5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(二) 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦、余弦函数的单调性、单调区间及最值，通过“思考”环节（研究一个周期规律的原因）和“明辨是非”判断正误，连接前期周期性知识，搭建学习支架帮助学生从周期过渡到性质学习。 其亮点是分类型典例（比较大小、求单调区间、最值）与“解题有招”总结步骤，结合数学抽象、数学运算、逻辑推理，如利用整体代换求函数单调区间，助力学生形成结构化思维。学生能提升解题能力，教师可系统教学提高效率。

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(二) 【学习目标】 1.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.(数学运算、数学抽象) 2.会求函数y=Asin (ωx+φ)及y=Acos (ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的单调区间.(数学运算) 3.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.(数学运算、数学抽象) 正弦函数、余弦函数的性质 1.正弦曲线: 函数 y=sin x 图象 值域 ______ 单调性 在___________________上单调递增,在___________________上单调递减 最值 x=时,ymax=1;x= ____________时,ymin=-1 [-1,1] [-+2kπ,+2kπ],k∈Z [+2kπ,+2kπ],k∈Z +2kπ,k∈Z -+2kπ,k∈Z 2.余弦曲线: 函数 y=cos x 图象 值域 ______ 单调性 在_________________上单调递增,在________________上单调递减 最值 x= _________时,ymax=__;x= ___________时,ymin=___ [-1,1] [-π+2kπ,2kπ],k∈Z [2kπ,π+2kπ],k∈Z 2kπ,k∈Z 1 π+2kπ,k∈Z -1 [点睛] (1)体现了正、余弦函数的有界性,即|sin x|≤1,|cos x|≤1; (2)正弦函数、余弦函数的增区间、减区间交替变化,都有无数个; (3)函数y=sin x,y=cos x在图象的波峰(波谷)取得最大(小)值. [思考] 研究三角函数的规律,为什么只需研究它的一个周期的规律? 提示:根据三角函数的周期性,把握了它的一个周期的规律,就把握了整个三角函数的规律. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦函数y=sin x在R上是增函数.( ) 提示:正弦函数y=sin x在R上不是单调函数. (2)余弦函数y=cos x的一个减区间是[0,π].( ) 提示:[2kπ,π+2kπ]中,令k=0得[0,π]. × √ (3)∃x∈[0,2π]满足sin x=2.( ) 提示:因为|sin x|≤1,所以不存在使sin x=2的x值. (4)x=是函数y=2sin (2x+)的对称轴.( ) 提示:当x=时,y=2sin (+)=2sin =2,即函数y=2sin (2x+)取得最大值,所以直线x=是函数y=2sin (2x+)的一条对称轴,即正确. × √ 类型1 利用单调性比较大小(数学抽象) 【典例1】(多选)(2026·柳州高一检测)下列不等式成立的是(　　) A.sin >cos B.cos <cos C.sin (-)>cos D.cos (-)>cos (-) √ √ √ 【解析】选ABD.对于A,因为sin >=cos ,故A正确; 对于B,因为cos =cos ,0<<<,函数y=cos x在区间(0,)上单调递减, 所以cos <cos ,故B正确; 对于C,sin (-)=-sin ,cos =cos (+)=-sin , 因为0<<<,函数y=sin x在区间(0,)上单调递增,所以sin <sin , 故sin (-)<cos ,故C错误; 对于D,因为cos (-)=cos >0,cos (-)=cos <0,故cos (-)>cos (-),故D正确. 【解题有招】 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 【即学即练】 (2026·南昌高一检测)利用函数的性质,比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)sin 103°45'与sin 164°30'; (2)cos (-)与cos (-). 【解析】(1)因为函数y=sin x在90°<x<180°上单调递减, 因为103°45'<164°30',所以sin 103°45'>sin 164°30'. (2)因为cos (-)=cos (-12π)=cos ,cos (-)=cos (-5π)=cos (-π)=cos , 函数y=cos x在区间(0,π)上单调递减,π>>>0,所以cos <cos , 即cos (-)>cos (-). 类型2 求正、余弦函数的单调区间(逻辑推理) 【典例2】(类题·节节高) (1)求函数y=2sin (x-)的单调区间; (2)求函数f(x)=2sin (x-),x∈[0,2π]的单调区间; (3)求函数y=sin (-x)的单调递增区间. 【解析】(1)令z=x-,则y=2sin z. 因为z=x-是增函数,所以y=2sin z单调递增(减)时, 函数y=2sin (x-)也单调递增(减). 由z∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),得x-∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z), 即x∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z), 故函数y=2sin (x-)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z). 同理可求函数y=2sin (x-)的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). (2)f(x)=2sin (x-)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z), 又因为x∈[0,2π],所以0≤x≤或≤x≤2π, 同理函数f(x)=2sin (x-),x∈[0,2π]的单调递减区间为[,]. 所以函数f(x)=2sin (x-),x∈[0,2π]的单调递增区间为[0,],[,2π],单调递减区间为[,]. (3)y=sin (-x)=-sin (x-),令t=x-, 又y=-sin t的单调递增区间是[2kπ+,2kπ+](k∈Z), 所以令+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z, 所以函数y=sin (-x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). 【解题有招】 关于单调区间的求法 以函数f(x)=Asin(ωx+φ)为例, (1)若A>0,ω>0,采用整体代换的方法,把ωx+φ代入正弦函数的单调递增、减区间,解出x的范围即可得到相应的区间; (2)若A<0,ω>0,如要求单调递增区间,则需要代入正弦函数的单调递减区间,解出x的范围; (3)若A>0,ω<0,利用诱导公式把x的系数变为正数后,则根据系数变为-A<0,选择相应的单调区间代入求解. 【即学即练】 1.函数y=2sin(-2x),x∈[0,]的单调递增区间为　　　　　.  【解析】y=2sin(-2x)=-2sin(2x-), 要求y=2sin(-2x)的单调递增区间,即求y=2sin(2x-)的单调递减区间, 令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 令k=0,又x∈[0,],故函数y=2sin(-2x)的单调递增区间为[,]. 答案:[,] 2.求函数y=2cos (2x-)的单调区间. 【解析】令2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z),即2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z), 所以kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 所以函数的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). 令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),即2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z), 所以kπ+≤x≤kπ+(k∈Z), 所以函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 所以函数y=2cos (2x-)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z), 单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 类型3 正、余弦函数的最值(值域)(逻辑推理) 角度1　R上的值域问题 【典例3】函数f(x)=-3sin 2x+1的最大值为　　　,此时x=　　　　.  【解析】当y=sin 2x=-1时,函数f(x)取得最大值4, 此时2x=-+2kπ,k∈Z,x=-+kπ,k∈Z. 答案:4　-+kπ,k∈Z 【解题有招】 关于在R上的值域 以f(x)=Asin(ωx+φ),A>0为例,最大值为A,由ωx+φ=+2kπ,k∈Z,解得取最大值时的x值; 最小值为-A,由ωx+φ=-+2kπ,k∈Z,解得取最小值时的x值. 角度2　定区间上的值域问题 【典例4】已知f(x)=2sin (2x-)+1,x∈[0,],求f(x)的最大值和最小值. 【解析】因为x∈[0,],所以-≤2x-≤, 当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-+1,当2x-,即x=时,f(x)max=3, 综上,当x=0时,f(x)min=-+1,当x=时,f(x)max=3. 【解题有招】 关于定区间上的值域 (1)以f(x)=Asin(ωx+φ),A>0,x∈[a,b]为例,令t=ωx+φ,x∈[a,b],求出t的取值范围B,结合图象,求出y=Asin t,t∈B的值域. (2)对于恒成立问题,可以通过移项转化为最值问题解决. 角度3　可化为二次函数的值域问题 【典例5】函数f(x)=2cos 2x+3cos (x-)在[,]上的值域为(　　) A.[3,4] B.[3,+1] C.[3,] D.[+1,] √ 【解析】选C.f(x)=2cos 2x+3cos (x-)=-2sin 2x+3sin x+2, 令t=sin x,由x∈[,],得≤t≤1,f(x)变为y=-2t2+3t+2. 该二次函数开口向下,对称轴t=,在[,]上单调递增,在[,1]上单调递减. 当t=时,ymax=,当t=1时,ymin=3,所以f(x)的值域为[3,]. 【解题有招】 可化为二次函数的最值 形如y=asin2x+bsin x+c(或y=acos2x+bcos x+c)型,可利用换元思想,设t=sin x(或cos x),转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定,要注意换元后新元的取值范围. 提醒:若解析式中既有正弦也有余弦,则利用sin2α+cos2α=1转化,统一成关于正弦或余弦的二次式求最值. 【即学即练】 1.函数y=cos,x∈[-,]的最小值为　　　.  【解析】因为x∈[-,],所以∈[-,], 所以-=cos(-)≤cos≤cos 0=1,即y=cos的最小值为-. 答案:- 2.求函数y=cos2x-4cos x+1,x∈[,]的值域. 【解析】因为x∈[,],所以-≤cos x≤. 因为y=cos2x-4cos x+1=(cos x-2)2-3, 所以当cos x=-时,ymax=;当cos x=时,ymin=-, 所以y=cos2x-4cos x+1的值域为[-,]. $