6.2 直线、射线、线段 同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦“直线、射线、线段”核心知识点，系统梳理其表示方法、位置关系，直线“两点确定一条直线”、线段“两点之间线段最短”的性质，以及两点间距离、比较长短、和差计算及尺规作图等内容，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 该资料以7大题型为框架，典例与变式结合，融入生活实例（如钉钉子、修路），培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），规范作图语言（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

第6章 6.2 直线、射线、线段 内 容 导 航 题型1 直线、射线、线段 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 题型4 两点间的距离 题型5 比较线段的长短 题型6 线段的和差 题型7 作图—尺规作图的定义 考 点 演 练 题型1 直线、射线、线段 解｜题｜知｜识 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 【典例1】如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：cm）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（　　） A．3个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】B 【解答】解：∵图中共有3+2+1＝6条线段， ∴能直接量出6个长度，分别是：1cm，3cm，7cm，2cm，6cm，4cm． ∴用这把直尺能直接量出的不同长度有6个． 故选：B． 【变式1】如图，下列说法正确的是（　　） A．直线OB和直线BO不是同一条直线 B．点B是直线AB的一个端点 C．射线OA和射线OB不是同一条射线 D．点A在线段OB上 【答案】D 【解答】解：A．直线OB和直线BO是同一条直线，选项说法错误，不符合题意； B．直线AB没有端点，选项说法错误，不符合题意； C．射线OA和射线OB是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D．点A在线段OB上，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段AB到C B．射线BC经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线CD与线段AB没有交点 【答案】C 【解答】解：A．选项A中的图形用语言描述为延长线段BA到C，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形用语言描述为点A在射线BC外，即射线BC不过点A，因此选项B不符合题意； C．选项C中的图形用语言描述为直线a与直线b相交于点P，即点P既在直线a上，也在直线b上，因此选项C符合题意； D．选项D中的图形用语言描述为射线CD与线段AB相交，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【变式3】如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） （1）作射线AC； （2）作直线BD与射线AC相交于点O； （3）分别连接AB、AD； （4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 AB+AD＞BD ，理由是 　两点之间，线段最短　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2）（3）如图所示： （4）AB+AD＞BD，理由是：两点之间，线段最短． 故答案为：AB+AD＞BD，两点之间线段最短． 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 解｜题｜知｜识 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 【典例1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释． 故选：C． 【变式1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．以上都不是 【答案】B 【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线． 故选：B． 【变式2】如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是 　两点确定一条直线　 ． 【答案】两点确定一条直线 【解答】解：∵甲尺是直的，两尺拼在一起两端重合， ∴甲尺经校订是直的，那么乙尺就一定不是直的， 判断依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【变式3】在教室中排课桌时，经常会在最前边和最后边的课桌旁拉一条直线，使得课桌排成整齐一行，体现的数学基本事实是：　两点确定一条直线　 ． 【答案】两点确定一条直线． 【解答】解：体现的数学基本事实是：两点确定一条直线的道理． 故答案为：两点确定一条直线． 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 解｜题｜知｜识 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 【典例1】如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（　　） A．两点之间直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】D 【解答】解：能解释这一现象的数学道理是两点之间线段最短． 故选：D． 【变式1】金秋十月，我校校园内色彩斑斓．小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．直线没有端点，向两端无限延伸 B．两点之间，线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【解答】解：数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 【变式2】为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．两直线相交只有一个交点 【答案】A 【解答】解：由题意可知：两点确定一条直线， 故选：A． 【变式3】黄伯云院士说：“所谓失败，就是做事过程中的一种状态我们做事，就要遇山打洞，逢水架桥，不要轻言放弃．”你能用学过的数学知识，来解释“遇山打洞，逢水架桥”的原因吗？　两点之间，线段最短　 ． 【答案】两点之间，线段最短． 【解答】解：“遇山打洞，逢水架桥”反映了最短路径，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 题型4 两点间的距离 解｜题｜知｜识 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 【典例1】下列说法错误的是（　　） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线AB和射线BA是同一条射线 【答案】D 【解答】解：A、过两点有且只有一条直线，说法正确，不符合题意； B、连接两点间线段的长度叫做两点的距离，说法正确，不符合题意； C、两点之间，线段最短，说法正确，符合题意； D、射线AB与射线BA不是同一条射线，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】延长线段AB到C，使BCAB，若AC＝15，点D为线段AC的中点，则BD的长为（　　） A．4.5 B．3.5 C．2.5 D．1.5 【答案】A 【解答】解：设CB＝x，则AB＝4x， ∴AC＝AB+BC＝x+4x＝5x， ∵AC＝15， ∴x＝3， ∴AB＝12， ∵D是AC的中点， ∴ADAC15＝7.5， ∴BD＝AB﹣AD＝12﹣7.5＝4.5． 故选：A． 【变式2】如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（　　） A．CD＝AD﹣BC B．CD＝AC﹣DB C．CDAB D．CDAB﹣DB 【答案】C 【解答】解：∵C是AB的中点，D是BC的中点 ∴AC＝BCAB，CD＝BDBC ∵CD＝AD﹣AC ∴CD＝AD﹣BC 故A正确 ∵CD＝BC﹣DB ∴CD＝AC﹣DB 故B正确 ∵AC＝BCAB，CD＝BDBC ∴CDAB 故C错误 ∵CD＝BC﹣DB ∴CDAB﹣DB 故D正确 故选：C． 【变式3】【新知理解】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若AB＝18cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝ 　6或9或12　 cm． 【答案】6或9或12 【解答】解：∵点C在线段AB上， ∴根据“巧点”的定义可知有以下三种情况： ①当点C靠近点A，且BC＝2AC时，如图1所示： ∴点C是线段的“巧点”， ∴AC+BC＝AB＝18cm， ∴3AC＝18cm， ∴AC＝6cm； ②当点C是线段AB的中点时，则AB＝2AC或AB＝2BC，如图2所示： ∴点C是线段的“巧点”， ∴ACAB＝9cm； ③当点C靠近点B，且AC＝2BC时，如图3所示： ∴点C是线段的“巧点”， ∵AC+BC＝AB＝18cm， ∴3BC＝18cm， ∴BC＝6cm， ∴AC＝AB﹣BC＝12cm， 综上所述：当点C是线段AB的巧点，则AC的长为6或9或12cm． 故答案为：6或9或12． 题型5 比较线段的长短 解｜题｜知｜识 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 【典例1】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．OF的长 B．OE的长 C．OD的长 D．OC的长 【答案】A 【解答】解：如图，连接OD，OF，OC，OE， 易知，OF＞OE＞OD＞OC， ∴该同学投掷铅球最好的成绩是OF的长． 故选：A． 【变式1】如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（　　） A．15cm B．7.5cm C．13.1cm D．12.1cm 【答案】C 【解答】解：∵水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm． ∴水笔的长度为20.6﹣5.6＝15，水笔的一半＝15÷2＝7.5， ∴水笔的中点位置的刻度约为5.6+7.5＝13.1． 故选：C． 【变式2】用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据用“叠合法”比较两条线段的方法以及各个选项所表达的操作过程可知， 选项C的方法是正确的， 故选：C． 【变式3】（1）特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点． ①若AM＝16cm，则CD＝　16　 cm； ②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON． ①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD＝　90　 度． ②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由． （3）类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，k，用含有k的式子表示∠COD的度数．（直接写出计算结果） 【答案】（1）①16；②不变，理由详见解答部分； （2）①90；②∠COD（∠MON+AOB）．理由详见解答部分； （3）∠COD30°． 【解答】解：（1）①∵MN＝30cm，AB＝2cm，AM＝16cm， ∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝12（cm）， ∵点C和点D分别是AM，BN的中点， ∴ACAM＝8cm，BDBN＝6cm． ∴AC+BD＝14（cm）． ∴CD＝AC+AB+BD＝14+2＝16（cm）． 故答案为：16． ②不变，理由如下： ∵点C和点D分别是AM，BN的中点， ∴ACAM，BDBN，． ∴AC+BDAMBN（AM+BN）． 又∵MN＝30cm，AB＝2cm， ∴AM+BN＝MN﹣AB＝30﹣2＝28（cm）． ∴AC+BD（AM+BN）＝14（cm）． ∴CD＝AC+AB+BD＝14+2＝16（cm）． （2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON， ∴∠AOC∠AOM，∠BOD∠BON． ∴∠AOC+∠BOD∠AOM∠BON（∠AOM+∠BON）． 又∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°， ∴∠AOM+∠BON＝∠MON﹣∠AOB＝120°． ∴∠AOC+∠BOD＝60°． ∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB＝60°+30°＝90°． 故答案为：90． ②∠COD（∠MON+AOB）．理由如下： ∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON， ∴∠AOC∠AOM，∠BOD∠BON． ∴∠AOC+∠BOD∠AOM∠BON（∠AOM+∠BON）． ∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB （∠AOM+∠BON）+∠AOB （∠MON﹣∠AOB）+∠AOB． （∠MON+AOB）． （3）∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°， ∴∠AOM+∠BON＝120°， ∵k， ∴∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD， ∴∠AOM＝∠MOC+∠AOC＝（1+k）∠AOC， ∠BON＝∠NOD+∠BOD＝（1+k）∠BOD， ∴∠AOC+∠BOD， ∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB30°． 题型6 线段的和差 解｜题｜知｜识 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 【典例1】有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．105cm B．20cm C．105cm或25cm D．105cm或20cm 【答案】C 【解答】解：由题知， ①如图所示， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴AM，AN， ∴MN＝AN﹣AM＝65﹣40＝25（cm）； ②如图所示， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴BM，BN， ∴MN＝BM+BN＝40+65＝105（cm）， 综上所述，MN的长为25cm或105cm． 故选：C． 【变式1】题目：“如图，有公共端点P的两条线段PM，PN组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD＝2，CE＝5，求线段BC的长．”甲答BC＝6，乙答BC＝12，丙答BC＝14，下列判断正确的是（　　） A．只有甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才正确 C．甲、丙的答案合在一起才正确 D．三人的答案合在一起才正确 【答案】C 【解答】解：∵点E为线段AC的中点，CE＝5， ∴， ∴AC＝10， 如图，当“折中点”D在BC上时， ∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”， ∴BD＝DC+CA， ∵CD＝2， ∴BD＝AC+DC＝10+2＝12， ∴BC＝BD+DC＝12+2＝14； 如图，当“折中点”D在AC上时， ∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”， ∴AD＝DC+CB， ∵CD＝2， ∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2＝8， ∴DC+CB＝8， ∴BC＝8﹣2＝6； 综上所述，BC的长为6或14， 即甲、丙的答案合在一起才正确， 故选：C． 【变式2】已知线段AB＝18，点C是AB的中点，点D是直线AB上一点，且，则CD的长为（　　） A．12 B．6 C．6或12 D．9或12 【答案】C 【解答】解：∵点C是AB的中点， ∴BC＝AB＝×18＝9， ∵且， ∴BD＝9÷3＝3， ①点D在线段AB上时，CD＝BC﹣BD＝9﹣3＝6， ②点D不在线段AB上时，CD＝BC+BD＝9+3＝12， 故选：C． 【变式3】综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段． （1）观察判断 如图1，点C为线段AB的“优点”． ①若AC＝6，AC＜BC，则AB＝　18　 ； ②若点D也是线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　＝　 BD（填“＝”或“≠”）； （2）性质探究 如图2，在原点为O的数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4．若点M在点N的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长； （3）拓展应用 在（2）的探究中，若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，请直接写出点G表示的数． 【答案】（1）①18；②＝； （2）； （3）5.5或10． 【解答】解：（1）①∵点C为线段AB的“优点”，AC＜BC，AC＝6， ∴BC＝2AC＝12， ∴AB＝AC+BC＝18， 故答案为：18； ②如图， ∵点D是线段AB的“优点”（不同于点C）， ∴AD＝2BD， ∴AB＝AD+BD＝2BD+BD＝3BD＝18， ∴BD＝6， ∴AC＝BD， 故答案为：＝； （2）由条件可知OF＝4， 当点M在点N左侧时，则MF＝2OM，ON＝2NF， ∴， ∵OF＝OM+MN+NF， ∴； （3）由条件可知EF＝4﹣1＝3， 线段EF，GF互为“优点”伴侣线段时，有EF＝2GF或GF＝2EF， 当EF＝2GF时，GF＝1.5， ∴点G表示的数为5.5， 当GF＝2EF时，GF＝6， ∴点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为5.5或10． 题型7 作图—尺规作图的定义 解｜题｜知｜识 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 【典例1】下列作图语句中，正确的是（　　） A．画直线AB＝6cm B．延长线段AB到C C．延长射线OA到B D．作直线使之经过A，B，C三点 【答案】B 【解答】解：∵直线无法测量，故选项A错误； 延长线段AB到C是正确的，故选项B正确； 射线OA本身是以点O为端点，向着OA方向延伸，故选项C错误； 如果点A、B、C三点不在同一直线上，则直线不能同时经过这三个点，故选项D错误； 故选：B． 【变式1】下列作图语句正确的是（　　） A．延长线段AB到C，使AB＝BC B．延长射线AB C．过点A作AB∥CD∥EF D．作∠AOB的平分线OC 【答案】D 【解答】解：A、应为：延长线段AB到C，BC＝AB，故本选项错误； B、射线本身是无限延伸的，不能延长，故本选项错误； C、过点A作只能作CD或EF的平行线，CD不一定平行于EF，故本选项错误； D、作∠AOB的平分线OC，正确． 故选：D． 【变式2】下列语句中表述正确的是（　　） A．延长直线AB B．延长线段AB C．作直线AB＝BC D．延长射线OC 【答案】B 【解答】解：A．直线向无穷远延伸，故此选项错误； B．线段不能延伸，故可以说延长线段AB，故此选项正确； C．根据直线向无穷远延伸没有长度，故不能说作直线AB＝BC，故此选项错误； D．根据射线向一端无穷远延伸，故此选项错误． 故选：B． 过 关 验 收 1. 如图，下列说法正确的是（　　） A．点O在线段AB上 B．点B是直线AB的一个端点 C．射线OB和射线AB是同一条射线 D．图中共有3条线段 【答案】D 【解答】解：A、点O在线段AB外，选项说法错误，不符合题意； B、点B是直线AB的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意； C、射线OB和射线AB不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 2. 如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（　　）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【解答】解：图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，单程要10种车票，往返就是20种，即5×（5﹣1）＝20， 故选：C． 3. 下列说法不正确的有（　　） ①绝对值是本身的数是正数； ②符号不同的两个数互为相反数； ③两数相加，和一定大于任何一个加数； ④线段AB和线段BA表示的是同一条线段． A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【解答】解：①绝对值是本身的数是非负数，故①符合题意； ②符号不同的两个数不一定是互为相反数，故②符合题意； ③两数相加，和不一定大于任何一个加数，故③符合题意； ④线段AB和线段BA表示的是同一条线段，故④不符合题意， 故选：C． 4. 如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 　20　 种车票． 【答案】20 【解答】解：根据题意，这段路线有10条线段， ∴在这段路线上往返行车，需印制10×2＝20种车票， 故答案为：20． 5. 画图，平面上有四点，A、B、C、D，根据语句画图． （1）画直线AB，CD交于点E； （2）画线段AC、BD相交于F点； （3）画射线BC． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1） （2） （3） 6. 下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧可以利用“两点确定一条直线”来解释，而弯曲公路改直，则可以利用“两点之间线段最短”来解释，所以可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有3个， 故选：C． 7. “雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着…”句中，雨“像细丝”说明（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】A 【解答】解：“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着…”句中， 雨“像细丝”说明了：点动成线． 故选：A． 8. 下列四个生活中的现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线； ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【解答】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是“两点确定一条直线”，符合题意； ②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线，根据是“两点确定一条直线”，符合题意； ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设，根据是“两点之间线段最短”，不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是“两点之间线段最短”，不符合题意． 故选：A． 9. 如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（　　） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】C 【解答】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上， 这样做的依据是：两点确定一条直线． 故选：C． 10. 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 　两点确定一条直线　 ． 【答案】两点确定一条直线 【解答】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 11. 生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【解答】解：现象1：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 12. 毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（　　） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 【答案】C 【解答】解：用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短． 故选：C． 13. 如图，l是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄A，B，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点M，则小聪设计的理由是 　两点之间，线段最短　 ． 【答案】两点之间，线段最短 【解答】解：小聪设计的理由是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 14. 如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A、B的距离之和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是　两点之间，线段最短　 ． 【答案】两点之间，线段最短 【解答】解：这里用到的数学基本事实是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 15. 下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③从A地到B地，架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用定理“两点之间，线段最短”来解释的现象有 　③④　 ．（填序号） 【答案】③④ 【解答】解：①②现象可以用两点可以确定一条直线来解释； ③④现象可以用两点之间，线段最短来解释． 故答案为：③④． 16. 已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A．ACAB B．AC＝CB C．AB＝2CB D．AC+CB＝AB 【答案】D 【解答】解：A、ACAB，则点C是线段AB中点； B、AC＝CB，则点C是线段AB中点； C、AB＝2CB，则C是线段AB中点； D、AC+CB＝AB，点C可以是线段AB上任意一点． 故选：D． 17. 如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（　　） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．无法确定 【答案】C 【解答】解：由题意可知，C点分两种情况， ①C点在线段AB延长线上，如图1， AC＝AB+BC＝3+2＝5（cm）； ②C点在线段AB上，如图2， AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1（cm）． 综合①②A、C两点之间的距离为1cm或5cm． 故选：C． 18. 下列说法正确的是（　　） A．连接两点的线段叫做这两点的距离 B．过一点有且只有一条直线 C．若AP＝BP，则点P为线段为AB的中点 D．反向延长射线AB 【答案】D 【解答】解：对于选项A， ∵连接两点的线段的长度叫做这两点的距离， ∴该选项不正确，不符合题意； 对于选项B， ∵过两点有且只有一条直线，过一点可以画无数条直线， ∴该选项不正确，不符合题意； 对于选项C， ∵AP＝BP， ∴当点P在线段AB上时，则点P是线段为AB的中点，当点P不在线段AB上时，则点P不是线段为AB的中点， ∴该选项不正确，不符合题意； 对于选项D， ∵反向延长射线AB 正确， ∴该选项符合题意． 故选：D． 19. 如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝5，CE＝7，则线段BC的长为 　24或4　 ． 【答案】24或4 【解答】解：根据题意分以下两种情况： ① 此时BC＝CD+BD＝CD+（AC+CD）＝CD+（2CE+CD）＝24； ② 此时BC＝（BC+CD）﹣CD＝AD﹣CD＝CE+CE﹣CD﹣CD＝4； 故答案为：24或4． 20. 如图1，OP为一条拉直的细线，长为7cm，A，B两点在OP上，若先握住点B，将OB折向BP，使得OB重叠在BP上，如图2．再从图2的A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段．若这三段的长度由短到长之比为1：2：4，其中以点P为一端的那段细线最长，则OB的长为　2或2.5　 cm． 【答案】2或2.5 【解答】解：由题意可知剪断后的三段可以表示为OA、2AB、PB﹣AB， 而这三段的长度由短到长之比为1：2：4，于是可设三段分别为m，2m，4m ∵OA+2AB+PB﹣AB＝OP＝7 即m+2m+4m＝7 ∴m＝1 ∴剪断后的三条线段的长分别为1cm，2cm，4cm 又∵以点P为一端的那段细线最长 ∴PB﹣AB＝4，于是分类 ①若OA＝1，则2AB＝2，PB﹣AB＝4 ∴OA＝AB＝1，PB＝5 此时OB＝2 ②若2AB＝1，则OA＝2，PB﹣AB＝4 ∴OA＝2，AB＝0.5，PB＝4.5 此时OB＝2.5 故答案为2或2.5． 21. 已知线段AB和点P，如果PA+PB＝AB，那么（　　） A．点P为AB中点 B．点P在线段AB上 C．点P在线段AB外 D．点P在线段AB的延长线上 【答案】B 【解答】解：如图： ∵PA+PB＝AB， ∴点P在线段AB上． 故选：B． 22. 如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有 　6　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的大小：AC　＝　 BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长． 【答案】（1）6；（2）①＝，②20． 【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条， 故答案为：6． （2）①∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即AC＝BD， 故答案为：＝． ②∵BD＝4AB，AB＝CD， ∴BC＝3AB， ∵BC＝12， ∴AB＝4， ∴AD＝AB+BD ＝4+4×4 ＝20（cm）， 23. 综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点． 【知识探究】 （1）若AC＝6cm，则EF＝　12　 cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD， ①若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，则∠EOF＝　90°　 ． ②试判断∠EOF的大小是否发生变化？如果不变，请确定∠EOF的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）12； （2）EF的长度不变，EF＝12cm，EF的长度不变，EF＝12cm， ∵，． ∴EF＝EC+CD+DF ＝12（cm）； （3）①90°；②∠EOF的大小不会变化，． 【解答】解：（1）∵AC＝6cm，AB＝20cm，CD＝4cm， ∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝10（cm）， ∵，． ∴EF＝EC+DF+CD＝3+5+4＝12（cm）， 故答案为：12； （2）EF的长度不变，EF＝12cm， ∵，． ∴EF＝EC+CD+DF ＝12（cm）； （3）①，． ∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF ∵∠COD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠BOD ∴ ＝90°， 故答案为：90°； ②∠EOF的大小不会变化， 由①知， ∴∠EOF的大小不会变化，且． 24. （1）特例感知：如图1，已知线段MN＝20，AB＝2，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点． ①若AM＝8，则CD＝　11　 ：（直接填写答案） ②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD． 【答案】（1）11； （2）不变，CD＝11，理由详见解答； （3）90°． 【解答】解：（1）∵MN＝20，AB＝2，AM＝8， ∴BN＝20﹣8﹣2＝10， ∵点D是BD的中点，点C是AM的中点， ∴BD＝DNBN＝5，MC＝ACAM＝4， ∴CD＝CA+AB+BD＝4+2+5＝11， 故答案为：11； （2）CD的长不会发生改变，CD＝11， ∵点D是BD的中点，点C是AM的中点， ∴BD＝DNBN，MC＝ACAM， ∴CD＝CA+AB+BD AMBN+AB （AM+BN）+AB （MN﹣AB）+AB （MN+AB） （20+2） ＝11； （3）∵OC是∠AOM的平分线，OD是∠BON的平分线， ∴∠COM＝∠AOC∠AOM，∠BOD＝∠DON∠BON， ∴∠COD＝∠COA+∠AOB+∠BOD ∠AOM∠BON+∠AOB （∠AOM+∠BON）+∠AOB （∠MON﹣∠AOB）+∠AOB （∠MON+∠AOB） （150°+30°） ＝90°． 25. 如图，已知线段AB上有两点C、D，且AC＝BD，M、N分别是线段AC、AD的中点，若AB＝acm，AC＝BD＝bcm，且a、b满足． （1）求AB、AC的长度． （2）求线段MN的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可知： （a﹣10）2＝0，|4|＝0， ∴a＝10，b＝8， ∴AB＝10cm，AC＝8cm； （2）∵BD＝AC＝8cm， ∴AD＝AB﹣BD＝2cm， 又∵M、N是AC、AD的中点， ∴AM＝4cm，AN＝1cm． ∴MN＝AM﹣AN＝3cm． 26. 有两根木条，一根AB长为60cm，另一根CD长为90cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．15cm B．75cm C．15cm或75cm D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：由题意，∵M，N分别是AB、CD的中点，AB＝60cm，CD＝90cm， ∴，， 当点A与点C重合时， ∴MN＝CN﹣AM＝45﹣30＝15（cm）； 当点A与点D重合时， ∴MN＝DN+AM＝45+30＝75（cm）， 故选：C． 27. 已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，M是线段AC的中点，则线段AM的长为　3或7　 cm． 【答案】3或7． 【解答】解：①当点C在线段AB上时，如图， ∵AB＝10cm，BC＝4cm， ∴AC＝AB﹣BC＝10﹣4＝6（cm）． ∵点M是AC的中点， ∴AMAC＝3（cm）； ②当点C在线段AB的延长线时，如图， ∵AB＝10cm，BC＝4cm， ∴AC＝AB+BC＝10+4＝14（cm）， ∵点M是AC的中点， ∴AMAC＝7（cm）． 综上，线段AM的长是3cm或7cm． 故答案为：3或cm． 28. 如图，点C、D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点．求线段CD的长，补全下面过程 （1）求线段CD的长，补全下面过程： ∵AB＝12，AC＝2， ∴BC＝AB﹣AC ＝　10　 ， ∵D为线段BC的中点， ∴BC ＝　5　 ． （2）若点E是直线AB上一点，且AE＝CD，则线段EB的长为　17或7　 ． 【答案】（1）AC，10，BC，5； （2）17或7． 【解答】解：（1）∵AB＝12，AC＝2， ∴BC＝AB﹣AC＝10， ∵D为线段BC的中点， ∴； 故答案为：AC，10，BC，5； （2）∵AE＝CD，CD＝5， ∴AE＝5， 当点E在点A左边时， BE＝AB+AE＝12+5＝17； 当点E在点A右边时， BE＝AB﹣AE＝12﹣5＝7， 综上所述，BE的长为17或7． 故答案为：17或7． 29. 【概念学习】点C在直线AB上，若a，则称a是点C在直线AB上的“求真值”，记作QZ（A，B）C＝a． 例如，如图，若，则点M在直线AB上的“求真值”是，记作QZ（A，B）M；若，则，故点D在直线AB上的“求真值”是，记作QZ（A，B）D． 【理解与应用】 （1）已知点M在线段AB上，若AB＝5，AM＝2.5，则QZ（A，B）M＝　　 ；若BM＝7，QZ（A，B）M，则AB＝　　 ． （2）如图，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求QZ（A，B）M的值； ②若N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求QZ（A，B）N的值． 【答案】（1），； （2）①；②或． 【解答】解：（1）点C在直线AB上，若，则称a是点C在直线AB上的“求真值”，记作QZ（A，B）C＝a．则： ∵AB＝5，AM＝2.5， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）①设运动时间为t秒， ∴CM＝t，DB＝3t， ∴MD＝BM﹣DB＝BM﹣3t，AC＝AM﹣CM＝AM﹣t， ∵MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3（AM﹣t）， ∴BM＝3AM， ∴AB＝AM+BM＝4AM， ∴， ∴． ②若N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN， 当点N在线段AB上时，如图： ∵AN﹣BN＝MN， ∴ ∴， ∴， 当点N在线段AB的延长线上时，如图： ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB， ∴MN＝AB， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.2 直线、射线、线段 内 容 导 航 题型1 直线、射线、线段 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 题型4 两点间的距离 题型5 比较线段的长短 题型6 线段的和差 题型7 作图—尺规作图的定义 考 点 演 练 题型1 直线、射线、线段 解｜题｜知｜识 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 【典例1】如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：cm）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（　　） A．3个 B．6个 C．8个 D．10个 【变式1】如图，下列说法正确的是（　　） A．直线OB和直线BO不是同一条直线 B．点B是直线AB的一个端点 C．射线OA和射线OB不是同一条射线 D．点A在线段OB上 【变式2】下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段AB到C B．射线BC经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线CD与线段AB没有交点 【变式3】如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） （1）作射线AC； （2）作直线BD与射线AC相交于点O； （3）分别连接AB、AD； （4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 ，理由是 　 　 ． 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 解｜题｜知｜识 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 【典例1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．以上都不是 【变式2】如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是 　 　 ． 【变式3】在教室中排课桌时，经常会在最前边和最后边的课桌旁拉一条直线，使得课桌排成整齐一行，体现的数学基本事实是：　 ． 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 解｜题｜知｜识 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 【典例1】如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（　　） A．两点之间直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【变式1】金秋十月，我校校园内色彩斑斓．小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．直线没有端点，向两端无限延伸 B．两点之间，线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点确定一条直线 【变式2】为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．两直线相交只有一个交点 【变式3】黄伯云院士说：“所谓失败，就是做事过程中的一种状态我们做事，就要遇山打洞，逢水架桥，不要轻言放弃．”你能用学过的数学知识，来解释“遇山打洞，逢水架桥”的原因吗？　 　 ． 题型4 两点间的距离 解｜题｜知｜识 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 【典例1】下列说法错误的是（　　） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线AB和射线BA是同一条射线 【变式1】延长线段AB到C，使BCAB，若AC＝15，点D为线段AC的中点，则BD的长为（　　） A．4.5 B．3.5 C．2.5 D．1.5 【变式2】如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（　　） A．CD＝AD﹣BC B．CD＝AC﹣DB C．CDAB D．CDAB﹣DB 【变式3】【新知理解】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若AB＝18cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝ 　 　 cm． 题型5 比较线段的长短 解｜题｜知｜识 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 【典例1】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．OF的长 B．OE的长 C．OD的长 D．OC的长 【变式1】如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（　　） A．15cm B．7.5cm C．13.1cm D．12.1cm 【变式2】用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（1）特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点． ①若AM＝16cm，则CD＝　 　 cm； ②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON． ①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD＝　 　 度． ②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由． （3）类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，k，用含有k的式子表示∠COD的度数．（直接写出计算结果） 题型6 线段的和差 解｜题｜知｜识 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 【典例1】有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．105cm B．20cm C．105cm或25cm D．105cm或20cm 【变式1】题目：“如图，有公共端点P的两条线段PM，PN组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD＝2，CE＝5，求线段BC的长．”甲答BC＝6，乙答BC＝12，丙答BC＝14，下列判断正确的是（　　） A．只有甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才正确 C．甲、丙的答案合在一起才正确 D．三人的答案合在一起才正确 【变式2】已知线段AB＝18，点C是AB的中点，点D是直线AB上一点，且，则CD的长为（　　） A．12 B．6 C．6或12 D．9或12 【变式3】综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段． （1）观察判断 如图1，点C为线段AB的“优点”． ①若AC＝6，AC＜BC，则AB＝　 　 ； ②若点D也是线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　 　 BD（填“＝”或“≠”）； （2）性质探究 如图2，在原点为O的数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4．若点M在点N的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长； （3）拓展应用 在（2）的探究中，若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，请直接写出点G表示的数． 题型7 作图—尺规作图的定义 解｜题｜知｜识 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 【典例1】下列作图语句中，正确的是（　　） A．画直线AB＝6cm B．延长线段AB到C C．延长射线OA到B D．作直线使之经过A，B，C三点 【变式1】下列作图语句正确的是（　　） A．延长线段AB到C，使AB＝BC B．延长射线AB C．过点A作AB∥CD∥EF D．作∠AOB的平分线OC 【变式2】下列语句中表述正确的是（　　） A．延长直线AB B．延长线段AB C．作直线AB＝BC D．延长射线OC 过 关 验 收 1. 如图，下列说法正确的是（　　） A．点O在线段AB上 B．点B是直线AB的一个端点 C．射线OB和射线AB是同一条射线 D．图中共有3条线段 2. 如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（　　）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 3. 下列说法不正确的有（　　） ①绝对值是本身的数是正数； ②符号不同的两个数互为相反数； ③两数相加，和一定大于任何一个加数； ④线段AB和线段BA表示的是同一条线段． A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 4. 如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 　20　 种车票． 5. 画图，平面上有四点，A、B、C、D，根据语句画图． （1）画直线AB，CD交于点E； （2）画线段AC、BD相交于F点； （3）画射线BC． 6. 下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7. “雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着…”句中，雨“像细丝”说明（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 8. 下列四个生活中的现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线； ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 9. 如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（　　） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 10. 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 　 　 ． 11. 生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 12. 毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（　　） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 13. 如图，l是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄A，B，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点M，则小聪设计的理由是 　 　 ． 14. 如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A、B的距离之和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是　 　 ． 15. 下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③从A地到B地，架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用定理“两点之间，线段最短”来解释的现象有 　 　 ．（填序号） 16. 已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A．ACAB B．AC＝CB C．AB＝2CB D．AC+CB＝AB 17. 如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（　　） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．无法确定 18. 下列说法正确的是（　　） A．连接两点的线段叫做这两点的距离 B．过一点有且只有一条直线 C．若AP＝BP，则点P为线段为AB的中点 D．反向延长射线AB 19. 如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝5，CE＝7，则线段BC的长为 　 　 ． 20. 如图1，OP为一条拉直的细线，长为7cm，A，B两点在OP上，若先握住点B，将OB折向BP，使得OB重叠在BP上，如图2．再从图2的A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段．若这三段的长度由短到长之比为1：2：4，其中以点P为一端的那段细线最长，则OB的长为　 　 cm． 21. 已知线段AB和点P，如果PA+PB＝AB，那么（　　） A．点P为AB中点 B．点P在线段AB上 C．点P在线段AB外 D．点P在线段AB的延长线上 22. 如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有 　 　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的大小：AC　 　 BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长． 23. 综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点． 【知识探究】 （1）若AC＝6cm，则EF＝　 　 cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD， ①若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，则∠EOF＝　 　 ． ②试判断∠EOF的大小是否发生变化？如果不变，请确定∠EOF的大小，如果变化，请说明理由． 24. （1）特例感知：如图1，已知线段MN＝20，AB＝2，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点． ①若AM＝8，则CD＝　 　 ：（直接填写答案） ②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD． 25. 如图，已知线段AB上有两点C、D，且AC＝BD，M、N分别是线段AC、AD的中点，若AB＝acm，AC＝BD＝bcm，且a、b满足． （1）求AB、AC的长度． （2）求线段MN的长度． 26. 有两根木条，一根AB长为60cm，另一根CD长为90cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．15cm B．75cm C．15cm或75cm D．以上都不对 27. 已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，M是线段AC的中点，则线段AM的长为　 　 cm． 28. 如图，点C、D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点．求线段CD的长，补全下面过程 （1）求线段CD的长，补全下面过程： ∵AB＝12，AC＝2， ∴BC＝AB﹣AC ＝　 　 ， ∵D为线段BC的中点， ∴BC ＝　 　 ． （2）若点E是直线AB上一点，且AE＝CD，则线段EB的长为　 　 ． 29. 【概念学习】点C在直线AB上，若a，则称a是点C在直线AB上的“求真值”，记作QZ（A，B）C＝a． 例如，如图，若，则点M在直线AB上的“求真值”是，记作QZ（A，B）M；若，则，故点D在直线AB上的“求真值”是，记作QZ（A，B）D． 【理解与应用】 （1）已知点M在线段AB上，若AB＝5，AM＝2.5，则QZ（A，B）M＝ 　 ；若BM＝7，QZ（A，B）M，则AB＝ 　 ． （2）如图，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求QZ（A，B）M的值； ②若N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求QZ（A，B）N的值． 学科网（北京）股份有限公司 $