5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的单调性与最值，通过“货船进港”实际问题导入，衔接上节课周期性、奇偶性知识，以观察图像、归纳区间、推广全域的步骤构建学习支架。 其亮点在于情境导入培养数学眼光，互动探究发展数学思维，例题提炼方法强化数学语言。如港口问题联系现实，图像观察与表格归纳推理，换元法求单调区间步骤清晰，助力学生提升数形结合能力，为教师提供系统教学流程。

第五章 三角函数 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 （第2课时） 5.4三角函数的图象与性质 【新教材】人教A版·高一必修第一册 单调性与最值 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握正弦函数、余弦函数的单调性，能准确写出它们的单调递增区间和单调递减区间。 理解正弦函数、余弦函数的最大值、最小值及其取得条件，能求出给定区间上的最值。 能运用单调性和最值解决简单的三角函数问题。 同学们，上节课我们研究了正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性。今天老师给大家带来一个生活中的问题： 要解决这个问题，我们需要研究正弦函数的什么性质？——单调性和最值。 某港口水深随时间变化的数据近似满足函数 y=2sin( t)+5（t 为时间，y 为水深，单位：米）。一艘货船要求水深不低于6米才能安全进港。请问：一天中哪些时间段水深在增加？哪些时间段水深在减少？什么时候水深最大、什么时候最小？ 货船进港 目标一：正弦函数单调性 根据上节课内容得: 根据三角函数的周期性，只要把握了它一个周期内的规律, 就把握了整个三角函数的规律. 也就是说，根据正弦函数的周期性，我们可以先在它的一个周期的区间（如[-,]）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域． 重点研究范围 一个周期内的增减 大家观察y=sinx,x∈[-,]的图像，函数值有 什么特点？ 当x∈[-,]时，曲线逐渐上升，y=sinx是增函数， sinx的值由-1增大到1， 当x∈[,] 时，曲线逐渐下降， y=sinx是减函数，sinx的值由1减小到-1. 一个周期内的增减 sinx 的值的变化情况如下表所示： 这就是说，正弦函数 y=sinx 在区间[-,] 上 单调递增，在区间[,]上单调递减. 全域内的增减 思考：能把x∈[-,]的单调性推广到整个定义域呢？ y=sinx：在每一个闭区间 [-+2kπ,+2kπ](k∈Z) 上都单调递增，其值从-1增大到1； 在每一个闭区间 [+2kπ,+2kπ](k∈Z)上单调递 减，其值从1减小到-1. 目标二：余弦函数的单调性 对于 y=cosx,x∈R的图像，单调性如何？ 类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如[-π,π]）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入下表： 一个周期内的单调性 由此可得, 函数 y=cosx, x∈[-π,π] 在区间 上单调递增, 其值从-1增大到 1 ; 在区间 上单调递减, 其值从 1 减小到-1. 全域内的单调性 y=cosx：在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ] (k∈Z)单调递增，cosx的值由-1增大到1. 在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)单调 递减，cosx的值由1减小到-1. 目标三：正余弦函数的最值 最值 观察图像，当正弦函数、余弦函数取最值 时，x的取值有何规律？ 当x=+2kπ(k∈Z)时，=1； 当x=-+2kπ(k∈Z)时，=-1 当x=2kπ(k∈Z)时，=1,当x=2kπ+π(k∈Z)时，=-1 最值相关性：对称性 正余弦函数的最值与曲线的对称轴密切相关 正弦曲线关于点(kπ,0)(k∈Z) 和直线x = + kπ(k∈Z) 对称. 余弦曲线关于点(+kπ, 0)(k∈Z) 和直线 x=kπ (k∈Z)对称 相邻对称轴(或对称中心)的距离是 T ，相邻对称轴和对称中心的距离是 性质 定义域 R R 值域 周期性 最小正周期 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间：减区间： 增区间：减区间： 最值 最大值：，当最小值：，当 最大值：，当最小值：，当 对称性 对称轴：对称中心： 对称轴：对称中心： 目标四：典型例题 利用单调性比较大小 不通过求值，比较下列各数的大小： (1) sin与sin； (2) cos与cos 1 解：(1) 因为， 正弦函数在区间上单调递增， 所以. , . 因为，且函数 在区间上单调递减，所以 即 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间 上。 (3)利用函数的单调性比较大小. 典例分析 例 利用单调性比较大小 比较 cos1, sin1 的大小 2 解法 (统一化为正弦) 由诱导公式: 先计算范围: 所以: 函数 在 上单调递增，,即 方法: 诱导公式统一函数名, 只用单调性, 典例分析 例 利用单调性比较大小 比较 与 的大小 3-4 解: 正数大于负数, 故 。 方法: 发现一正一负，所以不需要用单调性 下列关系式中正确的是() A.sin 11° < sin 168° < cos 10° B.sin 168° < sin 11° < cos 10° C.sin 11° < cos 10° < sin 168° D.sin 168° < cos 10° < sin 11° 统一化为正弦: sin 168° = sin(180° - 12°) = sin 12° cos 10° = sin(90° - 10°) = sin 80° y = sin x 在 [0°, 90°] 单调递增,11° < 12° < 80°,∴ sin 11° < sin 12° < sin 80°,即 sin 11° < sin 168° < cos 10°, 选 A。 方法: 统一函数，需要用单调性 典例分析 例 求正弦函数、余弦函数的 单调区间 求函数 的单调递增区间。 2 解： 复 由解得 合 法 的 应 又 用 或 , 所求的单调递增区间为  方法: x的系数小于零，诱导掉负号，再整体代换，把新角整体代入增减区间。代增得减，代减得增。 典例分析 例 求正弦、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. (2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，同上. 同时注意单调性复合法的应用 求正弦函数、余弦函数的 单调区间 求函数的单调区间 3 令 ，即 单调递增区间为 令 ，即 单调递减区间为 余弦函数x的系数是负的，在诱导掉负号时，负号是出不去的。当然，上面 这道题不存在提号。 典例分析 例 正弦函数、余弦函数的最值(值域) 下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量的集合，并说出最大、最小值分别是什么. (1); (2). 1 解：这两个函数都有最大值、最小值. （1）使函数取得最大值的的集合，就是 使函数取得最大值的的集合 使函数取得最小值的的集合，就是 使函数取得最小值的的集合 函数 的最大值是；最小值是. 典例分析 例 正弦函数、余弦函数的最值(值域) 下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量的集合，并说出最大、最小值分别是什么. (1); (2). 1 解:(2) 令,因为使函数取最大值的的集合是 ,由 得 所以使函数取最大值的的集合是 同理，使函数取最小值的的集合是 函数取最大值是3，最小值是-3。 典例分析 例 正弦函数、余弦函数的最值(值域) 求函数 的值域. 2 由 可得 所以函数的值域为 . 三角函数的值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y=Asin x(或y=Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论. (2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后利用三角函数性质求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围，最后求得值域(最值). 典例分析 例 目标五：针对训练 举一反三 1.下列函数，在上单调递增的是() A. B. C. D. 解析: 因为x∈[,],所以2x∈[,2],所以y=cos2x在[,]上单 调递增. 2.已知函数，若函数在处取得最小值，则 A. B. C. D. 解析: 因为函数在处取得最小值, ，又，所以. 故选D. 举一反三 3.下列函数中, 在其定义域内单调递减的是( B ) A. B. C. D. 在 上递增, 不符合题意. 在 上递减, 符合题意. 在 上有增有减, 不符合题意. 故选 B. 举一反三 4.已知函数，则的增区间是() A. B. C. D.  解析： 令，解得 ，所以函数的增区间是.故选C. 举一反三 5.已知 为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（） A. B. C. D. 解: 锐角三角形三个内角都小于 , 且 。 在 单调递减: 得到 , 选 。 目标六：小结 学海拾贝 今天我们用”数形结合”的方法，系统研究了正弦函数和余弦函数的单调性和最值： 函数 单调递增区间 单调递减区间 最大值 最小值 （当 ） （当 ） （当 ） （当 ） （k∈Z） 学海拾贝 【方法提炼】 研究路径：观察图像 → 归纳区间 → 代数证明 → 推广应用。 核心思想：数形结合——图像给我们直观，代数给我们严谨。 关键提醒：求单调区间和最值时，千万别忘了函数的周期性，要在基本区间基础上加上 2kπ。 学海拾贝 【呼应开头】 回到导入中的港口问题，现在你能判断货船何时可以安全进港了吗？（布置为课后思考题） 【课后寄语】 正弦、余弦函数的图像像波浪一样起伏有致，大自然中的潮汐、声波、交流电都遵循这样的规律。掌握了它们的单调性和最值，我们就掌握了描述这些自然现象的一把钥匙。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $