答案】（1），；（2）答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）由方程的根的大小关系分类讨论参数a的取值即可求不等式解集． 【详解】（1）因为不等式的解集是， 所以是方程的两个实数根，且， 将代入方程中得， 则原不等式为为，即， 所以不等式的解集为， 从而得出，所以，． （2）方程的根为，， 当即时，不等式为，解集为； 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式解集为； 综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为． 学科网（北京）股份有限公司 $