5.4.1 -5.4.2正弦函数、余弦函数的图象与性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦、余弦函数的图象与性质，涵盖定义域、值域、周期性等核心知识点，通过“五点法”作图衔接函数图象与性质，以思维导图梳理知识脉络，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 其亮点在于采用分层训练模式，结合高考真题与培优练习，以数学思维引导学生通过图象观察（数学眼光）、逻辑推理（如复合函数单调性分析）掌握性质，用规范符号语言（数学语言）表达解题过程。学生能提升数形结合能力，教师可直接利用一体化资源高效教学。

高一数学●2024人教A版必修一 第五章 三角函数 5.4. 1&2正弦函数、余弦函数的图象与性质 本节理解正弦、余弦函数的图象特征，掌握定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，会用五点法作图，能解决基础习题，感受数形结合的数学思想。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括145张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 正弦函数与余弦函数的图象 1 正弦函数的图象 （1）正弦函数， 的图象（图5.4.1-1） 图5.4.1-1 4 （2）五点（画图）法 观察图5.4.1-1，在函数，的图象上，以下五个点：, , ,,在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数 ， ， 的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五 个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法 叫做“五点（画图）法”. 5 2 余弦函数的图象 图5.4.1-2 （1）图象变换法作余弦函数的图象 将正弦函数的图象向左平移 个单位长度，就 得到余弦函数的图象，如图5.4.1-2所示． （2）五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数的图象，函数在，上的图象的五个关键点是： , ,,, （区分正弦函数、 余弦函数图象中的五个关键点）．先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的 曲线连接起来就得到了函数在， 上的简图，再通过左右平移即可得到 余弦函数， 的图象． 6 3 正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 7 例1 ［教材改编P199例1］ （1）作出函数 的简图； 【解析】列表： 0 0 1 0 0 0 2 0 0 8 图5.4.1-7 描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数 的图象,如图5.4.1-7所示. 9 （2）作出函数 的简图． 【解析】列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 图5.4.1-8 描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数 的图象，如图5.4.1-8所示. 10 用“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤 11 知识点2 正弦函数、余弦函数的性质 1 周期函数 （1）定义：一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数 ，使得对 每一个都有，且，那么函数 就叫做周期函 数．非零常数 叫做这个函数的周期．#1.1 12 知识剖析 对周期函数定义的几点说明 ①周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的．如果只有个别的 值满足 ,那么是不能称为 的周期的. ②从等式来看，自变量本身所加的非零常数才是周期，如, 不 是周期，而应写成,即是 的周期. ③周期函数的周期不唯一，如果是函数的周期，那么且 也是函 数 的周期． ④函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研 究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质．#1.1.1.1.4 13 （2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小正数就叫做 的最小正周期． 特别提醒 1.并非所有的周期函数都有最小正周期.如常数函数，所有非零实数 都是它的周期，但最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期. 2.一般不做特殊说明时，周期就是指最小正周期. （3）周期公式：一般地，函数及（其中, , 为常数，且，）的周期为 . 14 2 正弦函数、余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：#1 函数 图象 定义域 值域 周期性 最小正周期: 最小正周期: 奇偶性 奇函数 偶函数 15 函数 单调性 增区间 , , 减区间 ， 最值 当 时， ; 当 时， 当 时， ; 当 时， 图象对称性 对称中心: 对称轴方程: 对称中心:, 对称轴方程: 续表 表格中 .#1.1.1 特别提醒（1）奇偶性：判断函数的奇偶性时，一定要判断函数的定义域是否关于原 点对称.当定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性. （2）单调性：在定义域 上，正弦函数和余弦函数都有无数个单调递增区间，也有 无数个单调递减区间，故这两个函数都不是定义域内的单调函数. （3）最值：两个函数都有无数个最大值点与最小值点. （4）对称性：①两个函数图象都有无数个对称中心，也有无数条对称轴；②一个周 期内，正弦函数和余弦函数都在图象对称轴与其交点处取得最值；③若定义域不是 ， 则正弦曲线和余弦曲线不一定有对称轴和对称中心.#1.2.3 例2 ［教材改编P203 T2］函数 的最小正周期是( ) B A. B. C. D. 【解析】方法1：（定义法） 令，由得,，且 的最小 正周期为 ， 即 ， 所以 ， 所以 ， 由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为 . 方法2：（公式法） . 18 例3 ［多选题,教材改编P203 T3］下列函数是偶函数的为( ) AC A. B. C. D. 19 【解析】由，可得 ， 所以函数的定义域为, }. （函数定义域关于原点对称，进行下一步操作） 因为，所以 是偶函数,A符合题意. 函数的定义域为 ， ，故 不是偶 函数，B不符合题意. 因为的定义域为，且 ，所以 为偶函数，C符合题意. 因为的定义域为，又 ， 所以 不是偶函数，D不符合题意. 20 例4 若函数和在区间上都单调递增，则区间 可以是( ) D A., B., C. , D., 【解析】函数和在区间上都单调递增，则区间 为 ，，当 时，即选项D. （事实上，在（0，）上两个函数单调性相反，在， 上两个函数单调递减，在 ， 上两个函数单调性相反） 21 知识点3 正弦型函数及余弦型函数 的性质 1 函数和 的性质 函数 定义域 值域 单调性 当,时，将 视为整体，代入或 相 应的单调区间求解； 当或 时，注意单调区间的变化. 22 函数 奇偶性 当 时为奇函数， 当 时为偶函数. 当 时为偶函数， 当 时为奇函数. 周期性 最小正周期 最小正周期 图象对称性 将 视为整体，代入或 相应的对称轴方程或 对称中心的横坐标满足的方程求解. 续表 23 2 三角函数的最值与单调性之间的联系 图5.4.1-3 如图5.4.1-3，由三角函数 的图象 可知：图象相邻两个最大值之间的距离为一个周期，两个 最大值之间有一个最小值，从左至右第一个最大值对应的 与最小值对应的 之间构成的区间为减区间，第一个 最小值对应的与第二个最大值对应的 之间构成 的区间为增区间，从而三角函数 的单调递减区间为 ，单调递 增区间为 . 24 图5.4.1-4 当然也可以从右至左来看，如图5.4.1-4，最大值对 应的自变量的值向左半个周期所对应的区间为增区 间，此时三角函数 的单调 递增区间为 ，单调递 减区间为 . 函数的最小值的相应情况可类似讨论. 25 3 三角函数的最值与奇偶性之间的联系 图5.4.1-5 由图5.4.1-5可知，当且仅当 取得最值时， 三角函数, , 为常数， 且 为偶函数. 图5.4.1-6 由图5.4.1-6可知，当且仅当 时， 三角函数, , 为常 数，且 为奇函数. 26 4 三角函数的最值与周期性之间的联系 由三角函数的图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期 ，相邻最大值与最 小值之间的区间长度为，相邻的图象最高（低）点与图象与 轴的交点（最值点与 零点）之间的区间长度为 . 27 5 最值、零点与对称性之间的关系 函数在处取最大（小）值，则函数图象关于直线 对称；在处函数值为0，则函数图象关于点 对称. 28 例5 ［多选题］(2026·黑龙江省牡丹江市名校协作体期末)关于函数 ，下列结论正确的是( ) BD A.若,则是 的整数倍 B.函数与 的图象重合 C.的图象关于点， 对称 D.的图象关于直线 对称 29 【解析】由得（, 是函数 ）的两个零点）,又函数的周期 ，则是 的整数倍， 故A错误. ,故B正确. 当时， ,即函数图象不关于点 , 对称，故C错误. 当时,,是最小值，则 的图象关于直线 对称，故D正确. 30 例6 若函数是上的偶函数，则 等于( ) C A.0 B. C. D. 【解析】方法1：因为函数图象的对称轴方程为 , ,所以函数 的图象的对称轴方程应满足 ,.又 是偶函数，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以 , ,又 ,所以 . 方法2：若函数为偶函数,则或，即或 ， 又 ，所以 . 方法3：因为函数是奇函数，要使 是偶函数，只 需把的图象向左平移个单位长度即可，即只需 . 31 例7 已知函数的图象关于直线对称，则 的值 是____． 【解析】由函数的图象关于直线对称，得 ， 因为，所以，所以,解得 . 32 方法帮丨解题突破 题型1 正、余弦函数图象的应用 类型1 函数图象的识别问题 例8 函数在区间[- , 上的图象可能是( ) A A. B. C. D. 33 【解析】令 ，则 ，所以 为奇函数， 排除C,D,又 ，排除B，选A.（观察图象，有两个不同点：①关于原点 对称或关于轴对称； ）或 ）的正负） 34 解题通法 解决图象识别问题的基本思路 函数图象与解析式的对应问题一般是根据图象所反映出的函数性质来解决的，比如 函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性、函数值的正负等，此外零点也可以作为 判断的依据. 特别需要注意的是,在解决与图象识别有关的选择题时，应灵活运用特例排除法来排 除有关选项. 35 练变式1 (2026·安徽省淮南第二中学期末)函数 的图象大致为( ) A A. B. C. 【解析】函数的定义域为 ， 因为，所以函数为偶函数，函数图象关于 轴 对称，故排除C，D； （不同点一：函数的奇偶性，即图象的对称性） 当,时，，，则 ，排除B，故选A． （不同点二：函数值在区间, 上的正负） 36 类型2 解三角不等式 例9 ［教材改编P214 T11］不等式 的解集为_____________________ _____________． , 图5.4.1-9 【解析】第一步：画出，时 的图象. 函数,, 的图象如图5.4.1-9所示． 第二步：由图象推出 的解集. 由图象知 ， 又的周期为 ， 所以的解集为 , . 37 第三步：用代替 解出 . 令 ,可得不等式的解集为, . 解题通法 用正弦曲线（余弦曲线）解三角不等式（如或 ）的步骤 注意：解时，只需先求出不等式 的解集，然后用 代替“ ”，再解关于 的不等式即可. 39 练变式2 若集合,,, ,则 _ ______________. 【解析】首先作出正弦函数与余弦函数的图象，以及直线 ,如图D 5.4.1-1所示. （阴影部分） 图D 5.4.1-1 结合图象可得集合，分别为, ,可得 . 40 类型3 利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题 例10 函数，，的图象与直线 有且仅有两个不 同的交点，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 图5.4.1-10 【解析】 如图5.4.1-10，数形结合可知的取值范围是 . （作图时可通过 图象变换作图，也可通过五点法作 图） 41 变式：若交点个数改为零个、一个、三个、四个时，结果又如何？ 提示若有零个交点，则或;若有一个交点，则 ;若有三个不同交点， 则或;若有四个不同交点，则 . 42 题型2 值域与最值问题 类型1 利用三角函数的有界性和单调性求值域（或最值） 例11 ［教材改编P214 T10］求下列函数的值域： 43 （1） ; 【解析】， . 令（换元法），易知在 上单调递增， 此时, . 在 上单调递减， 此时 , . （也可用复合函数的单调性求解） 函数,,的值域为 . 44 （2） . 【解析】 且当时，（三角函数的有界性）, 函数 的值域为 . 45 类型2 化为或 型函数求值域（或最值） 例12 求函数， 的最大值. 46 【解析】 . （需注意，与的大小关系不明确，需分情况讨论，切勿直接认为 的最小值为0） ①若，则当 时， 取得最大值， ; ②若，则当时，取得最大值， ； ③若，则当时，取得最大值， . 综上，, ; , ; , . 47 在解决含有正弦函数及正弦型函数的最值问题时，一定要注意正弦 函数的有界性，即 这一隐含条件. 48 类型3 分离常量求值域（或最值） 例13 求函数 的值域. 【解析】 . 因为,所以，即 , 所以,所以函数的值域为 . 49 也可利用正弦函数的有界性求解. 由，得,即,显然 ,故 . 因为,所以,解得，所以函数的值域为 . 50 解题通法 与三角函数有关的函数的值域（或最值）的求解思路 1.求形如 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性求解 . 2.对于形如的函数，当定义域为 时，值域为 ；当定义域为某个给定的区间时，需先确定 的范围，然后 结合函数的单调性确定值域. 3.求形如，, 的函数的值域或最值时，可以先通过 换元，令，将原函数转化为关于 的二次函数，然后利用配方法求值域或最 值,求解过程中要注意正弦函数的有界性. 4.求形如, 的函数的值域时，可以用分离常量法；也可以利用正弦 函数的有界性建立关于的不等式反解出 .#1.1.4 51 练变式3 求下列函数的值域： （1）， , ； 【答案】当 ,时，令, ， 由正弦函数性质得,在,上单调递增，在, 上单调递减，则 ， 即，则函数值域为 . （2），, ； 【答案】当,时， ， 当 ,时， ， 所以函数的值域为, ． 52 （3） ； 【答案】 ， 因为，所以 ， 即，故 . 故函数值域为, . （4） . 【答案】因为 , 所以当时，;当时， . 故函数的值域为, . 53 题型3 单调性问题致敬经典 类型1 求正、余弦型函数的单调区间 例14 函数 的单调递增区间为__________________ _________. ,, 54 【解析】方法1：函数的单调递增区间为 ,, . 令 , （为什么这样做可以看母题探源的分析）， 得 ,，所以函数 的单调递增区间为 ,, . 方法2：令，得，所以函数在 处取得最大值. 又函数的最小正周期为 ，根据周期性与单调性（一个单调区间为半个周期）的关 系可知，函数的一个单调递增区间为,,即, , 所以函数的单调递增区间为 ,, . 55 用“同增异减”的眼光看正弦型函数的单调性 该母题取材于教材第207页【例5】及第207页【练习】第3题和第5题，解此类题的关 键是对求复合函数单调性的口诀“同增异减”的灵活运用，函数 可看 成是外层函数，内层函数的复合，内层函数 在定义 域 上是单调递增的，但是外层函数在定义域上显然有增有减，根据“同增异减”口诀， 函数 的单调递增区间就是外层函数的递增区间.这就是令 ）的由来. 56 子题1 函数 的单调递减区间为_________________________. ,, 【解析】求函数的单调递减区间,即求函数 的单 调递增区间， 令 ,，得 , ， 所以函数的单调递减区间为 ,, . 结合母题及子题1可知，在同一单调区间上，函数 与函数 的单调性相反. 57 子题2 函数 的单调递增区间为_________________________. ， 【解析】方法1：（因为 的系数为负数，所以此处不能直接由 ， 求得单调递增区间） , 令, , 得, , 所以函数的单调递增区间为， ． 58 方法2： ,求它的单调递增区间，即求函数 的单调递减区间.由, ,得 , . 故所求函数的单调递增区间为， ． 方法3：函数的单调递减区间为 ,,， 是 减函数，因此由复合函数的单调性可知，求 的单调递增区间， 即求 , 的解集. 解之可得， , ①，由 的任意性可知，①式等价于 , . 所以的单调递增区间为， . 当或中的 是负数时，我们一 般先将 转化为正数，然后结合或 的单调性求解单调区间. 例15 函数 的单调递增区间为_____________________________. ， 61 【解析】由题意，得 （【明易错】千万不能忽略对数函数的定义域， 应保证真数大于0，不能直接求 ）的单调递增区间）， 所以 ， , 解得 ， . 令 , , 则 , . 所以的单调递增区间为 （与定义域求交集可 得最终结果）， ， 所以函数的单调递增区间为， . 62 解题通法 求单调区间的基本方法——基本函数法 63 练变式4 (2026·浙江省杭州高级中学期末)下列区间中，函数 单调 递增的区间是( ) A A., B., C. , D., 64 【解析】方法1：（常规求法） 令 , ，得 , . 取，则.因为，所以区间，是函数 的单调 递增区间. 方法2：（判断单调性法） 当时，,所以在， 上单 调递增，故A正确； 当 时，，所以在， 上不单调，故B不正确； 当时，，所以在 ， 上单调递减，故C不正确； 当 时，，所以在， 上不单调，故D不正确. 65 类型2 已知函数的单调性求参 例16 已知函数在区间[-,上单调递增，且在区间 , 上恰好取得一次最大值1，则 的取值范围是( ) C A.（0, B., C., D., 66 67 【解析】方法1：（复合函数法） 令 , 当时, ， 函数在区间[-, 上单调递增， , , 解得 . 当 时， , 68 函数在区间,上恰好取得一次最大值1，由函数 的图象 可知， , . 综上可知， ,故选C. 方法2：（特殊值法） 当时，令,,则 ,函数 在区间,上不单调， 不合题意，排除B，D. 当时，令, , 则,则函数在区间,上取不到最大值1， 不合题意，排 除A.选C. 解题通法 根据函数单调性求参数范围的方法 方法一 利用基本函数法求出三角函数的单调区间，根据题目给的单调区间与所求的 单调区间的位置关系列出不等式组，解不等式组求得参数的范围. 注意，有时需加上周期的限制条件，单调区间的长度不大于周期的一半. 方法二 对于选择题，可以使用特殊值法，选取特殊值代入条件验证是否满足题意， 逐一排除错误选项. 70 练变式5 已知函数在[-,和,上都是单调的，则 的取值范 围是( ) D A., B., C., D., 【解析】当,时，，所以 ，解得 ； 当,时，，所以，解得 ． 综上，的取值范围是， ．故选D． 71 练变式6 已知函数，其中．若在区间， 上单 调递增，则 的取值范围是( ) D A. B.， C.， D. 72 【解析】对于，由 ， ， 解得， ， 可得函数的单调递增区间为[-，， ． 因为在区间， 上单调递增， 所以，所以 ． 当时，由在区间， 上单调递增， 可知解得 ． 73 当时，由在区间， 上单调递增， 可知解得 ． 当时，由在区间， 上单调递增， 可知 无实数解． 当或，此时的单调递增区间不包含, 时,不满足题意． 综上， 的取值范围为 ． （【另解】，是[]的子集，所以 解得 ，又，所以令，求得，令 ，求得 ，当或 时无解） 类型3 比较大小 例 17 ［教材改编P206例4］比较下列各组数的大小： （1）与 ； 【解析】 函数在上单调递减，且 , . 76 （2）与 ; 【解析】 （利用诱导公式化为同一单调区间上的角.）, （利用诱导公式化为同一单调区间上的角.）. 函数在上单调递减，且, ,即 . （3）与 . 【解析】,, , ,, , . 77 78 解题通法 比较三角函数值大小的基本方法 比较两个三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角， 再利用函数的单调性进行比较. 79 题型4 奇偶性与对称性问题 类型1 由函数的奇偶性确定参数的值 例18 已知函数是奇函数，则 的值可以是( ) B A.0 B. C. D. 80 【解析】方法1：为奇函数，则只需 , ， 从而, . 显然当时， 满足题意. 方法2：因为是奇函数，所以,即,所以 , , 即,.令,则 . 方法3：（秒解） 因为正弦函数 为奇函数， 所以时， 为奇函数. 81 解题通法 有关三角函数奇偶性问题的解题思路 1.要使为奇函数，需 （实质上，此处依旧 是“奇变偶不变”的应用，当 时，根据“偶不变”，原函数可变为 或者 ，这都是奇函数）. 2.要使为偶函数，需 （根据“奇变”，原 函数可变为或者 ，这都是偶函数）. 3.要使为奇函数，需 . 4.要使为偶函数，需 . 82 类型2 三角函数图象的对称性 例19 已知函数的图象关于直线 对称，且 ，则 的最小值为( ) A A.2 B.4 C.6 D.8 83 【解析】方法1：由题设知直线与点，分别为函数 图象的对称轴与对 称中心， 故， ， 于是,即 ,又 ,且,故 的最小值是2. 84 方法2：由题意可知，（对称轴和对称中心之间的距离可以是 ， ，）, 且 ,所以,且 . 所以 的最小值为2. 方法3：对称中心到相邻对称轴的距离为,显然当直线为点， 的相邻 对称轴时，周期最大，则 最小，所以，得 . 85 解题通法 对称轴、对称中心的求解及应用问题的基本思路 1.函数和的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形. 的 图象的对称中心为，对称轴方程为 的图象 的对称中心为，对称轴方程为 . 2.对于函数,的图象的对称性，应将 看成一 个整体，利用整体思想，令 等于 或，解出的 的值即对称 中心的横坐标（纵坐标为零）或对称轴与 轴交点的横坐标. 86 练变式7 (2026·北京市清华附中统练)已知函数在区间， 上 单调递增,直线和为函数 的图象的两条相邻对称轴，则 ( ) D A. B. C. D. 87 【解析】由题意得，解得 ， 易知是的最小值点，即或 ， 所以 或 , ， 即 或 , ， 所以或 ， 所以 或 . 88 题型5 函数的周期性 例20 ［教材改编P214 T12］求下列函数的最小正周期. （1） ; 【解析】, . 又最小正周期 , 函数的最小正周期为 . 89 （2） . 【解析】画出函数 的图象，如图5.4.1-11所示， 图5.4.1-11 由图象可知，函数的最小正周期为 . 90 例 21 已知函数，若函数 图象的一个对称中心到对 称轴的距离的最小值为，则 的值为__． 【解析】因为相邻的对称中心与对称轴之间对应的区间长度为，所以 ， 所以,所以 . 91 利用正、余弦函数的图象，我们很容易验证： ①若，，其中，即函数 的图象关 于直线,对称，则的周期为 ； ②若，，其中，即函数 的图象 关于点,对称，则的周期为 ； ③若，，其中，即函数 的图象 关于直线及点对称，则的周期为 . 92 例 22 已知，函数在区间上恰有9个零点，则 的取值范 围是_________. 93 给什么得什么 在区间[-,上恰有9个零点，又 是奇函数，则 在的左右两侧零点个数相同，且，于是得到 在（0, ]上恰有4个零点. 求什么想什么 要求 的取值范围，就要建立关于 的不等式. 差什么找什么 的图象与轴在（0,]上的第一个交点的横坐标为 ，由周期性 可得第4个交点的横坐标为 ，第5个交点横坐标为 ，于是得到不等式，解得 . 练变式8 (2026·天津市第一中学月考)已知函数在区间 , 上有且仅有3个零点,则 的取值范围是______. 【解析】函数在区间上有且仅有3个零点，即 在 区间 上有且仅有3个根. 方法1：因为,，所以 ，则由余弦函数的图象可知， ，解得，即 的取值范围是 . 方法2：根据函数在上的图象可知，在区间 有2个根， 所以若在区间有且仅有3个根，则函数在 内至少包 含2个周期，但少于3个周期，即又,所以 ， 即 的取值范围是 . 95 题型6 函数 性质的综合应用 例23 (2026·四川省绵阳第一中学月考)已知函数， ） 在区间,上单调，且满足．若函数在区间 上恰有 5个零点，则 的取值范围为( ) B A. B. C.， D. 96 97 【解析】在区间,上单调，， ， （在同一个单调区间内，函数值互为相反数，则自变量的中点为对称中心） 的对称中心为， ， 且 ， ，即，即 ， ． 又的对称中心为，， . 98 在区间,上恰有5个零点，相邻2个零点之间的距离为 ，5个零点之间即 ，6个零点之间即 ， 只需即可，即,,解得 ， 又， ． 练变式9 (2026·江西省南昌市行知中学月考)已知函数 ，为的零点，直线为 图象的对称轴，且在，上单调，则 的最大值为( ) B A.11 B.9 C.7 D.5 100 【解析】由题意知, , 解得,, . 因为在, 上单调， 所以,即，解得 . 从大到小进行试探： 当时，因为（判断是否有对称轴在， ）内，如果有，说明 不单调），所以在, 上不单调； 当时，在, 上单调，符合题意. 所以 的最大值为9. 101 高考帮丨考向追踪 考向1 正、余弦函数的图象 例24 (2024·全国甲卷)函数在区间 的图象大致 为( ) B A. B. C. D. 102 【解析】由题知函数的定义域为 ，关于原点对称， ，所以函数 为偶函数，函数图象关于 轴对称，排除A,C； （通分可得 ，又，所以） ，排除D. 103 考向2 正弦函数的性质 例25 ［多选题］(2024· 新课标Ⅱ卷)对于函数和 ， 下列说法中正确的有( ) BC A.与有相同的零点 B.与 有相同的最大值 C.与有相同的最小正周期 D.与 的图象有相同的对称轴 【解析】对于A，令，则,，又 ，故A错误； 对于B,与的最大值都为1，故B正确；对于C，与 的最小正周期都 为 ，故C正确；对于D，图象的对称轴方程为 , ，即 ,，图象的对称轴方程为 ,，即 , ，故与的图象的对称轴不相同，故D错误.故选 . 104 例26 (2024·北京)设函数.已知, ,且 的最小值为,则 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】因为，且,， ， （【扫清障碍】正弦函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个最小正周期） 所以的最小正周期 ，所以 . 105 例27 (2025·天津)，在， 上单调递增， 且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时， 的最 小值为( ) A A. B. C.1 D.0 106 【解析】因为在，上单调递增，且 为它的一条对称轴， 可得，即， ①， 因为的图象关于对称，所以 ， ②， 且，，解得， ， 因为在，上单调递增，所以，解得 ，所以 . 根据①②，可得 107 因为 ，所以 ， 故 ， 当时，， ， 故当,即时， 取得最小值， 最小值为 ． 考向3 余弦函数的性质 例28 (2024· 新课标Ⅱ卷)设函数, .当 时，曲线与恰有一个交点，则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】令，则，即 . 令.由知为偶函数，由题意知 在 上有唯一零点，所以,即,得 ,故选D. （偶函数图象关于轴对称，只有 才可有唯一零点，否则零点将成对出现） 109 例29 (2024·北京)在平面直角坐标系中，角 与角 均以 为始边，它们的终 边关于原点对称.若，，则 的最大值为____. 给什么得什么 已知角 与角 的终边关于原点对称，可得 , . 求什么想什么 求 的最大值，想到角 与角 的关系，又知道角 的范 围，所以可利用诱导公式将 用 表示出来. 差什么找什么 由,可得 的取值范围，即得 的取值范围，从而 求得 的最大值. 110 【解析】因为 与 的终边关于原点对称，所以 ，所以 .因为，所以 ，所以 ，所以 的最大值为 . 111 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.函数 的最小正周期是( ) D A. B. C. D. 【解析】函数的最小正周期是 ． 112 2.函数 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】令，其中 ,则 ，故函数为奇函数，所以排除A，B. 当时，，，此时 ，故排除C，选D． 113 3.方程 的实根有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个 【解析】在同一直角坐标系中作函数与 的图象，如图D 5.4.1-1，可 以看出两函数图象有3个交点（在上大于1，与 图象再无交 点），即方程 的实根有3个. 图D 5.4.1-1 114 4.［多选题］已知奇函数 满足 ，则 的取值可能是( ) BD A.4 B.6 C.8 D.10 【解析】, ）为奇函数， ,则 . ， 直线是函数 图象的一条对称轴，则 ,,即, . 当时,；当时, ； 当时,；当时,.故选 . 115 5.［多选题］ (2026·天津市宝坻区第一中学月考) 已知函数的图象关于点 中心对称，则( ) AD A.在区间 上单调递减 B.的图象在区间(， )上有两条对称轴 C.直线是 图象的对称轴 D. 116 【解析】第一步 求解函数解析式. 由，得.因为函数的图象关于点（ ,0）中 心对称，所以 , 即（【另解】由，可得 ） ，结合 ，得 , 所以 . 117 第二步 逐项分析正误. 对于A，由，得 ， 当时，.因为，所以函数在区间（0, ）上 单调递减，故A正确. （【代入法】当,）时，,)，所以函数在区间（0, ）上 单调递减，故A正确） 对于B，由，得，当时， ， 当时，，当时，，所以函数图象在区间(, )上只 有一条对称轴，故B不正确. 118 （【代入法】当,）时，,)，所以函数 图象在区间 （, ）上只有一条对称轴，故B不正确） 对于C，函数图象的对称轴方程为 ，而方程 无解，故C不正确. （【代入法】因为，所以直线 不是 图象的对称轴，故C不正确） 对于D， ，故D正确. 综上所述，选 . 6.函数 的定义域为_ __________________________. , 【解析】依题意，若函数有意义，则 ，即 ，解得 ,，所以函数 的定义域为 , . 120 7.(2026·江苏省灌南县惠泽高级中学月考)已知，函数 在 区间,上单调递减，则 的最大值为__. 【解析】由，，可知, . 因为函数在, 上单调递减， 而函数在, 上单调递减， 所以,,,所以解得 . 则 的最大值为 . 121 8.若函数 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的 距离为，且当时，取得最小值．若，，则 的值域为 _ _________． ， 122 【解析】由函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，可得 的周 期 ，即 ，解得 . 又当时， 取得最小值， 所以 ， 所以 ，，解得， . 因为，所以，所以 ． 由，，可得 , 所以当 时，取得最小值，为 , 123 当时，取得最大值，为 , 所以函数的值域是， ． B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.已知函数 的最小正周期为2，且函数图象过点 （，1），若在区间内有4个零点，则 的取值范围为( ) A A.) B.( C.) D.( 125 【解析】由最小正周期，得 ． 因为函数图象过点（ ，1）， 所以，所以 ， ， 因为 ，所以时， ， 所以 ． 当时，，，（ ，所以在 轴负 半轴有1个零点，原点为1个零点，所以在 轴正半轴有2个零点，则第4个零点为 ） 126 因为在 内有4个零点， 所以 ，所以 ， 所以的取值范围为 ． 10.(2026·福建省厦门市第三中学期末)已知函数 ，记 ，， ，则( ) D A. B. C. D. 128 【解析】因为函数的定义域为，且，所以函数 是偶函数， 当,)时，单调递增， 单调递减， 所以在区间（0, ）上单调递增. ， ， ， ，， ， 所以 ， 所以，即 . 故选D. 129 11.［多选题］(2026·江西省宜春市宜丰中学期末)关于函数 的 下列四个结论正确的是( ) AD A.是偶函数 B.在区间(， )上单调递增 C.在 ,上有4个零点 D. 的最大值为2 130 【解析】， 为偶函数， 故A正确； 当 时，,在(, )上单调递减，故B不正确； 图D 5.4.1-2 在 上的图象如图D 5.4.1-2所示，由图可知函数 在 上只有3个零点，故C不正确; 与 的最大值都为1且可以同时取 到，可以取到最大值2，故D正确．故选 . 131 12.［多选题］ 对,，定义,若函数, ， 则下列四个结论中正确的是( ) ACD A.是以 为周期的函数 B.当且仅当时，取得最小值 C.图象的对称轴为直线 D.当且仅当时， 132 图D 5.4.1-3 【解析】由题意知，函数 作出图象 (【作图技巧】可将, 图象在 同一坐标系中画出来，根据大小关系将不需要 当,时， ， 当,时， ， 所以图象的对称轴方程为 , . 的部分涂掉即可)如图D 5.4.1-3所示，最小正周期为 . . . 133 当 或,时，取得最小值 .当且仅当 ,时，，且的最大值为 ，所以 .故正确的选项是A,C,D． 13.(2026·河南省漯河市高级中学月考)已知 是正实数，设 是偶函数，集合.若对每个实数， 中的元素个数不超过3，且存在使含有3个元素，则 的取值范围是_ ______． 【解析】因为是偶函数，所以 , ， 所以，所以相邻两个 的距离为 ， 因为的元素个数不超过3，且存在使中含有3个元素，所以 ，解 得 . 135 14.［新考法·结构不良］已知函数 ，记其 最小正周期为，若 ． （1）求 . 【答案】因为，，所以 ， 所以，所以 ． 因为，所以 ． 136 （2）从①；② 两个条件中任选一个，补充在下 面的横线处，并解答.若在[-,上单调，且 ___，求方程在 ， 上的解． 137 【答案】由（1）得 ． 若选①：，则 ， 所以，，所以， ． 因为，所以 ． 假设函数在[-, 上单调递增， 令， ， 得， ． 所以得 138 因为，所以，所以 ． （当时，可得所以.当时，可得又 ， 所以无解.同理，当 等于其他值时均无解） 所以 ． 同理当函数在[-,上单调递减时， 无解. 综上，的解析式为 . 因为，所以 ， 所以或， , 139 解得 或 ， . 因为，所以 ， ， ， ． 若选②：，则函数的图象关于点 对称， 所以 ， ， 所以，，所以， ． 以下解法同选①. C 培优练丨能力提升 15.(2026·上海市进才中学期末)设，函数 若 在区间内恰有6个零点，则 的取值范围是_ ____________． 141 【解析】因为在区间 内恰有6个零点， 当时，在区间上， 恒成立，此时不存在 零点，不符合题意； 当时，易知函数 最多有2个零点，所以当 时， 至少有4个零点. 由，得 ，所以 ， 由，解得 ， 142 所以当时，函数的零点是， ， ，，，，， ， 令 ①，得 . （1）当，即时，方程①无解，即在 时无零点， 所以在时要有6个零点，所以 此不等式组无解，舍去. （2）当时，方程①有唯一解，即在 时有1个零点3， 所以在时要有5个零点，又 ， 所以在时只有3个零点（即 ），显然矛盾，舍去. （3）当时，方程①的解为或 ，且 ， 若（与的大小关系不确定,故需分类讨论），则 时，此时 在 时有2个零点， 所以在时，函数 有4个零点， 所以解得 ； 若，则，此时在 时有1个零点， 所以在时，函数 有5个零点， 所以解得 . 综上所述，的取值范围为 . $