专题04平方根与立方根精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦平方根与立方根核心知识点，系统梳理算术平方根的双重非负性、平方根的性质与公式、立方根的运算规律，通过对比三者的被开方数范围、结果特征构建知识支架，明确平方与开平方、立方与开立方的互逆关系。 该资料亮点在于精准区分易混概念，总结高频丢分点，设计18类分层题型（含基础到压轴），结合实际应用与规律探索题，培养学生抽象能力、运算能力和应用意识。课中辅助教师针对性教学，课后助力学生查漏补缺，提升解题准确性。

专题04平方根与立方根精讲学案 核心立意： 精准区分算术平方根、平方根、立方根的定义与专属符号；熟练掌握三者核心性质、取值范围、专属公式；明确平方与开平方、立方与开立方的互逆运算关系；规避高频概念误区与计算陷阱，可独立完成求值、化简、概念辨析的常见考题。 算术平方根 ①定义：若正数x的平方等于a（x2=a，x>0），则正数x称为a的算术平方根，记作； ②特殊规定：0的算术平方根是0； ③双重非负性（本节必考核心）：被开方数a0、算术平方根结果0} ④取值限制：负数没有算术平方根。 平方根 ①定义：若一个数x的平方等于a（x2=a），则数x称为a的平方根，记作； ②性质规律：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根； ③运算关系：求平方根的运算叫做开平方，平方与开平方互为逆运算。 平方根核心公式（必考、区分条件） ①()2=a\ (a0)：先开方、再平方，仅适用于非负数； ②=|a|}：先平方、再开方，a可取全体实数，结果必为非负数。 立方根 ①定义：若一个数x的立方等于a（x3=a），则数x称为a的立方根，记作； ②性质规律：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；0的立方根为0；任意实数有且只有一个立方根； ③运算关系：求立方根的运算叫做开立方，立方与开立方互为逆运算。 立方根核心公式（无取值限制） ①()3=a}； ②=a；③=-（立方根的负号可以移到根号外部）。 平方根与立方根精准对比 ①被开方数范围：平方根只允许非负数；立方根可取全体实数； ②正数结果：平方根两个，互为相反数；立方根仅有一个正数； ③负数结果：不存在平方根；存在唯一负的立方根； ④零的结果：平方根、立方根结果均为0。 重点辨析（考试必考陷阱） ①单独符号只表示算术平方根，结果恒非负；才是完整平方根，做题符号不可混用； ②二次审题陷阱：需先化简再求值，例：=4，因此的平方根是2，不是4； ③正负运算区别：负数不能开平方，但可以开立方，是本章最大概念分界点； ④公式本质区分：()2与形式相似、成立条件完全不同，不能混用。 （学生高频丢分点） ①概念混淆：求平方根漏写符号，误将平方根等同于算术平方根； ②范围错误：忽略平方根被开方数非负要求，错误认为负数可以开平方； ③公式误用：计算直接写a，忘记添加绝对值保证结果非负； ④条件混乱：忽略()2=a中a0的限制条件； ⑤立方根化简出错：不会使用负号外移公式，负立方根化简出现符号错误。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 无理数整数部分的有关计算 ★★★ 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★ 题型六 算术平方根的实际应用 ★★ 题型七 平方根概念理解 ★★ 题型八 求一个数的平方根 ★★ 题型九 求代数式的平方根 ★★★ 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★ 题型十一 利用平方根解方程 ★★★ 题型十二 立方根概念理解 ★★ 题型十三 求一个数的立方根 ★★ 题型十四 已知一个数的立方根，求这个数 ★★★ 题型十五 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型十六 立方根的实际应用 ★★★ 题型十七 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★★ 题型十八 程序设计与实数运算 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：求一个数的算术平方根 解题思路：①牢记算术平方根结果一定是非负数；②找出平方等于该数的正数；③0的算术平方根是0；④若原数可化简，要先化简原数，再求算术平方根。 1．下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法中，错误的是（     ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根是 D．的立方根等于 3．下列各数中是无理数的有（    ） ，，，，，，3.1415，（小数部分由相继的非负整数组成） A．个 B．个 C．个 D．个 4．观察下表规律： 利用规律求值：若，，________． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 解题思路：①具备双重非负性：被开方数a0，结果0；②若几个非负数相加等于0，则每一个非负数都等于0；③据此列方程，求出字母参数；④把参数代入代数式，算出最终结果。 5．关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 6．若，则的值为________． 7．已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 8．已知实数a满足，那么的值为（ ） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 题型三：估计算术平方根的取值范围 解题思路：①找出被开方数左右相邻的两个完全平方数；②判断算术平方根介于哪两个整数之间；③确定取值区间，区分整数部分与小数部分。 9．估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 10．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 11．小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 题型四：无理数整数部分的有关计算 解题思路：①估算无理数介于哪两个连续整数之间；②直接得到整数部分；③用“原无理数 − 整数部分”得到小数部分；④将整数部分、小数部分代入代数式计算。 12．的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 14．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 15．已知x是的整数部分，y是的小数部分，且，则的值为（　　） A．2 B． C．0或4 D．2或 题型五：与算术平方根有关的规律探索题 解题思路：①观察被开方数小数点移动方向与位数；②对比算术平方根结果小数点的变化；③归纳总结通用变化规律；④套用规律完成计算，做完回头验证。 16．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 17．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 18．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为(    ) A． B． C． D．3 题型六：算术平方根的实际应用 解题思路：①读懂题意，合理设未知数；②根据实际等量关系列出平方等式；③开方只取算术平方根，舍去负解；④结合现实情境检验结果是否合理。 19．若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（     ）倍 A． B． C． D． 20．如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 21．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数__________． 题型七：平方根概念理解 解题思路：①正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②严格区分平方根与算术平方根；③审题看清题目问的是平方根，还是算术平方根。 22．的平方根是（     ） A． B． C． D． 23．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 24．若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型八：求一个数的平方根 解题思路：①正数求平方根结果必须带上；0的平方根是0；负数没有平方根；②原数能化简要先化简，再求平方根；③结果化成最简二次根式形式。 25．的平方根是（     ） A． B． C． D． 26．下列等式正确的是（     ） A． B． C． D． 27．若，为有理数且，则的平方根为_____． 28．已知，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D．25 题型九：求代数式的平方根 解题思路：①先化简、计算，求出代数式的值；②判断代数式计算结果的正负；③结果为非负数，再求平方根；结果为负数，直接判定无平方根。 29．若，则__________． 30．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 31．若，求的平方根是___________． 32．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 题型十：已知一个数的平方根，求这个数 解题思路：①正数的两个平方根互为相反数；②若给出两个平方根，则两式相加等于0，列方程求参数；若只给出一个平方根，直接对该根平方；③把参数回代，求出其中一个平方根；④将平方根做平方运算，得到原数。 33．已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 34．若和是正数a的两个平方根，则正数a的值为_______． 35．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 题型十一：利用平方根解方程 解题思路：①把含有未知数的部分看成一个整体；②等式两边同时开平方，切记带上；③拆成两个独立的一元一次方程；④分别求解，得到两个解。 36．若， 则x的值为（  ）． A． B．0 C．2 D． 37．若则的值为（   ） A． B． C．或 D． 38．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 题型十二：立方根概念理解 解题思路：①正数、0、负数都有且只有一个立方根；②正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根是0；③对比区分立方根与平方根的条件差异。 39．要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 40．若，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 41．若， ，那么 ______． 题型十三：求一个数的立方根 解题思路：①找出立方等于这个数的数；②负数的立方根，负号可以移出根号外；③遇到带分数，先转化成假分数，再求立方根。 42．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 43．若，则__________． 44．已知，则的立方根是______． 45．如果正数的平方根是和，则的立方根是_________． 题型十四：已知一个数的立方根，求这个数 解题思路：①把已知的立方根做立方运算；②运算得到的结果就是原数；③立方运算不改变符号，注意符号不要出错。 46．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 47．若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 48．已知的立方根是，的算术平方根是，则______． 题型十五：与立方根有关的规律探索 解题思路：①观察被开方数小数点移动位数；②对比立方根结果小数点的移动变化；③总结归纳变化规律；④套用规律计算，简单代入检验。 49．若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 50．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 51．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 题型十六：立方根的实际应用 解题思路：①读懂实际情境，设未知数；②根据题意列出立方形式的等式；③开立方求出未知数的值；④立方根本身可以为负，结合实际意义按需取舍、检验结果。 52．已知球的体积公式为（为球的半径），若某小球的体积为，则该小球的半径为（   ） A． B． C． D． 53．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 54．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为216． (1)这个魔方的棱长为_____； (2)图1中阴影部分是一个正方形，阴影部分的面积为_____，边长为_____； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与1重合，则点在数轴上所表示的数为_____． 题型十七：算术平方根和立方根的综合应用 解题思路：①仔细审题，分清条件是平方根还是立方根；②平方根要注意被开方数≥0；立方根对被开方数没有正负限制；③结合非负性、互为相反数等条件建立方程；④求出参数后代入求值，多解要检验是否符合题意 55．下列说法不正确的是（    ） A．0的平方根是0 B．一个负数的立方根是一个负数 C．﹣8的立方根是﹣2 D．8的算术平方根是2 56．已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 57．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 58．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 题型十八：程序设计与实数运算 解题思路：①读懂程序给出的运算规则与步骤；②严格按照程序顺序分步计算；③遇到开平方，看清是取算术平方根还是完整平方根；④遵循实数运算顺序，注意括号，得到结果。 59．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 60．一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 61．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 解答题 1．计算：． 2．已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 3．已知的小数部分是a，的小数部分是b，求． 4．根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2)若介于与之间，请直接写出满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 5．已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． 6．综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 7．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 8．阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 9．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 10．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平方根与立方根精讲学案 核心立意： 精准区分算术平方根、平方根、立方根的定义与专属符号；熟练掌握三者核心性质、取值范围、专属公式；明确平方与开平方、立方与开立方的互逆运算关系；规避高频概念误区与计算陷阱，可独立完成求值、化简、概念辨析的常见考题。 算术平方根 ①定义：若正数x的平方等于a（x2=a，x>0），则正数x称为a的算术平方根，记作； ②特殊规定：0的算术平方根是0； ③双重非负性（本节必考核心）：被开方数a0、算术平方根结果0} ④取值限制：负数没有算术平方根。 平方根 ①定义：若一个数x的平方等于a（x2=a），则数x称为a的平方根，记作； ②性质规律：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根； ③运算关系：求平方根的运算叫做开平方，平方与开平方互为逆运算。 平方根核心公式（必考、区分条件） ①()2=a\ (a0)：先开方、再平方，仅适用于非负数； ②=|a|}：先平方、再开方，a可取全体实数，结果必为非负数。 立方根 ①定义：若一个数x的立方等于a（x3=a），则数x称为a的立方根，记作； ②性质规律：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；0的立方根为0；任意实数有且只有一个立方根； ③运算关系：求立方根的运算叫做开立方，立方与开立方互为逆运算。 立方根核心公式（无取值限制） ①()3=a}； ②=a；③=-（立方根的负号可以移到根号外部）。 平方根与立方根精准对比 ①被开方数范围：平方根只允许非负数；立方根可取全体实数； ②正数结果：平方根两个，互为相反数；立方根仅有一个正数； ③负数结果：不存在平方根；存在唯一负的立方根； ④零的结果：平方根、立方根结果均为0。 重点辨析（考试必考陷阱） ①单独符号只表示算术平方根，结果恒非负；才是完整平方根，做题符号不可混用； ②二次审题陷阱：需先化简再求值，例：=4，因此的平方根是2，不是4； ③正负运算区别：负数不能开平方，但可以开立方，是本章最大概念分界点； ④公式本质区分：()2与形式相似、成立条件完全不同，不能混用。 （学生高频丢分点） ①概念混淆：求平方根漏写符号，误将平方根等同于算术平方根； ②范围错误：忽略平方根被开方数非负要求，错误认为负数可以开平方； ③公式误用：计算直接写a，忘记添加绝对值保证结果非负； ④条件混乱：忽略()2=a中a0的限制条件； ⑤立方根化简出错：不会使用负号外移公式，负立方根化简出现符号错误。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 无理数整数部分的有关计算 ★★★ 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★ 题型六 算术平方根的实际应用 ★★ 题型七 平方根概念理解 ★★ 题型八 求一个数的平方根 ★★ 题型九 求代数式的平方根 ★★★ 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★ 题型十一 利用平方根解方程 ★★★ 题型十二 立方根概念理解 ★★ 题型十三 求一个数的立方根 ★★ 题型十四 已知一个数的立方根，求这个数 ★★★ 题型十五 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型十六 立方根的实际应用 ★★★ 题型十七 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★★ 题型十八 程序设计与实数运算 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：求一个数的算术平方根 解题思路：①牢记算术平方根结果一定是非负数；②找出平方等于该数的正数；③0的算术平方根是0；④若原数可化简，要先化简原数，再求算术平方根。 1．下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简含根号的数，再根据无理数的定义逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：开方开不尽，为无理数；是有限小数，是无限循环小数，是整数，三者均为有理数． 2．下列说法中，错误的是（     ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根是 D．的立方根等于 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故 A正确； 对于选项B：∵，而的平方根为， ∴的平方根是，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 3．下列各数中是无理数的有（    ） ，，，，，，3.1415，（小数部分由相继的非负整数组成） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，据此逐个判断各数即可得到结果． 【详解】解：是无限循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ，，，（小数部分由相继的非负整数组成）都是无限不循环小数，属于无理数， 故无理数共个． 4．观察下表规律： 利用规律求值：若，，________． 【答案】 【分析】先观察表格得到算术平方根的变化规律：被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，将的被开方数与已知被开方数对比，根据规律求解． 【详解】解： 又 ． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 解题思路：①具备双重非负性：被开方数a0，结果0；②若几个非负数相加等于0，则每一个非负数都等于0；③据此列方程，求出字母参数；④把参数代入代数式，算出最终结果。 5．关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 【答案】D 【分析】根据得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时，代数式取得最小值3． 6．若，则的值为________． 【答案】0 【分析】和都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， 故． 7．已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出，的值，通过估算无理数的大小得到的值，再计算，最后根据立方根的定义得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 8．已知实数a满足，那么的值为（ ） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根和绝对值，计算出字母的取值范围，化简绝对值是解决本题的关键． 根据算术平方根有意义，求出的范围，化简绝对值，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ， ， 可得， ， ， ． 故选：D． 题型三：估计算术平方根的取值范围 解题思路：①找出被开方数左右相邻的两个完全平方数；②判断算术平方根介于哪两个整数之间；③确定取值区间，区分整数部分与小数部分。 9．估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】使用夹逼法，找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， 因此的值在和之间． 10．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 11．小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 【答案】4.33 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题干中无理数的估算方法是解题关键．仿照小潘同学估算的方法，先确定的整数部分，再通过计算与平方数的差值估算小数部分，最后求和并精确到，即可得解． 【详解】解：因为，所以的整数部分是4． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以， 故答案为：4.33． 题型四：无理数整数部分的有关计算 解题思路：①估算无理数介于哪两个连续整数之间；②直接得到整数部分；③用“原无理数 − 整数部分”得到小数部分；④将整数部分、小数部分代入代数式计算。 12．的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了估算，通过估算的范围，确定 的整数部分. 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ； ∴ ，因此整数部分为6， 故选：D. 13．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小．先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，m，n是连续的两个整数， ∴， ∴． 故选：B． 14．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 【答案】 5 【分析】先估算出的取值范围，再分别求出和的整数部分和，最后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ∴，， 的整数部分，的整数部分， 则． 15．已知x是的整数部分，y是的小数部分，且，则的值为（　　） A．2 B． C．0或4 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了确定无理数的整数部分和小数部分，再根据非负数的和为零，求出a、b，然后把确定的值代入计算即可解决问题. 【详解】解：∵x是的整数部分，y是的小数部分，且 ∴ ， ∵ ∴， 解得：， ∴原式 ∴是0或4. 故选：C. 题型五：与算术平方根有关的规律探索题 解题思路：①观察被开方数小数点移动方向与位数；②对比算术平方根结果小数点的变化；③归纳总结通用变化规律；④套用规律完成计算，做完回头验证。 16．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 17．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为(    ) A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算的长． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ， …… ， ∴． 题型六：算术平方根的实际应用 解题思路：①读懂题意，合理设未知数；②根据实际等量关系列出平方等式；③开方只取算术平方根，舍去负解；④结合现实情境检验结果是否合理。 19．若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（     ）倍 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过设原边长，计算面积扩大后的边长，即可得到边长扩大的倍数． 【详解】解：设原正方形的边长为，则原正方形的面积为， ∵面积扩大为原来的倍， ∴扩大后的面积为， 设扩大后边长为，则， ∵边长为正数， ∴， ∴， 即边长扩大为原来的倍． 20．如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1确定直角三角形的两直角边长，结合图2判断为直角三角形的斜边，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴剪开得到的直角三角形的两直角边长分别为和， 由图2可知，中间正方形的边长即为直角三角形的斜边， ∴根据勾股定理得． 21．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数__________． 【答案】16 【分析】根据图形得出纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的，从而得出纸的面积为纸面积的，即可得出答案． 【详解】解：∵由图得，纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的， 纸的面积为纸面积的， ∴裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是16张， 题型七：平方根概念理解 解题思路：①正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②严格区分平方根与算术平方根；③审题看清题目问的是平方根，还是算术平方根。 22．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 23．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根． 【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式． ∵， ∴，选项B正确． 24．若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义得到，，则可求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵2026的两个平方根是和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型八：求一个数的平方根 解题思路：①正数求平方根结果必须带上；0的平方根是0；负数没有平方根；②原数能化简要先化简，再求平方根；③结果化成最简二次根式形式。 25．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 26．下列等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故A错误． ，故B正确． ∵， ∴，故C错误． ，故D错误． 27．若，为有理数且，则的平方根为_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根及平方根的定义，根据算术平方根的定义得到被开方数为非负数，即可确定的值，再求的值，进而确定的平方根．掌握算术平方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 故答案为：． 28．已知，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质求出，，再代入求出的值，最后求出平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∵25的平方根为， ∴的平方根是，故A正确． 题型九：求代数式的平方根 解题思路：①先化简、计算，求出代数式的值；②判断代数式计算结果的正负；③结果为非负数，再求平方根；结果为负数，直接判定无平方根。 29．若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 30．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 31．若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 32．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 题型十：已知一个数的平方根，求这个数 解题思路：①正数的两个平方根互为相反数；②若给出两个平方根，则两式相加等于0，列方程求参数；若只给出一个平方根，直接对该根平方；③把参数回代，求出其中一个平方根；④将平方根做平方运算，得到原数。 33．已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方根的基本性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，先根据该性质列方程求出的值，再计算得到原数即可. 【详解】解：∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 将代入其中一个平方根，得 ， ∴ 这个数为 . 34．若和是正数a的两个平方根，则正数a的值为_______． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算得到正数即可． 【详解】解：和是正数的两个平方根， ， 解得， 将代入，得其中一个平方根为， 正数为． 35．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 【答案】C 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，进而可求的值． 【详解】∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵y的立方根是2， ∴， ∴． 故选：C． 题型十一：利用平方根解方程 解题思路：①把含有未知数的部分看成一个整体；②等式两边同时开平方，切记带上；③拆成两个独立的一元一次方程；④分别求解，得到两个解。 36．若， 则x的值为（  ）． A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 37．若则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方的运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键；根据乘方运算法则即可； 【详解】解： ， 或， ， ， 则或 故选：C 38．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 题型十二：立方根概念理解 解题思路：①正数、0、负数都有且只有一个立方根；②正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根是0；③对比区分立方根与平方根的条件差异。 39．要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是， 对任意实数，都满足． 40．若，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的性质，通过立方根的性质得到,再同时立方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 41．若， ，那么 ______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的运算，解题的关键是对进行正确的变形． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十三：求一个数的立方根 解题思路：①找出立方等于这个数的数；②负数的立方根，负号可以移出根号外；③遇到带分数，先转化成假分数，再求立方根。 42．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，即． 43．若，则__________． 【答案】5 【详解】解： 解得． 44．已知，则的立方根是______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再代入代数式求出的值，最后计算该值的立方根即可． 【详解】解：，且， ，， 解得，， 将，代入得：， ， 的立方根是，即的立方根是． 45．如果正数的平方根是和，则的立方根是_________． 【答案】 【分析】正数的两个平方根互为相反数，由此列方程求出x的值，进而求出的值，代入，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：正数的平方根是和， ， 解得， ， ， ， 的立方根是． 题型十四：已知一个数的立方根，求这个数 解题思路：①把已知的立方根做立方运算；②运算得到的结果就是原数；③立方运算不改变符号，注意符号不要出错。 46．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解决此题的关键是正确的理解立方根的定义； 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 47．若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 48．已知的立方根是，的算术平方根是，则______． 【答案】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义列出关于的方程，求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得， ∵的算术平方根是， ∴，即， 解得， ∴． 题型十五：与立方根有关的规律探索 解题思路：①观察被开方数小数点移动位数；②对比立方根结果小数点的移动变化；③总结归纳变化规律；④套用规律计算，简单代入检验。 49．若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 50．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 【答案】14 【分析】根据“立方”对应的展开式求解的展开式，对应求解的值，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，令，， 则， 故，， 则． 51．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 题型十六：立方根的实际应用 解题思路：①读懂实际情境，设未知数；②根据题意列出立方形式的等式；③开立方求出未知数的值；④立方根本身可以为负，结合实际意义按需取舍、检验结果。 52．已知球的体积公式为（为球的半径），若某小球的体积为，则该小球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知体积代入球的体积公式，解关于的方程即可得到结果． 【详解】解：∵小球体积 ，代入公式， ∴， 两边约去，整理得 ， ∴． 53．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 54．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为216． (1)这个魔方的棱长为_____； (2)图1中阴影部分是一个正方形，阴影部分的面积为_____，边长为_____； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与1重合，则点在数轴上所表示的数为_____． 【答案】 6 18 【分析】本题考查了实数与数轴、立方根、算术平方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用电A表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； （2）解：棱长为， 每个小立方体的边长都是，每个小正方形的面积都是， 魔方的一面四个小正方形的面积为， ； 阴影部分的面积为，边长为； （3）解： 正方形的边长为， 点A与重合， 点在数轴上表示的数为． 题型十七：算术平方根和立方根的综合应用 解题思路：①仔细审题，分清条件是平方根还是立方根；②平方根要注意被开方数≥0；立方根对被开方数没有正负限制；③结合非负性、互为相反数等条件建立方程；④求出参数后代入求值，多解要检验是否符合题意 55．下列说法不正确的是（    ） A．0的平方根是0 B．一个负数的立方根是一个负数 C．﹣8的立方根是﹣2 D．8的算术平方根是2 【答案】D 【分析】直接利用算术平方根、平方根、立方根的定义分析得出答案． 【详解】解：A、0的平方根是0，原说法正确，故此选项不符合题意； B、一个负数的立方根是一个负数，原说法正确，故此选项不符合题意； C、﹣8的立方根是﹣2，原说法正确，故此选项不符合题意； D、8的算术平方根是2，原说法不正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解题的关键． 56．已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【答案】A 【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：∵﹣＝0， ∴． ∴x﹣3＝2x+1． ∴x＝﹣4． ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9． ∴x2+x﹣3的算术平方根为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键． 57．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 58．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 题型十八：程序设计与实数运算 解题思路：①读懂程序给出的运算规则与步骤；②严格按照程序顺序分步计算；③遇到开平方，看清是取算术平方根还是完整平方根；④遵循实数运算顺序，注意括号，得到结果。 59．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意：有理数不输出，有理数不输出，为无理数，输出， 所以输出的是． 60．一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 【答案】0或1 【分析】根据数值转换器的规则，分析始终输不出值的情况即可得解． 【详解】解：在非负有理数中，当时，，无论开多少次平方，结果始终是， 故始终输不出的值． 当时，，同样无论开多少次平方，结果始终是， 也始终输不出的值． 综上，的值可能是0或1． 61．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，输入后计算，若结果不大于6则将结果重新代入计算，直到结果大于6为止，通过计算并比较大小即可得出答案． 【详解】解：输入， 第一次计算结果为， ， 需将重新代入计算， 同理，第二次计算结果为， 由此规律可知，每次计算后的被开方数增加2， 当计算结果为时，，仍不满足结果， 需将再次代入计算， 下一次计算结果为， ， 输出结果为． 解答题 1．计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 2．已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，结合的值求出，再计算． （2）利用平方根的平方等于原数，代入等式化简求得． 【详解】（1）解：正数的两个不相等的平方根为和， ，，， ， ， ， ， ． （2）把，代入得： ， ， ， ， 为正数， ． 3．已知的小数部分是a，的小数部分是b，求． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，进一步得到a，b的值，后代入幂运算求值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∵的小数部分是a，的小数部分是b， ∴，， ∴， ∴． 4．根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2)若介于与之间，请直接写出满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)或 (3)约 【分析】（1）根据算术平方根和平方根的定义从表格中得出结果即可； （2）从表格中分别找出的平方和的平方，找到位于这两个平方之间的正整数即为所求的正整数a； （3）关系式中代入，解出，根据表格中的数得出的大概取值即可． 【详解】（1）解：由表格得的算术平方根是，的平方根是； （2）解：由表格得，， 介于与之间，和之间的正整数有，， 满足条件的正整数a为或； （3）解：， 当时，， 由表格得介于和之间， 该物体到达地面大概需要． 5．已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）根据绝对值的非负性和二次根式的非负性解题； （2）根据直接开平方法计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 解得； （2）解：原方程可化为， ， ， ， 解得，． 6．综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)80 (2)铁丝够用． 理由：设长方形纸片的长为，宽为，长方形的周长为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长方形的周长为， ， ， 用这根的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用． 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，然后求出边长即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得，则长方形的周长为，再根据可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设大正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． ∴这根铁丝长度最少为． （2）略 7．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【答案】(1)2，2，22 (2)26 【分析】（1）根据立方数的个位数字规律和数的大小范围来逐步推导． （2）根据题意，先计算出缩小后模型的体素总数，然后利用（1）中学习的方法求其立方根，即可得到缩小后正方体模型的边长． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是2； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是2； ． （2）解：缩小后模型的体素总数为， 设缩小后正方体模型的边长为， 所以， 因为， 所以是一个两位数， 因为，个位数字是， 所以的个位数字一定是， 划去后面的三位得， 因为， 所以的十位数字一定是， 所以． 答：缩小后该正方体模型的边长为． 8．阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 【答案】(1)①；② (2)23 【分析】（1）①总结题中规律，即可解答； ②根据①中规律解答即可； （2）总结题中规律，即可解答； 【详解】（1）解：①∵，，，…， ∴（是正整数，且）； ∴； ②根据①中规律可得：当时，， ∴ ． （2）解：∵，，，…， ∴ （是正整数，且）； 最后一项中，，符合规律， ∴ ． 9．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 10．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $