专题13直线.射线.线段精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学直线、射线、线段核心知识点，从定义（端点、延伸性、度量性）、规范表示方法入手，衔接直线公理、点线位置关系，通过尺规作图、线段比较、和差模型（内部与延长线）、中点公式构建递进学习支架，夯实几何入门基础。 资料特色在于精准辨析易混概念（如射线字母顺序、距离与线段区别），分星级题型覆盖从基础到压轴，结合学生真实丢分点设计。通过多维度概念辨析培养几何直观（数学眼光），分类讨论线段和差发展推理意识（数学思维），规范三种语言转化提升表达能力，课中助力系统教学，课后便于查漏补缺。

专题13直线.射线.线段精讲学案 核心立意： 从零掌握直线、射线、线段的定义、区别、规范写法；掌握直线公理、点与直线位置关系；熟练尺规作等长线段、线段比较方法；吃透线段和差两种位置模型、中点完整公式；区分两大易混公理，熟练几何三种语言转化，夯实几何入门基础。 直线、射线、线段精准定义（学生零混淆） ①直线：没有端点，向左右两个方向无限延伸，不能测量长度； ②射线：只有1个端点，只向一端无限延伸，不能测量长度； ③线段：有2个端点，不能延伸，可以测量具体长度。 三种图形标准表示方法（考试必考规范） ①直线：可用直线上两个大写字母或一个小写字母表示，字母无顺序要求；②射线：必须端点字母在前、延伸点字母在后，顺序换了就是不同射线；③线段：用两个端点大写字母或一个小写字母表示，字母顺序可互换。 直线基本事实（唯一固定公理） 两点确定一条直线； 含义：过两点有且只有一条直线，生活钉木条、拉线都用此原理。 点与直线的位置关系 ①点在直线上（直线经过该点）； ②点在直线外（直线不经过该点）；不重合的两条直线只有两种位置：相交、平行；两条直线相交，有且只有一个交点。 尺规作图： 作一条线段等于已知线段（步骤极简落地，学生能照做） ①画一条任意射线； ②用圆规量取已知线段的全长； ③在射线上从端点开始截取对应长度； ④截取得到的线段即为所求等长线段。 线段长短两种比较方法 ①度量法：用尺子量出两条线段长度，比数值大小； ②叠合法：端点对齐、线段同侧重合摆放，看另一端位置判断长短。 线段的和与差 ①点在线段内部：整条线段=两段小线段之和，若点C在AB上，则AB=AC+CB；②点在线段延长线上（考试易错漏解）：长线段=原线段+延长段，短线段=长线段−原线段，若点C在AB延长线上，则AC=AB+BC，BC=AC-AB； ③所有线段计算题，只靠这两组关系列式。 线段中点 把线段平均分成两条相等线段的点，叫做线段中点；若M是AB中点，则AM=BM=AB、AB=2AM=2BM。 线段基本事实与距离定义（必考概念辨析） ①公理：两点之间，线段最短； ②两点间的距离：连接两点的线段的长度（是数字，不是线段图形）。 重点辨析（专门解决初一所有混淆） 1. 射线最容易错：字母顺序不同，射线一定不同，不能混用、等同。 2. 只有线段能度量、比大小；直线、射线无限长，不能比较长短、不能说相等。 3. 距离是「长度数值」，不是线、不是图形，答题严禁描述错误。 4. 中点必须在线段正中间、在线段上，线段外的点绝对不是中点。 5. 两个公理严格区分：钉木条用「两点确定一条直线」；走路选近路用「两点之间线段最短」。 （全是学生真实丢分点） 1. 射线书写顺序颠倒，误把两条不同射线当成同一条。 2. 错误给直线、射线量长度、比大小。 3. 把「线段图形」当成「两点间距离」，概念答错。 4. 线段和差只考虑点在内部，漏掉点在延长线的情况，导致漏解。 5. 做题乱用公理，分不清两个公理的使用场景。 6. 中点公式只会一半，不会变形，计算出错。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型二 画出直线、射线、线段 ★ 题型三 点与线的位置关系 ★ 题型四 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型五 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型六 线段的应用 ★★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 作线段 ★★ 题型九 线段的和与差 ★★★ 题型十 线段中点的有关计算 ★★★ 题型十一 线段 n 等分点的有关计算 ★★★ 题型十二 线段之间的数量关系 ★★★★ 题型十三 与线段有关的动点问题 ★★★★★ 题型十四 两点之间线段最短 ★ 题型十五 两点间的距离 ★★ 题型十六 最短路径问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★偏难★★★★★压轴 题型一：直线、射线、线段的联系与区别 解题思路：①从端点个数、延伸特性、可度量性三个维度辨析概念；②判定射线是否为同一条，需同时比对端点与延伸方向；③审题圈划标识字母，区分直线、射线、线段的符号表述，甄别概念正误。 1．在下面选项中，属于线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的定义，根据线段是直的，有两个端点，解答此题即可． 【详解】解：A．不是线段，不符合题意； B．不是线段，不符合题意； C．不是线段，不符合题意； D．是线段，符合题意． 故选：D． 2．关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的定义和性质，根据直线的定义和性质，直线是向两方无限延伸的，没有端点． 【详解】①线段向两方无限延长后，两端无限延伸，形成直线，正确；②射线反向延长后，变为向两方无限延伸，形成直线，正确；③直线没有端点，正确；④直线没有端点，因此说有无数个端点错误． 故答案为：①②③． 3．下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解决本题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判定即可解决此题． 【详解】解：A、直线两端无限延伸，即直线无长度，所以画直线厘米错误，故此选项不符合题意． B、射线一端有固定的顶点，另一端无限延伸，即射线无长度，所以画射线厘米错误，故此选项不符合题意． C、射线是向一方无限延伸的，要截取长为2厘米的线段，应以射线端点O为线段的一个端点，即截取厘米，原说法错误，故此选项不符合题意； D、延长线段到点C，当B为的中点时，可使得，所以延长线段到点C，使得正确，故此选项符合题意． 故选：D． 题型二：画出直线、射线、线段 解题思路：①遵循作图规范：直线双向延伸出头，射线一端定点、一端延伸出头，线段双端点无延伸；②依据题干指令，区分过两点作直线、指定端点作射线、两点连接作线段；③射线标注时，端点字母置于首位。 4．下列各图中，表示“延长线段”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了线段，射线，直线的表示方法，准确识图，熟练掌握线段，射线，直线的表示方法是解决问题的关键．根据线段，射线，直线的表示方法对各个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．此图表示线段，故A不符合题意； B．此图表示既延长线段，也延长线段，故B不符合题意； C．此图表示延长线段，故C不符合题意； D．延长线段，故D符合题意． 故选：D． 5．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 6．已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 【答案】C 【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果． 【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，    当A、B、C三点不在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，    故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键． 题型三：点与线的位置关系 解题思路：①明确两类位置：点在直线上、点在直线外；②结合图形判定点的归属；③比对图形与文字表述，完成命题正误辨析。 7．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】根据直线，射线和线段的相关知识，结合图形逐一判断即可． 【详解】解：A、所画图形表示的是延长到C，故此选项不符合题意； B、由图可知，点C在直线外，故此选项不符合题意； C、由图可知，直线与直线相交于点，故此选项符合题意； D、由图可知，射线与线段有交点（图中未画出），故此选项不符合题意 ． 8．根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，点与线的位置关系，根据题意画出的图形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是， ， 故选：D． 9．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 题型四：直线、线段、射线的数量问题 解题思路：①依据公理，两点确定唯一一条直线；②直线上每个点对应两条反向射线，n个点共产生2n条射线；③线段按次序计数，直线上n个点，线段总条数用公式计算，避免重复漏数。 10．阜阳至宿州（淮北）铁路是皖北地区城际铁路，该铁路2026年全线建成通车，全线设车站5座，全程任意两站的距离不相等，车票价格共有（   ）种 A．20种 B．10种 C．8种 D．4种 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线、线段，掌握线段条数的计算方法是正确解答的关键．根据线段的数量解答即可． 【详解】解：如图，设5个车站分别为A、B、C、D、E， 图中共有条线段，即， 因此不同的票价共有种， 故选：B． 11．若关于的方程有整数解，且为平面内四个点可组成的直线条数，则的值为___________． 【答案】4或6 【分析】本题考查的是解一元一次方程，两点确定一条直线，首先求解方程得到x的表达式，根据x为整数确定m的可能值；再结合m是平面内四个点可组成的直线条数（可能值为1、4、6），筛选出符合条件的m值即可． 【详解】解：解方程，得， 关于的方程有整数解， 必须是9的约数， 的可能取值为4、6、8、2、14、， 为平面内四个点可组成的直线条数，而四个点能组成的直线条数可能为1、4或6， 只能取4或6， 故答案为：4或6． 12．过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】根据四个点的不同位置关系分类讨论，利用两点确定一条直线的性质计算直线条数。 【详解】解：∵ 两点确定一条直线，分三种情况讨论如下： 情况1：当个点都在同一条直线上时，只能画出条直线； 情况2：当个点中有个点共线，第个点不在这条直线上时，共线三点确定条直线，第个点和个共线点分别确定条不同直线， ∴ 总直线数为条； 情况3：当个点中任意三点都不共线时，每两个点确定一条不同直线，总直线数为条； ∴ 过平面上个点画直线有或或条． 故选：A． 题型五：直线相交的交点个数问题 解题思路：①两条相交直线有且仅有1个交点；②n条直线两两相交，最多交点数，最少交点数为1；③审清题干，区分求解最多、最少交点。 13．同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线的交点，数字变化规律问题，先根据交点个数随着直线条数的变化得出规律，进而得出答案． 【详解】根据题意可知在同一平面内， 2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 10条直线相交最多有个交点． 故选：C． 14．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 15．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平面内直线相交的点的个数，根据题目中提供的条件得到规律是解题关键． 先根据两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……得到n条直线相交最多有个交点，再把代入即可求值． 【详解】解：2条直线相交最多有1个交点，， 3条直线相交最多有3个交点，， 4条直线相交最多有个交点，， 5条直线相交最多有个交点，， … n条直线相交最多有交点的个数是：． 20条直线相交最多有交点的个数是：． 题型六：线段的应用 解题思路：①区分两条基本事实的适用场景；②固定木条、弹墨线类实例，理论依据为两点确定一条直线；③路径择优缩短距离类实例，理论依据为两点之间，线段最短。 16．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 【答案】B 【分析】先根据线段PQ与线段AB有公共点确交点的位置在AB上，连结线段PS，利用线段的延长线所在区域确定点Q落在区域②即可． 【详解】解：∵线段PQ与线段AB相交，设交点为S， ∴点S在线段AB上，连结PS并延长，点Q在PS的延长线上， ∵PS的延长线在区域② ∴点Q在区域②． 故选择B． 【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线，延长线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 17．往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 【答案】30 【分析】先计算出总的站点数量，再结合不同起点终点对应不同车票，即往返车票方向不同属于不同车票，计算即可得到总车票种类． 【详解】由题意可得，总站数为 （个）， 因为车票起点不同即为不同车票，每个站可到达剩余个站，因此总车票种类为：（种）． 18．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 题型七：两点确定一条直线 解题思路：①识记公理：过两点有且只有一条直线；②辨析易错结论：过一点可作无数条直线；③用于语句判断、实例匹配、填写几何依据。 19．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 【答案】D 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线， ∴其蕴含的数学道理是两点确定一条直线． 20．平面上有6个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，若经过每两点画一条直线，则一共可以画出的直线条数是________． 【答案】15条 【分析】根据两点确定一条直线，则通过画图发现每个点都可以和其他5个点画一条直线，共可以画6×5=30（条）直线，排除重合的条数，即可求得结果． 【详解】解：因为每个点都可以和其他5个点画一条直线，共可以画6×5=30（条）直线，但互相之间又有重合的直线，所在实际条数为30÷2=15（条）． 故答案为：15条． 【点睛】此题考查了两点确定一条直线，读懂题意，找出规律是解题的关键． 21．如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考察了直线的性质：两点确定一条直线，关键是按照一定的顺序寻找． 找到同时经过其中个点的直线的条数即可求解． 【详解】解：如图所示： 故同时经过其中个点的直线有条． 故选：C． 题型八：作线段 解题思路：①限定工具：无刻度直尺与圆规；②作等长线段：作射线，圆规截取已知线段长，在射线上截取对应线段；③作线段和向外截取延伸，作线段差在长线段上截去短线段；④作图保留圆规截取痕迹。 22．如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于． 小张同学按以下步骤进行了操作： 第一步：在直线上作线段； 第二步：在线段的延长线上作线段； 第三步：在线段上作线段． 根据上述操作，下列结论：①；②；③； ④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查线段之间的运算和尺规作图，熟练掌握线段之间的运算和尺规作图是解题的关键． 根据作图的顺序，得到线段之间的和差关系，逐一计算判断即可． 【详解】解：由题可知，，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 因为，，所以，故④错误； 综上可知，选项B符合题意． 故选：B． 23．如图，点是线段上一点，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．则______． 【答案】 【分析】根据线段的和差关系及已知比例求出和的长，再根据作图痕迹得出，，最后利用线段的和差关系计算的长 ． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴． 24．已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，掌握运用尺规画线段的方法是解题的关键． 先作射线，再截取，然后截取，则线段的长为． 【详解】解：解如图所示： ④画射线； ①在射线上画线段； ③在射线上画线段； ②则线段． 所以正确顺序为④①③②． 故选C． 题型九：线段的和与差 解题思路：①点在线段上，关系式AB=AC+CB；②点在线段延长线上，关系式AC=AB+BC，BC=AC-AB；③无图题型，对点的位置分类讨论，规避漏解；④依托线段关系式完成几何计算。 25．已知，点，，在同一条直线上，点，分别是，的中点，如果，．那么线段长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分类讨论点的位置，利用线段中点的性质和线段和差计算线段长度即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时， ∵点是中点，点是中点，，， ∴，， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时， ∵点是中点，点是中点，，， ∴，， ∴． 综上，线段的长度为或． 26．如图所示，点C、D在线段上，且将从左至右依次分成三部分，点M为的中点，厘米，则的长为______厘米． 【答案】/ 【分析】设厘米，得到厘米，厘米，厘米，，进而推导出（厘米），，得到，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设厘米，则厘米，厘米， ∴厘米，， ∵点M为的中点，厘米， ∴（厘米），， ∴， 解得， ∴厘米． 27．如图所示，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，线段长度的计算．根据题意对折点可能是点A，也可能是点B，根据不同情况确定最长线段即可求出原线段的长度． 【详解】解：根据题意对折点可能是点A，也可能是点B，分两种情况． ①点A是对折点，则剪断后最长线段应该是， ∴，， ∴绳子原长为； ②点B是对折点，则剪断后最长线段是， ∴， 而， ∴， ∴绳子原长为， 综上，这条绳子的原长为或． 故选：D． 题型十：线段中点的有关计算 解题思路：①牢记中点关系式：AM=BM=AB，AB=2AM=2BM；②有图直接代入中点公式运算；③无图题型，分类讨论点的位置；④借助设未知数，列方程求解线段长度。 28．在直线上顺次取，，三点，使得，，如果点是线段的中点，那么线段的长度是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据顺次三点的边长求出的长度，再利用线段中点的性质得到中点分线段的长度，最后计算的长度即可，掌握线段中点的性质是解题关键． 【详解】解：，，，，顺次在直线上， ， 点是的中点， ， ， 因此线段的长度为． 29．规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成的线段的中点，我们则称这三点形成“美丽组”．已知，数轴上点P所表示的数是，点Q表示的数是2，数轴上另有一点N，若要使P，Q，N三点形成“美丽组”，则点N表示的数为_______． 【答案】或或8 【分析】分三种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当为线段的中点时，点N表示的数为； 当为线段的中点时，点N表示的数为； 当为线段的中点时，点N表示的数为； 综上：则点N表示的数为或或8. 30．如图，点、、、在同一射线上，，线段（点在点的左边）长度为，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（     ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，则的值不变 A．①③ B．①②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】对于①，需分点在线段上和延长线上两种情况，用线段和差表示并列方程，根据解的个数判断正误；对于②，根据、均在线段上用表示和的长度，结合比例关系列方程求解并验证解是否符合范围；对于③，利用线段中点的性质分别表示出和的长度，由得到绝对值方程，求解方程即可得到的值；对于④，先根据点在延长线上确定的取值范围，再依次利用中点性质表示出、、、的长度，最后通过线段和差计算的长度，判断其是否为定值． 【详解】解：①分两种情况： 当点在线段上时， ，解得； 当点在延长线上时， ，解得； 故①错误； ②∵点、均在线段上， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故②正确； ③∵，是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 当时，解得； 当时，解得； 故或2.25， 故③正确； ④∵点在延长线上， ， ∵是中点， ∴， ∵，， ∴． ∵是中点， ∴ ， ∴， ∴，是定值，故④正确； 综上，②③④正确． 题型十一：线段 n 等分点的有关计算 解题思路：①理解n等分点定义：将线段平均分为n段等长线段；②结合三等分点实例，AM=MN=NB=AB；③先绘制示意图，标记每段线段长度，再列式运算。 31．线段，点A、B是的三等分点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点间距离，解决问题的关键是分类讨论，画出相应的图形进行计算． 分B为靠近P的三等分点或靠近Q的三等分点两种情况进行讨论，即可得到解答． 【详解】解：∵ ，A和B是三等分点， ∴ 每等分长度为. 如图，当B为靠近Q的三等分点时， ∴的长为 当B为靠近P的三等分点时， ； ∴的长为或. 故选：C． 32．如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【答案】或 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 【详解】解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 33．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 题型十二：线段之间的数量关系 解题思路：①选取最短基础线段设为未知量；②依托线段位置，建立长度等量关系式；③复杂题型运用整体思想，不必求解全部基础线段。 34．如图，点，在数轴上，点为原点，．按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点表示的数是，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，解题关键是数形结合思想的应用．由．，点表示的数是，可得，即可得，点表示的数是． 【详解】解：由．，点表示的数是， 得， 得， 则点表示的数是， 故选：． 35．如图，，点、点在线段上，且点为线段的中点．有如下结论：①图中共有6条线段；②；③是一个定值；④若点是线段的中点，则，上述结论中，所有正确结论的序号是____________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查线段的和差，直线，射线，线段，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用线段和差定义，线段中点的定义一一判断即可． 【详解】解：①图中线段有：，，，，，共有6条线段，故①正确； ②，错误，理由是不是的中点；故②错误； ③，是定值，故③正确； ④是的中点，是的中点， ，， ，故④正确． 故答案为：①③④． 36．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（　　） A．18cm B．48cm C．18cm或36cm D．18cm或48cm 【答案】C 【分析】本题考查了线段计算的应用．熟练掌握线段的和差倍分关系，是解题的关键． 设，则，分为两种情况：①当A为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当B为对折点，则剪断后，有长度为x，x，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为12列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ①当A为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； ②当B为对折点，则剪断后，有长度为x，x，， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； 这根绳子原来的长度为或． 故选：C． 题型十三：与线段有关的动点问题 解题思路：①设运动时间为t，用含t代数式表示动点对应的线段长度；②分两类讨论：动点在线段上、动点在线段延长线上；③结合题干条件列方程；④检验计算结果，舍去不符合运动范围的解。 37．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解． 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 38．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答． 【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为， 设线段和线段的运动速度为，运动时间为， 则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为． 点M，N分别是和的中点， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 当点B在线段上且未到达中点时， 的长为． 故答案为：6． 39．如图，点为直线上从左到右的四个点，且，动点在直线上，点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点的速度是点的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，得，设，则，根据线段的长可得，即可求出． 【详解】解： 设，则， ， 点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点速度是点的2倍， ， 设则， ， ， ， 知道长度即可知道长度． 题型十四：两点之间线段最短 解题思路：①识记基本事实：两点之间，线段最短；②辨析概念：两点间距离为线段的长度，属于数值，并非线段图形；③用于选项判断、填写解题依据。 40．“弯曲的公路改直能缩短路程”用到的数学原理是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间直线最短 【答案】B 【分析】“弯曲的公路改直缩短路程”的本质是选择两点间的最短路径，对应“两点之间线段最短”的几何性质． 【详解】解：弯曲公路的起点和终点可看作两个定点，将弯曲公路改直，是把两点间的弯曲路径替换为两点之间的线段， 根据“两点之间线段最短”的数学原理，改直后的路程会缩短， 因此对应的原理是选项B． 41．在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释， 选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识． 42．在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【答案】30 【详解】解：根据题意，得当点P与点B重合时，取得最小值，且最小值为， 则到三个加工点的距离之和最小，且最小为． 题型十五：两点间的距离 解题思路：①识记定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离；②甄别易错命题，区分线段图形与线段长度；③判断题中核对概念表述。 43．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【答案】C 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 44．若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点C，A在点B异侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 当点C，A在点B同侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 综上，两点间的距离是或． 45．某学校老师分别住在甲，乙，丙三个住宅区，甲区有15人，乙区有20人，丙区有35人，三个小区在一条笔直的路上，位置如图所示．学校接送老师们上下班的班车打算在此区间的路上只设一个停靠点．要使所有老师步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．乙区 B．丙区 C．乙区或丙区 D．乙，丙两区之间任何一点（含乙，丙两点） 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键，根据题意分别计算停靠点分别在和时老师步行的路程和，选择最小的即可求解． 【详解】解：设距离甲区处最近，那么可以算出所有老师步行到停靠点的路程和最小为， 当时，， 所以时，y最小是22000； 当，， 综上，当时，y最小是22000． 故选：D． 题型十六：最短路径问题 解题思路：①解题依据：两点之间，线段最短；②存在障碍物时，筛选可行路径，比较路径长短；③标记起点、终点，确定最短路径。 46．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为． 47．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 48．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 解答题 1．如图所示，点，，，是同一平面内不重合的四个点， (1)按要求画图： ①画射线；②连接，并延长线段； ③画直线、直线；④直线与直线相交于点． (2)根据画出的图形回答下列问题： ①说出点和点与直线的位置关系； ②用字母表示出图中所有的线段． 【答案】(1) 如图所示： (2)①点在直线上，点在直线外； ②图中的线段有线段，，，，，，， 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）根据射线，线段的概念即可解答； （2）①根据点与直线的关系即可解答；②根据线段的概念即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①点在直线上，点在直线外． ②图中的线段有线段，，，，，，，． 2．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 【答案】(1)； (2)； (3)枚徽章． 【分析】（）根据线段的定义求解即可； （）根据线段的定义求解出线段条数的规律即可； （）设共有名成员参加活动，由题意得，则要送出的徽章总数为，从而求解． 【详解】（1）解：图中线段为：，，，，，，，，，，共条， 故答案为：； （2）解：该线段中共有， 故答案为：； （3）解：设共有名成员参加活动，由题意得，， 所以要送出的徽章总数为， 答：总共要送出枚徽章． 3．问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30 【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键． （2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛； （3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛； （4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次； （5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种． 【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：15； （3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：； （4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次； 故答案为：1035； （5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种． 故答案为：30． 4．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 【答案】(1)5； (2)解：猜想正确， 理由：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ②点P在的左侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ③点P在的右侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：， 综上，. 【分析】（1）根据线段的和差关系求出，根据线段中点的定义求出、，由即可求解； （2）由点M是中点，点N是中点，得，分三种情况讨论：①点P在之间，由即可求解；②当P在A左边，由即可求解；③当P在B右边；由即可求解. 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为M是的中点，N是的中点， 所以，， 所以，即； （2）略 5．如图，线段，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发秒后，____________，____________（不必说明理由）； (2)出发几秒后，？ (3)当在延长线上运动时，为的中点，下列两个结论： ①的值不变； ②长度不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)，； (2)秒或秒； (3)选择结论②，． 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是设参数并准确表示出各线段的长度． （1）先根据路程=速度×时间求出，再根据中点的定义求出，根据线段的和差关系求出． （2）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，根据题意列出方程求解即可． （3）设，根据条件推出，，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：出发秒后，，． （2）设出发秒后，，分两种情况： 当在上时，，， 则， 解得； 当在延长线上时，， ， 则， 解得， 综上，出发秒或秒后，． （3）选择结论②：长度不变 设，则 ∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴， 则， 故的长度恒为（定值）． ①中：（变化）． 故选②． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13直线.射线.线段精讲学案 核心立意： 从零掌握直线、射线、线段的定义、区别、规范写法；掌握直线公理、点与直线位置关系；熟练尺规作等长线段、线段比较方法；吃透线段和差两种位置模型、中点完整公式；区分两大易混公理，熟练几何三种语言转化，夯实几何入门基础。 直线、射线、线段精准定义（学生零混淆） ①直线：没有端点，向左右两个方向无限延伸，不能测量长度； ②射线：只有1个端点，只向一端无限延伸，不能测量长度； ③线段：有2个端点，不能延伸，可以测量具体长度。 三种图形标准表示方法（考试必考规范） ①直线：可用直线上两个大写字母或一个小写字母表示，字母无顺序要求；②射线：必须端点字母在前、延伸点字母在后，顺序换了就是不同射线；③线段：用两个端点大写字母或一个小写字母表示，字母顺序可互换。 直线基本事实（唯一固定公理） 两点确定一条直线； 含义：过两点有且只有一条直线，生活钉木条、拉线都用此原理。 点与直线的位置关系 ①点在直线上（直线经过该点）； ②点在直线外（直线不经过该点）；不重合的两条直线只有两种位置：相交、平行；两条直线相交，有且只有一个交点。 尺规作图： 作一条线段等于已知线段（步骤极简落地，学生能照做） ①画一条任意射线； ②用圆规量取已知线段的全长； ③在射线上从端点开始截取对应长度； ④截取得到的线段即为所求等长线段。 线段长短两种比较方法 ①度量法：用尺子量出两条线段长度，比数值大小； ②叠合法：端点对齐、线段同侧重合摆放，看另一端位置判断长短。 线段的和与差 ①点在线段内部：整条线段=两段小线段之和，若点C在AB上，则AB=AC+CB；②点在线段延长线上（考试易错漏解）：长线段=原线段+延长段，短线段=长线段−原线段，若点C在AB延长线上，则AC=AB+BC，BC=AC-AB； ③所有线段计算题，只靠这两组关系列式。 线段中点 把线段平均分成两条相等线段的点，叫做线段中点；若M是AB中点，则AM=BM=AB、AB=2AM=2BM。 线段基本事实与距离定义（必考概念辨析） ①公理：两点之间，线段最短； ②两点间的距离：连接两点的线段的长度（是数字，不是线段图形）。 重点辨析（专门解决初一所有混淆） 1. 射线最容易错：字母顺序不同，射线一定不同，不能混用、等同。 2. 只有线段能度量、比大小；直线、射线无限长，不能比较长短、不能说相等。 3. 距离是「长度数值」，不是线、不是图形，答题严禁描述错误。 4. 中点必须在线段正中间、在线段上，线段外的点绝对不是中点。 5. 两个公理严格区分：钉木条用「两点确定一条直线」；走路选近路用「两点之间线段最短」。 （全是学生真实丢分点） 1. 射线书写顺序颠倒，误把两条不同射线当成同一条。 2. 错误给直线、射线量长度、比大小。 3. 把「线段图形」当成「两点间距离」，概念答错。 4. 线段和差只考虑点在内部，漏掉点在延长线的情况，导致漏解。 5. 做题乱用公理，分不清两个公理的使用场景。 6. 中点公式只会一半，不会变形，计算出错。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型二 画出直线、射线、线段 ★ 题型三 点与线的位置关系 ★ 题型四 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型五 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型六 线段的应用 ★★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 作线段 ★★ 题型九 线段的和与差 ★★★ 题型十 线段中点的有关计算 ★★★ 题型十一 线段 n 等分点的有关计算 ★★★ 题型十二 线段之间的数量关系 ★★★★ 题型十三 与线段有关的动点问题 ★★★★★ 题型十四 两点之间线段最短 ★ 题型十五 两点间的距离 ★★ 题型十六 最短路径问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★偏难★★★★★压轴 题型一：直线、射线、线段的联系与区别 解题思路：①从端点个数、延伸特性、可度量性三个维度辨析概念；②判定射线是否为同一条，需同时比对端点与延伸方向；③审题圈划标识字母，区分直线、射线、线段的符号表述，甄别概念正误。 1．在下面选项中，属于线段的是（    ） A． B． C． D． 2．关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 3．下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 题型二：画出直线、射线、线段 解题思路：①遵循作图规范：直线双向延伸出头，射线一端定点、一端延伸出头，线段双端点无延伸；②依据题干指令，区分过两点作直线、指定端点作射线、两点连接作线段；③射线标注时，端点字母置于首位。 4．下列各图中，表示“延长线段”的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 6．已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 题型三：点与线的位置关系 解题思路：①明确两类位置：点在直线上、点在直线外；②结合图形判定点的归属；③比对图形与文字表述，完成命题正误辨析。 7．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 8．根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 题型四：直线、线段、射线的数量问题 解题思路：①依据公理，两点确定唯一一条直线；②直线上每个点对应两条反向射线，n个点共产生2n条射线；③线段按次序计数，直线上n个点，线段总条数用公式计算，避免重复漏数。 10．阜阳至宿州（淮北）铁路是皖北地区城际铁路，该铁路2026年全线建成通车，全线设车站5座，全程任意两站的距离不相等，车票价格共有（   ）种 A．20种 B．10种 C．8种 D．4种 图中共有条线段，即， 11．若关于的方程有整数解，且为平面内四个点可组成的直线条数，则的值为___________． 12．过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 题型五：直线相交的交点个数问题 解题思路：①两条相交直线有且仅有1个交点；②n条直线两两相交，最多交点数，最少交点数为1；③审清题干，区分求解最多、最少交点。 13．同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 14．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 15．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型六：线段的应用 解题思路：①区分两条基本事实的适用场景；②固定木条、弹墨线类实例，理论依据为两点确定一条直线；③路径择优缩短距离类实例，理论依据为两点之间，线段最短。 16．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 17．往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 18．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 题型七：两点确定一条直线 解题思路：①识记公理：过两点有且只有一条直线；②辨析易错结论：过一点可作无数条直线；③用于语句判断、实例匹配、填写几何依据。 19．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 20．平面上有6个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，若经过每两点画一条直线，则一共可以画出的直线条数是________． 21．如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型八：作线段 解题思路：①限定工具：无刻度直尺与圆规；②作等长线段：作射线，圆规截取已知线段长，在射线上截取对应线段；③作线段和向外截取延伸，作线段差在长线段上截去短线段；④作图保留圆规截取痕迹。 22．如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于． 小张同学按以下步骤进行了操作： 第一步：在直线上作线段； 第二步：在线段的延长线上作线段； 第三步：在线段上作线段． 根据上述操作，下列结论：①；②；③； ④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 23．如图，点是线段上一点，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．则______． 24．已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 题型九：线段的和与差 解题思路：①点在线段上，关系式AB=AC+CB；②点在线段延长线上，关系式AC=AB+BC，BC=AC-AB；③无图题型，对点的位置分类讨论，规避漏解；④依托线段关系式完成几何计算。 25．已知，点，，在同一条直线上，点，分别是，的中点，如果，．那么线段长度为（    ） A． B． C．或 D．或 26．如图所示，点C、D在线段上，且将从左至右依次分成三部分，点M为的中点，厘米，则的长为______厘米． 27．如图所示，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 题型十：线段中点的有关计算 解题思路：①牢记中点关系式：AM=BM=AB，AB=2AM=2BM；②有图直接代入中点公式运算；③无图题型，分类讨论点的位置；④借助设未知数，列方程求解线段长度。 28．在直线上顺次取，，三点，使得，，如果点是线段的中点，那么线段的长度是(     ) A． B． C． D． 29．规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成的线段的中点，我们则称这三点形成“美丽组”．已知，数轴上点P所表示的数是，点Q表示的数是2，数轴上另有一点N，若要使P，Q，N三点形成“美丽组”，则点N表示的数为_______． 30．如图，点、、、在同一射线上，，线段（点在点的左边）长度为，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（     ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，则的值不变 A．①③ B．①②④ C．③④ D．②③④ 题型十一：线段 n 等分点的有关计算 解题思路：①理解n等分点定义：将线段平均分为n段等长线段；②结合三等分点实例，AM=MN=NB=AB；③先绘制示意图，标记每段线段长度，再列式运算。 31．线段，点A、B是的三等分点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D． 32．如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 33．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型十二：线段之间的数量关系 解题思路：①选取最短基础线段设为未知量；②依托线段位置，建立长度等量关系式；③复杂题型运用整体思想，不必求解全部基础线段。 34．如图，点，在数轴上，点为原点，．按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点表示的数是，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 35．如图，，点、点在线段上，且点为线段的中点．有如下结论：①图中共有6条线段；②；③是一个定值；④若点是线段的中点，则，上述结论中，所有正确结论的序号是____________． 36．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（　　） A．18cm B．48cm C．18cm或36cm D．18cm或48cm 题型十三：与线段有关的动点问题 解题思路：①设运动时间为t，用含t代数式表示动点对应的线段长度；②分两类讨论：动点在线段上、动点在线段延长线上；③结合题干条件列方程；④检验计算结果，舍去不符合运动范围的解。 37．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 38．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 39．如图，点为直线上从左到右的四个点，且，动点在直线上，点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点的速度是点的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 题型十四：两点之间线段最短 解题思路：①识记基本事实：两点之间，线段最短；②辨析概念：两点间距离为线段的长度，属于数值，并非线段图形；③用于选项判断、填写解题依据。 40．“弯曲的公路改直能缩短路程”用到的数学原理是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间直线最短 41．在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 42．在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 题型十五：两点间的距离 解题思路：①识记定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离；②甄别易错命题，区分线段图形与线段长度；③判断题中核对概念表述。 43．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 44．若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 45．某学校老师分别住在甲，乙，丙三个住宅区，甲区有15人，乙区有20人，丙区有35人，三个小区在一条笔直的路上，位置如图所示．学校接送老师们上下班的班车打算在此区间的路上只设一个停靠点．要使所有老师步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．乙区 B．丙区 C．乙区或丙区 D．乙，丙两区之间任何一点（含乙，丙两点） 题型十六：最短路径问题 解题思路：①解题依据：两点之间，线段最短；②存在障碍物时，筛选可行路径，比较路径长短；③标记起点、终点，确定最短路径。 46．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 47．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 48．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 解答题 1．如图所示，点，，，是同一平面内不重合的四个点， (1)按要求画图： ①画射线；②连接，并延长线段； ③画直线、直线；④直线与直线相交于点． (2)根据画出的图形回答下列问题： ①说出点和点与直线的位置关系； ②用字母表示出图中所有的线段． 2．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 3．问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 4．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 5．如图，线段，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发秒后，____________，____________（不必说明理由）； (2)出发几秒后，？ (3)当在延长线上运动时，为的中点，下列两个结论： ①的值不变； ②长度不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $