专题04 恒成立·能成立·解不等式·六大核心问题（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式核心问题，通过六大题型系统覆盖恒成立、能成立及函数性质应用，以题载法强化逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数不等式恒成立问题|约10题|含参数范围、存在性探索|结合函数单调性与最值，构建不等式求解逻辑| |函数不等式能成立问题|约10题|存在性参数与变量范围|通过函数值域关系转化存在性条件| |解分段函数不等式|约10题|分段定义域讨论|依据分段函数定义分类求解，强化分类讨论思维| |利用奇偶性解不等式|约10题|奇偶性与单调性综合|运用奇偶性转化不等式，结合单调性求解| |由幂函数解不等式|约10题|幂函数定义与性质应用|基于幂函数单调性、奇偶性构建不等关系| |由幂函数单调性比较大小|约10题|幂值大小比较|通过幂函数单调性分析不同底数幂值关系|

专题04 恒成立·能成立·解不等式·六大核心问题 题型一 函数不等式恒成立问题 题型二 函数不等式能成立问题 题型三 解分段函数不等式 题型四 利用奇偶性解不等式 题型五 由幂函数解不等式 题型六 由幂函数单调性比较大小 题型一 函数不等式恒成立问题 1．已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知求得函数解析式，然后结合对勾函数的性质求得的取值范围（最大值和最小值），再结合不等式有解得参数范围. 【详解】由题意，得解得，，所以． 当时，，因为函数在上单调递减，在上单调递增 （破瓶颈：我们称形如的函数为对勾函数， 该函数的定义域为，在，上单调递减， 在，上单调递增）， 当时，；当或时，， 所以，则． 不等式，即，则在上有解， 所以且，即， 则实数m的取值范围为． 故选：A. 2．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，求出，然后将不等式进行参变量分离，将恒成立问题，转化为最值问题，通过换元，转化为求二次函数的最值，从而得解. 【详解】因为，，则，所以，， 又不等式恒成立，且，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， 当时，， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 3．已知函数． (1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减； (2)若对，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 设，则， 因为，故即， 故，故，故在区间上单调递减. (2) 【分析】（1）根据单调性的定义可证明在区间上单调递减； （2）根据（1）中函数的单调性可求函数的最值，从而可求实数的取值范围． 【详解】（1）略 （2）下证：在区间上单调递增. 设，则， 因为，故即， 故，故，故在区间上单调递增. 由（1）可得在区间上单调递减. 故在区间上，，因， 故，故. 故实数的取值范围为. 4．已知函数，对于任意的恒成立，则实数m的最小值是______. 【答案】3 【分析】用换元法求出的最大值,得的范围后可得最小值. 【详解】， 令，由得，， ，在上递增，在上递减， 时，，或时，，所以的最大值是3，从而的最大值是3， 所以，即的最小值是3. 故答案为：3. 5．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】0 【分析】令，则原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】因为，，则， 所以，， 又不等式恒成立，且，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， 当时，， 故实数的取值范围是. 6．若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】真命题转化为不等式恒成立求参数的取值范围求解即可. 【详解】若“，使成立”的否定是： “，使”为真命题， 即；令， 由，得，所以， 所以， 故选：C. 7．已知函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】原问题转化为，然后利用对勾函数和一次函数的单调性求出最值即可得解． 【详解】对任意的，总存在，使得，即， 因对勾函数在上递减，在上递增， 故当时，， 函数在上递减，所以， 由得，即． 故答案为：． 8．已知函数满足，当时，，且.则___________；当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【分析】令x＝y＝0，可得f（0），再令x＝−1，y＝1，可得f（−1）；由单调性的定义，结合条件可判断f（x）的单调性，由等式f（x＋y）＝f（x）＋f（y）−1和f（x）的单调性，可得在x∈[1，2]上恒成立，讨论a＝0，a＞0，a＜0，结合二次函数的性质，可得所求范围． 【详解】解：令x＝y＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0）−1，得f（0）＝1， 令x＝−1，y＝1，得f（0）＝f（−1）＋f（1）−1＝f（−1）＋2−1，得f（−1）＝0； 令，所以， 所以， 因为，所以，所以，即有， 即f（x）在R上为增函数， 由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）−1，可得f（x）＋f（y）＝f（x＋y）＋1， ，即，即， 又f（0）＝1，所以， 又因为f（x）在R上为增函数， 所以在x∈[1，2]上恒成立， 所以在x∈[1，2]上恒成立， 又， 故答案为：0；（−∞，1） 9．设函数，当时，恒成立，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】由已知可得，分、、三种情况讨论，结合可得出的取值范围，综合即可得解. 【详解】， 当时，，可得； 当时，，可得，； 当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 则，. 故的最大值是. 故答案为：. 10．（多选）设，若对任意的，都有恒成立，则的值可以为（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】CD 【分析】根据给定条件可得，再分析函数式与的值的正负情况即可作答. 【详解】显然，因对任意的不恒成立， 因对任意的，都有恒成立，则当时，， 当时，，必有，若，则，矛盾，若，当时，，矛盾， 因此，，当时，，当时，， 当时，若，则，此时，不符合题意， 因此，，当时，，当时，， 要恒成立，当且仅当，即，而， 从而得或，解得或， 所以或. 故选：CD 题型二 函数不等式能成立问题 11．若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围． 【答案】或 【分析】原不等式可化为.设，根据的符号讨论，结合一次函数的单调性，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为. 设， 当时，恒成立，满足题意； 当时，恒成立，不满足题意； 当时，函数单调递增， 要使不等式成立，则应有， 即有， 解得，或； 当时，函数单调递减， 要使不等式成立，则应有， 即有， 解得，. 综上所述，x的取值范围为或. 12．已知函数，，若，，使得，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据恒成立和能成立问题处理思路，只需即可，然后求在的最大值，求在的最大值，代入解不等式即可得答案. 【详解】，设，∵，∴， ∵在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，，∴在上的最大值为5， 又在上的最大值是或， 由的开口向上，对称轴为，可得， ，整理得，解得即， 或，整理得，解得， 所以 故答案为：． 13．已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的定义域求得集合，记，问题转化为求在时的最小值，从而得参数范围． 【详解】∵的定义域为，∴，，则．令，，使得成立，即大于在上的最小值．∵，∴在上的最小值为，∴实数的取值范围是． 故选：C． 14．已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______. 【答案】 【分析】依题意可得存在，使得，即在上有解，即在上有解，再根据二次函数的性质分类讨论，分别计算可得. 【详解】解：依题意显然， 因为对任意，总存在，使得， 所以存在，使得， 故在上有解，即在上有解. 设，其图象的对称轴为， 若，即，则此时，故不成立； 若，即，此时需在上，即， 故，解得. 故答案为： 15．若，使成立，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论. 【详解】由可得，， 因为，所以，根据题意，即可， 设，易知在单调递减，在单调递增， 所以， 所以， 故答案为： 16．若不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】将问题转化为，分别在和两种情况下，根据二次函数性质可求得，由此可得结果. 【详解】由得：， 若不等式在区间上有解，则； 当时，令，则； 当时，令，则； 综上所述：，实数的取值范围为. 故答案为：. 17．已知，函数，使得，则a的取值范围________. 【答案】 【解析】由已知得出函数的单调性，再得出时，a的值，从而分两种情况，分别由解得可得a的取值范围. 【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，解得（舍去）， （1）当，解得； （2）当，不符题意. 故答案为：. 18．已知存在，不等式成立，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】问题转化为即可，，由，令，，问题转化为求的最大值，根据二次函数的性质求出的最大值，从而求出的范围即可． 【详解】若存在，不等式成立， 即即可，， 由， 令，，问题转化为求的最大值， 而，的最大值是2， 故， 故， 故答案为： 19．若，使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式变形为，然后求出在时的最小值，即可得． 【详解】解：∵，∴， 其中，当且仅当，即时等号成立， ∴． 故选：B 20．函数，若，使得，则a的取值范围是______. 【答案】 【分析】首先根据题意确定在上的值域要包含在上的值域，然后结合分类讨论通过，，三方面分类讨论求解a的取值范围. 【详解】若，使得， 即在上的值域要包含在上的值域， 又在上. ①当时，单调递减，此时，解得； ②当时，，显然不满足题设； ③当时，单调递增，此时，解得. 综上：a的取值范围为. 故答案为： 题型三 解分段函数不等式 21．已知函数则函数的最小值为_____；若函数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 0 【分析】根据分段函数图像易得最小值为0；分段解不等式即可. 【详解】作出的图象如图所示：    所以当时，函数取得最小值0． 当时，即，解得，又，所以； 当时，即， 即，解得，又，所以． 综上，的取值范围是. 故答案为：. 22．已知函数，则不等式的解集是__________． 【答案】/ 【分析】画出函数的图象，可得函数单调性，把不等式转化为关于的一元二次不等式求解． 【详解】解：作出函数的图象如图，    由图可知，函数在上为增函数， 则由式，得式，即， 解得． ∴不等式的解集是． 故答案为：． 23．设函数则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】把不等式化为这种形式，再利用函数单调性求解. 【详解】由函数解析式知在上单调递增， 且， 则， 由单调性知，解得. 故答案为： 24．已知，函数.①若，则之值为___________；②若不等式对任意都成立，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】①根据题意，分类讨论当和时，代入分段函数，分别解方程即可； ②将不等式对任意都成立，转化为恒成立且恒成立，其中对于恒成立，利用一次函数的单调性求解，对于恒成立，利用参变分离转化求最值求解，取交集后即可得出答案. 【详解】解：由题可知，， ①当时，则，， 解得：； 当时，则，， 解得：； 综上得：. ②由题可知，， 由不等式对任意都成立， 所以有恒成立且恒成立， 对于恒成立时，即恒成立， 则，解得：； 对于恒成立时，即恒成立， 当时，明显成立， 当时，恒成立，又，解得：； 综上得：. 所以的取值范围是： 故答案为：①；②. 25．已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 26．若关于的不等式无解，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】解析：因为，函数如图： 的最小值为－3，所以当且仅当时，不等式无解. 27．已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 28．已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 29．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得. 综上，不等式的解集为. 30．已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 题型四 利用奇偶性解不等式 31．设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 32．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 33．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 34．已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 35．已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义求出参数的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数， 则，解得， 因为，当时，有, 所以函数在区间上单调递减，则由，得, 解得，即，所以不等式的解集是 36．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 37．已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得. 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 38．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，，当或时，， 所以不等式的解集为. 39．已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用奇函数定义域含时及求出参数，再将函数变形判断单调性，最后结合奇偶性与单调性脱去函数符号，转化为一元二次不等式求解． 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以，所以，所以． 因此，，， 即，所以． 因为，所以． 又是减函数， 所以，解得． 40．已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知， 当 时， 因为在上单调递减，且， 所以的解集为； 当 时， 因为是定义在上的奇函数，所以， 又在上单调递减， 所以的解集为； 所以的解集是，的解集是． 因为不等式等价于不等式组或， 所以不等式的解集是． 题型五 由幂函数解不等式 41．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 42．已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 43．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 44．已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项 A，因为函数在上是单调递增函数， 又 ，所以，A正确. 选项 B，令，， 则 ，，此时，B 错误. 选项 C，由 可得 ， 函数 在上单调递增，所以，C 错误. 选项 D，同样取，， 则 ， ，此时，D 错误. 45．设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 46．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 47．已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求得，再根据其单调性和奇偶性求解. 【详解】设幂函数， 因为的图象过点， 所以，解得， 所以且在上是增函数，奇函数， 又， 所以， 所以，解得， 故选：B 48．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 49．已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质列方程求解即可； （2）利用幂函数的单调性，结合函数定义域列不等式求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或， 又在第一象限上是增函数，故， 所以，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又的定义域为， 所以解得， 所以的取值范围是. 50．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 题型六 由幂函数单调性比较大小 51．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 52．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 53．（多选）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．对任意， 【答案】ABD 【分析】根据题设先求得，，进而结合幂函数的性质求解判断各选项即可. 【详解】设，则，解得，则，， 对于A，，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，则，故B正确； 对于C，由，则为奇函数，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 故选：ABD 54．（多选）已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用幂函数的单调性可判断AC选项，利用作差法可判断B选项，利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，因为函数在上为减函数，故，A对； 对于B选项，，故，B错； 对于C选项，因为幂函数在上为增函数，故，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，D对. 故选：ACD. 55．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助是增函数，直接得解. 【详解】因为是增函数， 因为，所以， 即. 故选：C 56．已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 57．已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 【答案】C 【分析】先求得，然后根据奇偶性定义判断A；根据单调性判断B，作差法判断C，求出函数值域判断D. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以， 因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 因为在上单调递增， 所以当时， ，故B错误； 设，则， 所以，故C正确； 因为任意，都有，故D错误． 故选：C 58．已知幂函数的图象不经过原点． (1)求的值； (2)若，试比较与的大小． 【答案】(1)0 (2)当时，；当时. 【分析】（1）幂函数的定义和图象的性质得到方程和不等式，即可解得结果； （2）由（1）得到函数解析，然后写出函数的单调区间.讨论，由幂函数的图象及函数单调性得到结论. 【详解】（1）∵函数为不经过原点的幂函数， ∴，∴. （2）由（1）得， ∴函数在上单调递减，在上单调递减. 当时，，此时； 当时，令，函数为开口向上的二次函数，且函数判别式， ∴，即当时，，此时. 综上，当时，；当时，. 59．已知幂函数在单调递增； (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及性质即可得结果； （2）根据单调性结合定义域即可得结果. 【详解】（1）因为函数是幂函数，所以， 即，解得或； 当时，，此时函数在单调递减， 当时，；因为函数在单调递增； 综上所； （2）当时，定义域为，且在上单调递增， 又因为，所以 解得，即实数的取值范围为. 综上所述，当时，的取值范围为， 60．（多选）已知，是函数的图象上任意两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用幂函数的单调性即可结合选项求解AB，利用作差法即可求解CD. 【详解】令，故在单调递减， 当时，此时，即，故， 当，此时，故，故B错误， 令，则为上的增函数，故，有，故A正确， 由于，，故，C错误，D正确， 故选：AD 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 恒成立·能成立·解不等式·六大核心问题 题型一 函数不等式恒成立问题 题型二 函数不等式能成立问题 题型三 解分段函数不等式 题型四 利用奇偶性解不等式 题型五 由幂函数解不等式 题型六 由幂函数单调性比较大小 题型一 函数不等式恒成立问题 1．已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 3．已知函数． (1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减； (2)若对，，都有恒成立，求实数的取值范围． 4．已知函数，对于任意的恒成立，则实数m的最小值是______. 5．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的最小值为______． 6．若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是__________． 8．已知函数满足，当时，，且.则___________；当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________. 9．设函数，当时，恒成立，则的最大值是_____． 10．（多选）设，若对任意的，都有恒成立，则的值可以为（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 题型二 函数不等式能成立问题 11．若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围． 12．已知函数，，若，，使得，则的取值范围是______． 13．已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______. 15．若，使成立，则实数的取值范围是______________． 16．若不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_________． 17．已知，函数，使得，则a的取值范围________. 18．已知存在，不等式成立，则实数a的取值范围是__________. 19．若，使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．函数，若，使得，则a的取值范围是______. 题型三 解分段函数不等式 21．已知函数则函数的最小值为_____；若函数满足，则的取值范围是_____． 22．已知函数，则不等式的解集是__________． 23．设函数则不等式的解集为________. 24．已知，函数.①若，则之值为___________；②若不等式对任意都成立，则的取值范围是___________ 25．已知，，则不等式的解是___________. 26．若关于的不等式无解，则的取值范围是________. 27．已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 29．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 30．已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 题型四 利用奇偶性解不等式 31．设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 32．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 33．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 34．已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 35．已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 36．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 37．已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 38．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 39．已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 40．已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型五 由幂函数解不等式 41．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 42．已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 43．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 44．已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 45．设是幂函数，若，则的取值范围是______． 46．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 47．已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 50．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 由幂函数单调性比较大小 51．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 52．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 53．（多选）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．对任意， 54．（多选）已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 55．已知，，则（    ） A． B． C． D． 56．已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 57．已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 58．已知幂函数的图象不经过原点． (1)求的值； (2)若，试比较与的大小． 59．已知幂函数在单调递增； (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 60．（多选）已知，是函数的图象上任意两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 恒成立·能成立·解不等式·六大核心问题 题型一 函数不等式恒成立问题 题型二 函数不等式能成立问题 题型三 解分段函数不等式 题型四 利用奇偶性解不等式 题型五 由幂函数解不等式 题型六 由幂函数单调性比较大小 题型一 函数不等式恒成立问题 1．A 2． 【详解】因为，，则，所以，， 又不等式恒成立，且，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， 当时，， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 3．(1)设，则， 因为，故即， 故，故，故在区间上单调递减. (2) 4．3 【详解】， 令，由得，， ，在上递增，在上递减， 时，，或时，，所以的最大值是3，从而的最大值是3， 所以，即的最小值是3. 故答案为：3. 5．0 【详解】因为，，则， 所以，， 又不等式恒成立，且，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， 当时，， 故实数的取值范围是. 6．C 7． 【详解】对任意的，总存在，使得，即， 因对勾函数在上递减，在上递增， 故当时，， 函数在上递减，所以， 由得，即． 故答案为：． 8． 【详解】解：令x＝y＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0）−1，得f（0）＝1， 令x＝−1，y＝1，得f（0）＝f（−1）＋f（1）−1＝f（−1）＋2−1，得f（−1）＝0； 令，所以， 所以， 因为，所以，所以，即有， 即f（x）在R上为增函数， 由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）−1，可得f（x）＋f（y）＝f（x＋y）＋1， ，即，即， 又f（0）＝1，所以， 又因为f（x）在R上为增函数， 所以在x∈[1，2]上恒成立， 所以在x∈[1，2]上恒成立， 又， 故答案为：0；（−∞，1） 9． 【详解】， 当时，，可得； 当时，，可得，； 当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 则，. 故的最大值是. 故答案为：. 10．CD 题型二 函数不等式能成立问题 11．或 【详解】原不等式可化为. 设， 当时，恒成立，满足题意； 当时，恒成立，不满足题意； 当时，函数单调递增， 要使不等式成立，则应有， 即有， 解得，或； 当时，函数单调递减， 要使不等式成立，则应有， 即有， 解得，. 综上所述，x的取值范围为或. 12． 【详解】，设，∵，∴， ∵在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，，∴在上的最大值为5， 又在上的最大值是或， 由的开口向上，对称轴为，可得， ，整理得，解得即， 或，整理得，解得， 所以 故答案为：． 13．C 14． 【详解】解：依题意显然， 因为对任意，总存在，使得， 所以存在，使得， 故在上有解，即在上有解. 设，其图象的对称轴为， 若，即，则此时，故不成立； 若，即，此时需在上，即， 故，解得. 故答案为： 15． 【详解】由可得，， 因为，所以，根据题意，即可， 设，易知在单调递减，在单调递增， 所以， 所以， 故答案为： 16． 【详解】由得：， 若不等式在区间上有解，则； 当时，令，则； 当时，令，则； 综上所述：，实数的取值范围为. 故答案为：. 17． 【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，解得（舍去）， （1）当，解得； （2）当，不符题意. 故答案为：. 18． 【详解】若存在，不等式成立， 即即可，， 由， 令，，问题转化为求的最大值， 而，的最大值是2， 故， 故， 故答案为： 19．B 20． 【详解】若，使得， 即在上的值域要包含在上的值域， 又在上. ①当时，单调递减，此时，解得； ②当时，，显然不满足题设； ③当时，单调递增，此时，解得. 综上：a的取值范围为. 故答案为： 题型三 解分段函数不等式 21． 0 【详解】作出的图象如图所示：    所以当时，函数取得最小值0． 当时，即，解得，又，所以； 当时，即， 即，解得，又，所以． 综上，的取值范围是. 故答案为：. 22．/ 【详解】解：作出函数的图象如图，    由图可知，函数在上为增函数， 则由式，得式，即， 解得． ∴不等式的解集是． 故答案为：． 23． 【详解】由函数解析式知在上单调递增， 且， 则， 由单调性知，解得. 故答案为： 24． 【详解】解：由题可知，， ①当时，则，， 解得：； 当时，则，， 解得：； 综上得：. ②由题可知，， 由不等式对任意都成立， 所以有恒成立且恒成立， 对于恒成立时，即恒成立， 则，解得：； 对于恒成立时，即恒成立， 当时，明显成立， 当时，恒成立，又，解得：； 综上得：. 所以的取值范围是： 故答案为：①；②. 25． 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 26． 【详解】解析：因为，函数如图： 的最小值为－3，所以当且仅当时，不等式无解. 27．A 28．B 29．D 30．(1)，， (2)， (3)或， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 题型四 利用奇偶性解不等式 31．D 32．D 33．C 34．B 35．C 36．B 37．A 38．C 39．C 40．B 题型五 由幂函数解不等式 41． 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 42．A 43．D 44．A 45． 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 46．D 47．B 48．C 49．(1)(2) 【详解】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或， 又在第一象限上是增函数，故， 所以，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又的定义域为， 所以解得， 所以的取值范围是. 50．D 题型六 由幂函数单调性比较大小 51．B 53．ABD 54．ACD 55．C 56．B 57．C 58．(1)0(2)当时，；当时. 59．(1)(2) 【详解】（1）因为函数是幂函数，所以， 即，解得或； 当时，，此时函数在单调递减， 当时，；因为函数在单调递增； 综上所； （2）当时，定义域为，且在上单调递增， 又因为，所以 解得，即实数的取值范围为. 综上所述，当时，的取值范围为， 60．AD 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $