2.2 基本不等式1 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕基本不等式，通过基础概念辨析、中档综合应用到提升情境问题的三层设计，构建从单一知识点到实际应用的巩固路径，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基本概念（充分条件、大小比较）、简单运算|如选择1考查条件判断，填空10比较平方和与乘积和，夯实概念理解| |中档|公式综合应用（条件最值、多变量问题）|如选择3矩形周长最小化，解答12结合方程求最值，提升运算推理能力| |提升|实际情境建模（几何问题、多选项分析）|如选择8矩形绿地与旗杆位置关系，融合几何直观与模型意识，培养综合应用能力|

基本不等式1 1、 选择题 1．【2026·广东·质量检测】“0<a<b”是“<”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由0<a<b及基本不等式可以得出<(因为a≠b，所以取不到等号)；反之，由<可得a>0，b>0且()2<，化简得a>0，b>0且(a－b)2>0，即a>0，b>0且a≠b，因此得不到0<a<b，所以是充分不必要条件． 2.【2026·河南·专题练习】已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b取得最小值时a，b的值分别为(　D　) A．2，2 B．2，4 C．4，4 D．4，2 【答案】D 【解析】因为a＞0，b＞0，所以a＋2b≥2＝2×＝8，当且仅当即时，等号成立，此时a＋2b取得最小值8，所以a＋2b取得最小值时a，b的值分别为4，2. 3． 【2025·甘肃兰州·质量检测】某校为了庆祝建校100周年，组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线长度最小为(　　) A．30米 B．50米 C．80米 D．110米 【答案】C 【解析】设该矩形区域的长为x米，则宽为 米，则所用警戒线的长度为2≥2×2＝80，当且仅当＝x，即x＝20时，取等号，则所用警戒线的长度最小为80米． 4.【2026·广东·质量检测】下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当都为负数时，A,C选项不正确.当为正数时，B选项不正确.根据基本不等式，有，故选D. 5．【2026·河南·专题练习】如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 【答案】B 【解析】显然＞，又因为＜，(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q. 6． 【2025·甘肃兰州·质量检测】如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　) A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 【答案】A 【解析】由a＋b≥2可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤ 2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab.故选A. 7．【2026·广东·质量检测】若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4 ＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9. 当且仅当 即时等号成立，故x＋y的最小值为9. 8．(多选)【2026·广东·质量检测】如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M的正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N的正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为(　　) A．40 米 B．60 米 C．80 米 D．90 米 【答案】CD 【解析】设MB＝x，BN＝y，由题意知△EMB∽△BNF，即＝，又EM＝25，NF＝40，所以＝，化简得xy＝1 000，因此矩形绿地的周长L＝2(2x＋2y)≥2×2＝8×10＝80，当且仅当x＝y＝10时取等号．故矩形绿地的周长可能为80 米，90 米． 二、填空题 9.【2026·河南·专题练习】若，，，且的最小值是___. 【答案】9 【解析】∵，，，, 当且仅当 时“=”成立，故答案为9. 10. 【2025·甘肃兰州·质量检测】已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． 【答案】a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac　 【解析】∵a、b、c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)． 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. 11.【2026·广西南宁·质量检测】已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a的值为 ． 【答案】36 【解析】∵y＝4x＋(x＞0，a＞0)， ∴y＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立． 又∵y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，∴＝3，∴a＝36. 三、解答题 12.【2026·四川内江·质量检测】已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值； （2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值； 【解析】 （1） , 当且仅当,时取等号，故的最大值为 （2） ， 当且仅当即时取等号 13．【2026·广西南宁·质量检测】已知x>3，求＋x的最小值． 【解析】 因为x>3，所以x－3>0， 所以＋x＝＋(x－3)＋3≥2＋3＝2＋3＝7， 当且仅当＝x－3，即x＝5时，等号成立，所以＋x的最小值为7. 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式1 1、 选择题 1．【2026·广东·质量检测】“0<a<b”是“<”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.【2026·河南·专题练习】已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b取得最小值时a，b的值分别为(　D　) A．2，2 B．2，4 C．4，4 D．4，2 3． 【2025·甘肃兰州·质量检测】某校为了庆祝建校100周年，组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线长度最小为(　　) A．30米 B．50米 C．80米 D．110米 4.【2026·广东·质量检测】下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．【2026·河南·专题练习】如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 6． 【2025·甘肃兰州·质量检测】如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　) A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 7．【2026·广东·质量检测】若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 8．(多选)【2026·广东·质量检测】如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M的正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N的正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为(　　) A．40 米 B．60 米 C．80 米 D．90 米 二、填空题 9.【2026·河南·专题练习】若，，，且的最小值是___. 10. 【2025·甘肃兰州·质量检测】已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． 11．【2026·广西南宁·质量检测】已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a的值为 ． 三、解答题 12.【2026·四川内江·质量检测】已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值； （2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值； 13．【2026·广西南宁·质量检测】已知x>3，求＋x的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $