2.2第1课时　基本不等式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学基本不等式新授课同步练，以“概念辨析—条件应用—综合拓展”为分层路径，通过梯度化设计巩固知识，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|基本不等式概念及辨析|第1-3题聚焦等号成立条件与适用范围，强化推理意识| |综合应用层|条件转化与最值求解|第4-10题含教材变式（第8题）、实际应用（第10题），提升运算能力| |拓展创新层|跨情境与高阶拓展|第11题几何无字证明（数学眼光）、第16题类比推理（创新意识），深化模型观念|

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 1.D　[解析] 由题知(1)(2)均正确;对于(3),当x=0.8时,x2+=1.89<2,所以(3)错误.故选D. 2.C　[解析] 对于A,由基本不等式可知当a>0,b>0时,≥,当且仅当a=b时取等号,故A中说法正确;对于B,因为≥,a·b≠0,所以且(-)2≥0,所以a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号,故B中说法正确;对于C,若a=-1,b=-4,则=<==2,故C中说法错误;对于D,因为>,a·b≠0,所以且a+b-2>0,所以a>0,b>0,(-)2>0,所以a>0,b>0且a≠b,故D中说法正确.故选C. 3.a,b∈R　a,b是非负实数　[解析] 不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立;≤中要求a,b都是非负实数. 4.B　[解析] 因为a>0,所以a++3≥2+3=2+3,当且仅当a=,即a=时取等号,所以a++3的最小值是2+3.故选B. 5.A　[解析] 因为0<x<1,所以1-x>0,由基本不等式得x(1-x)≤=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,故x(1-x)的最大值为.故选A. 6.A　[解析] 由a>0,b>0,a+b≤8,得ab≤≤16,当且仅当a=b=4时取等号,反之,取a=1,b=16,满足ab≤16,而a+b>8,所以“a+b≤8”是“ab≤16”的充分不必要条件.故选A. 7.C　[解析] 因为x,y均为正实数,且(x+2)(y+1)=16,所以x+2+y+1≥2=8,当且仅当x+2=y+1=4,即x=2,y=3时取等号,则x+y的最小值为5.故选C. [易错提醒] 利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件“一正二定三相等”: (1)“一正”就是各项必须为正数. (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值. (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 8.-5　[解析] 因为x<1,所以1-x>0,所以x+=-+1≤-2+1=-5,当且仅当1-x=,即x=-2时等号成立,故x+的最大值为-5. 9.3　[解析] 因为a,b都是正数,所以+=++1≥2+1=3,当且仅当=,即a=b时,等号成立,故+的最小值为3. 10.解:(1)设两个正数分别为x,y,则xy=64,因为x+y≥2=16,当且仅当x=y=8时取等号, 所以当这两个正数都为8时,它们的和取得最小值16. (2)设两个正数分别为p,q,则p+q=12,因为pq≤=36,当且仅当p=q=6时取等号, 所以这两个正数都为6时,它们的积取得最大值36. 11.D　[解析] 易知OF=,OC=,FC==,显然OF≤FC,所以≤.故选D. 12.ABC　[解析] 因为a+b=1,所以a+b=1≥2,即ab≤,当且仅当a=b=时等号成立,故A正确;=1+++=1+≥9,当且仅当a=b=时等号成立,故B正确;(+)2=1+2≤2,即+≤,当且仅当a=b=时等号成立,故C正确;+==≥4,故D错误.故选ABC. 13.12　[解析] x2+≥x2+=x2+,当且仅当x=2y时取等号,又+x2≥2=12,当且仅当x=时取等号,所以当且仅当x=2y=时取等号,故x2+的最小值为12. 14.　[解析] 由基本不等式可得6=x+3xy+2y≥3xy+2,所以3()2+2-6≤0,可得0<≤,当且仅当x=2y时取等号,即的最大值为. 15.解:(1)因为x>2,y>0,xy=y+4, 所以x=1+,所以解得0<y<4, 所以x+y=1++y≥1+2=5,当且仅当=y,即y=2,x=3时取等号,所以x+y的最小值为5. 因为(x-1)2+y2=+y2≥2=8,当且仅当=y2,即y=2,x=3时取等号, 所以(x-1)2+y2的最小值为8. (2)因为x=1+,x>2且0<y<4,所以4-y>0,所以x+=1++=1++=1+1+++1≥3+2=5, 当且仅当=,即y=2,x=3时取等号, 所以x+的最小值为5. 16.D　[解析] 因为0<x<1,所以x2(1-x)=x·x·(2-2x)≤·=,当且仅当x=2-2x,即x=时,等号成立,故A,C选项错误;因为x>0,所以2x+=x+x+≥3=3,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,故B选项错误;因为x>0,所以x2+=x2++≥3=3,当且仅当x2=,即x=1时,等号成立,故D选项正确.故选D. 17.4　[解析] 因为a>b>c,所以a-c>0,a-b>0,b-c>0,又+≥恒成立,所以n≤+恒成立,又+=+=2++≥2+2=4,当且仅当=,即2b=a+c时取等号,所以n≤4,故n的最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 考点一　基本不等式及辨析 1.已知x>0,那么以下关于式子x2+的分析判断正确的选项是 (　 ) (1)x2+≥2; (2)(1)中不等式当且仅当x2=,即x=1时,等号成立; (3)当x=1时,x2+取得最小值2.　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.以上全正确 B.(1)错 C.(2)错 D.(3)错 2.已知a,b为实数,且a·b≠0,则下列说法中错误的是 (　 ) A.若a>0,b>0,则≥ B.若≥,则a>0,b>0 C.若a≠b,则> D.若>,则a≠b 3.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是　　　　,基本不等式≤成立的条件是　　　　　.  考点二　利用基本不等式求最值 4.已知实数a>0,则a++3的最小值是 (　 ) A.3+3 B.2+3 C.6 D.5 5.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为 (　 ) A. B. C. D.1 6.[2026·湖北黄石高一期中] 若a>0,b>0,则“a+b≤8”是“ab≤16”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知x,y均为正实数,且(x+2)(y+1)=16,则x+y的最小值为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 8.[教材P48习题第1题变式] 已知x<1,则x+的最大值为　　　　.  9.已知a,b都是正数,则+的最小值为　　　　.  10.[2026·昌都一中高一月考] (1)把64写成两个正数的积,当这两个数取什么值时,它们的和最小,是多少? (2)把12写成两个正数的和,当这两个数取什么值时,它们的积最大,是多少? 11.[2026·佛山高一检测] 《几何原本》的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为 (　 ) A.≥(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.≥(a>0,b>0) D.≤(a>0,b>0) 12.(多选题)已知a,b>0,且a+b=1,那么下列不等式中一定成立的是 (　 ) A.ab≤ B.≥9 C.+≤ D.+≤4 13.已知x>y>0,则x2+的最小值为　　　　.  14.已知正数x,y满足x+3xy+2y=6,则的最大值为　　　　.  15.已知x>2,y>0,xy=y+4. (1)求x+y的最小值和(x-1)2+y2的最小值; (2)求x+的最小值. 16.已知两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数,类比此定理,有以下结论:三个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数,即当a,b,c均为正实数时,≥,当且仅当a=b=c时等号成立.利用上述结论,下列说法正确的为 (　 ) A.若0<x<1,则x2(1-x)≤ B.若x>0,则2x+≥ C.若0<x<1,则x2(1-x)≥ D.若x>0,则x2+≥3 17.已知a>b>c,n∈N*,且+≥恒成立,则n的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $