5.4.3 正切函数的性质与图象课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象及正切型函数拓展，课堂导入通过回顾正余弦函数性质与图象，以“三点两线法”为学习支架，衔接从已知到未知的知识脉络，帮助学生构建完整认知。 其特色是内容分层（基础、中档、拔高）对接高考，含思维导图梳理知识，例题变式结合教材与真题，解题通法总结提升数学思维。如例14用周期公式与图象交点距离推理参数，培养逻辑推理能力，助力学生提升解题能力，方便教师一体化教学。

高一数学●2024人教A版必修一 第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的性质与图象 本节掌握正切函数图象画法，理解其定义域、周期性、奇偶性与单调性；能解决简单相关问题，体会数形结合思想，提升观察归纳与逻辑推理能力。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括66张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 正切函数的性质与图象 1 正切函数的图象及性质 函数 定义域 , }. 周期性 正切函数是周期函数，周期是 . 奇偶性 正切函数是奇函数. 4 图象 _________________________________________________________________________________________ （正切函数的图象称为正切曲线） 续表 5 单调性 正切函数在每一个区间 , 上都单调递增. （正切函数无单调递减区间） 值域 正切函数的值域是实数集 . 对称中心 ,, . 续表 6 特别提醒（1）正切函数在定义域上不具备单调性，因此不能说函数在其定义域上是 单调递增函数. （2）正切函数没有最大值和最小值. （3）正切曲线是由被互相平行的直线 隔开的无穷多支曲线组成的. 这些平行直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交. （4）若任意一条垂直于轴的直线与正切曲线相交，则两个相邻交点间的距离都是 （即一个最小正周期长）.#1.4 7 2 三点两线法作正切函数的简图 我们一般采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，， ； “两线”是指直线和 .在三点、两线确定的情况下，可以大致画出正切函 数在区间， 上的简图. 例1 ［教材改编P213 T7］函数 的定义域是( ) A A.，} B.， } C.，} D.， } 【解析】 ， ， ，.故函数的定义域为 ， }. 8 例2 函数,, 的值域为________. 【解析】 函数在区间[-,上单调递增， 函数在区间[-, 上 的值域为 . 9 例3 作出函数，, 的简图. 【解析】（1）列表: 0 0 1 1 2 3 （2）画， 两条虚线，（确定函数对应的渐近线）描点. 图5.4.3-1 （3）用光滑曲线连接，如图5.4.3-1所示. （也可先作出, 的图象，通过图象变换向上 平移2个单位长度作出 的图象） 10 知识点2 正切型函数的性质拓展点 函数 定义域 , } 值域 周期性 是周期函数，最小正周期为 奇偶性 当 时为奇函数， 当 时为非奇非偶函数 单调性 每一个单调区间可由 求得 对称性 由,求得对称中心为,, 11 例4 (2026·浙江省杭州高级中学期末)下列坐标所表示的点不是函数 图象的对称中心的是( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】令，，解得 ， 当，1，2时，，， ，A,B,D均符合题意．故选C． 12 方法帮丨解题突破 题型1 正切函数图象的应用 类型1 作图象 例5 画出函数在 上的简图. 【解析】令 ，,可得 ， , 又，所以直线 是该函数图象的一条渐近线. 当时， ； 当时， ; 当 时， ； 当 时， . 13 图5.4.3-2 描点，，，，画虚线 ， 根据正切曲线的趋势，画出简图，如图5.4.3-2所示. 14 解题通法 正切型函数 的图象的作法： 首先令 ，,结合 的已知范围，确定对应的渐近线； 其次计算所给区间左右端点对应的函数值，若已知，计算 及 ，不妨设 ,则在内找到 ， 和， 所对应的值及相应的 值； 然后画出渐近线（虚线），描出对应的点；最后用光滑曲线连接. 15 类型2 图象识别问题 例6 图5.4.3-3中的图形分别是；; ； 在，内的大致图象，那么由到 对应的函数关系式应是 ( ) 图5.4.3-3 D A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 16 17 类型3 解不等式 例7 函数 的定义域为_____________________________. ,} 图5.4.3-4 【解析】由,得 ,且 （【易错点】求与正切函数有关的函数的 定义域时，切记保证正切函数有意义，即 , ）. 由图5.4.3-4可得 ,即 . 所以函数的定义域为 , }. 18 解题通法 利用正切函数的图象解不等式 的步骤（此处链接教材第214页第13题） （1）作出正切函数在，上的图象；（2）求出在， 上使 成立的 的值； （3）利用图象确定在， 上的解集；（4）把此解集扩展到整个定义 域内． 同理，也可解形如与 的不等式. 注意：对于不等式，令 ,然后根据上述方法求解. 19 练变式1 [教材改编P214 T13]不等式 的解集为 _________________________________. ,｝ 图D 5.4.3-1 【解析】作出函数在区间, 上的图象，如图D 5.4.3-1所示.观察图象可得，在,内，满足条件的 的取值 范围为 .由正切函数的周期性知，不等式的解集为 , ｝. 20 类型4 零点问题 例8 在区间,内，函数与函数 的图象交点的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】方法1：（方程思想） 令，得 ，解 得或 ． 在，时，由得或或 ,由得 ，故 交点个数为3． 21 方法2：（数形结合思想） 在同一平面直角坐标系中，先作出函数 与 在，上的图象，当，时，有 （注意结合名 师点评理解）， 图5.4.3-5 然后利用对称性作出， 的两函数的图象， 如图5.4.3-5所示，由图象可知它们有3个交点． 22 当时， ，这是一个十分重要的结论， 我们可以借助单位圆进 图5.4.3-6 行证明.如图5.4.3-6所示，设角 的终边与单位圆交于点 ，单位 圆与轴正半轴的交点为，过点作,垂足为点 ，过点 作垂直于轴，交的延长线于点，则线段, 的长度 分别为 的正切值、正弦值，角 对应的弧的长度 . 由图可知，故 . 23 题型2 正切函数单调性的应用 类型1 求单调区间 例9 ［教材改编P214 T14］(2026· 江西省上犹中学检测)函数 的单 调递减区间为________________________. 【解析】（先利用诱导公式将的系数化为正值） . 由 , 得 . 故函数的单调递减区间为 . 24 解题通法 正切型函数单调区间的求解思路 正切函数在开区间 上单调递增.求函数 的单调区间时，若 ，则只需由 解出的取值范围即可，但若 ,则可先利用 诱导公式将自变量的系数化为正值，然后求解，此时要注意 的正负对函数单调性 的影响. 25 练变式2 [多选题]下列选项中，是函数 的单调递增区间的有( ) BC A., B., C., D., 【解析】令，，可得， ，则 函数的单调递增区间为，.令 ，函数 的单调递增区间为，，B正确.令，函数 的 单调递增区间为， ，C正确，A，D选项超出了此区间的范围，所以错误．故选 ． 26 类型2 求参数值 例10 已知函数，若在区间， 内单调递减，则 的取值范围是( ) C A.， B.， C. D.， 27 【解析】由在区间，内单调递减且,得 在每一个单调区间上都是递增的 ，而 在区间， 内单 调递增，故，，得， ，所 以的单调递增区间为,， ，所以 ，，，所以 ，解得， . 28 由,得 ， 由,得 ， 所以且，故或 . 当时， ; 当时， . 综上所述，， ． 练变式3 (2026·陕西省名校联盟期末)设，若函数在区间 ,上单调递增，则 的最大值为___． 2 【解析】令 ，（将 看作整体）， 可得， ． 因为在区间, 上单调递增， 所以，解得， ， 由，得 ， 当时，可得，故 的最大值为2． 30 类型3 比较大小 例11 ［教材改编P214练习T9］比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）与 ; 【解析】因为，，且 , 在 ，内单调递增，所以,即 . （2）与 . 【解析】因为,,且, 在 ,内单调递增，所以，所以 ，即 . 31 解题通法 正切函数的单调性在比较大小中的应用思路 利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期 性或诱导公式转化到同一个单调区间内比较大小. 练变式4 若,, ，则( ) D A. B. C. D. 【解析】, ,且函数在区间, 上单调递增， , ,即 . 32 类型4 求最值或值域 例12 若,求函数的最值及相应的 的值. 【解析】（【巧转化】将函数化为关于 的二次函数）. ,, ， 当，即时， 取得最小值，为1； 当，即时, 取得最大值，为5. 33 三角函数与二次函数综合求解值域或最值问题，求解的方法是通过 换元或整体代换将问题转化为二次函数的值域问题，对于新引入的元或整体，要注 意其范围的变化. 34 例13 求函数,且 的值域. 35 图5.4.3-7 【解析】因为 ， 所以 . 令,由，, 的图象 （如图5.4.3-7所示）可得，函数 , 的值域为 . 36 解题通法 与正切函数相关的最值或值域的求解思路 已知角的范围，求正切函数值的范围时，如果角的范围在一个单调区间内，可直接 运用单调性得到正切函数值的范围；如果角的范围不在一个单调区间内，则要结合 函数图象求正切函数值的范围. 37 题型3 周期性的应用 例14（1）［教材改编P213 T8］函数 的最小正周期为( ) A A. B. C. D. 【解析】函数的最小正周期 ，直接利用公式,可得 . 38 （2）(2026·河南郑州外国语学校调研)若函数 的图象与直 线的相邻两个交点的距离为，则 ( ) C A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】因为函数的图象与直线 的两个相邻交点之 间的距离为 ， 所以的最小正周期 ， 又，所以 ． 39 （3）函数 的最小正周期为___. 【解析】函数的图象就是 的图象在轴及其上方的保持不变，把轴下方的图象翻折到 轴上方，如图5.4.3-8， 图5.4.3-8 所以函数的周期为 . 40 解题通法 求正切型函数周期的方法 1.形如的正切型函数的最小正周期为 ； 2.形如的正切型函数的最小正周期为 ； 3.直线与的图象相邻两个交点的距离为 的 一个最小正周期. 41 练变式5 已知直线与函数 图象的相邻两个交点间 的距离为，若在上单调递增，则 的最大值为__． 【解析】因为直线与函数 图象的相邻两个交点间 的距离为 的一个最小正周期， 所以，即，所以 ． 由 ， 解得 ， 所以在,上单调递增，所以，故 解得 ，即的最大值为 ． 题型4 对称性与奇偶性的应用 类型1 对称性的应用 例15 (2026·山东省新泰市第一中学质检)函数 的图象的一个对称中心 为( ) C A., B., C., D., 【解析】令【易错点】正切函数图象的对称中心是 , ,而不是,，得,，当时， ， 所以函数图象的一个对称中心为, . 44 例16 若函数的图象的一个对称中心是点，，则 的最小值 为( ) B A.2 B.3 C.6 D.9 【解析】因为正切函数图象的对称中心为点， ， 所以令,则 ， 所以函数 的图象的对称中心为点 , , 又的图象的一个对称中心是点，，所以令 ， 解得 ， 因为，所以当时， 取得最小值3. 45 练变式6 (2025· 全国一卷)已知点是函数 的图象的一个 对称中心，则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 【解析】根据正切函数的性质得， 图象的对称中心的横坐标满足 , ， 即图象的对称中心是,, ， 即, ， 又，所以时，取最小值，最小值是 . 46 类型2 奇偶性的应用 例17 函数，且，则 的值为___. 0 【解析】令 ， 可知的定义域为或且, ，关于原点对称， 则 ， 故 为奇函数， 又，所以，故 . 47 练变式7 已知函数，且 ，则 _______． 2 028 【解析】令，其定义域为 , },关于原 点对称， 因为 ， 所以 为奇函数. ，所以 ， 所以 ， 所以 . 48 题型5 正切函数的综合应用 例18 设函数，已知函数的图象与 轴 相邻两个交点的距离为，且图象关于点 对称． 49 （1）求 的解析式； 【解析】由题意知，函数的最小正周期，（【助理解】直线 与 ）的图象相邻两个交点的距离为 ）的一个最小正 周期） 即 ． 因为，所以，所以 ． 因为函数的图象关于点 对称，所 以,,即, . 又,所以 . 故 . 50 （2）求 的单调区间； 【解析】令 , , 得, , 所以函数的单调递增区间为, ,无单调递减区间. （3）求不等式 的解集． 【解析】由,得 , ,即 , . 所以不等式的解集为, }. 51 52 练变式8 [多选题]已知函数 ，则下列结论中正确的有( ) BC A. B.的定义域为， } C.在区间， 上单调递增 D.若，，则的最小值为 53 【解析】对于函数，由于 ， ， ,故A错误； ，，，， 的定义域为 ， ，故B正确； 当，时，，， 函数在， 上单调递增，故C正 确； 若，，则的最小值为函数的一个最小正周期，为 ， 故D错误．故选 ． 54 练习帮丨分层巩固 1.若的最小正周期为1，则 的值为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】的最小正周期为, ,即 , 则 . 2.在,,, 中值最大的是( ) B A. B. C. D. 【解析】由正切函数的单调性知，,, ,所以值 最大的是 . 55 3.,, 的图象大致是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 ，定义域关于原点对称，且 ，所以 为奇函数， 图象关于原点对称，故排除C，D.又当 时， ，所以可排除B，只有A选项的图象 满足题意，故选A. 56 4.(2026·湖南省衡阳市检测)已知函数 ,其函数图象 的一个对称中心是（ ，0），则该函数的一个单调递减区间是( ) D A.(,) B.(,) C.(,) D.(, ) 【解析】函数图象的一个对称中心是（ ，0），所以 ，,解得, . 又,所以,所以 . 令 ,,解得， ,所以函数 的单调递减区间为, . 当时，得的一个单调递减区间为 . 57 5.(2026·天津市双港中学段考)已知函数,若方程 在区间（0,）上恰有3个实数根，则 的取值范围是( ) C A.( B.) C.( D. ) 【解析】当,)时， ， 令，则在(, )上有3个实数根， 所以函数的图象与直线在(, )上有3个交点,所以从左到右第3个 交点的横坐标为 ， 所以，（注意端点处能否取等）解得 ， 即 的取值范围是 . 58 6.［多选题］ 已知函数 ,则下列说法正确的是( ) AD A.的周期是 B.的值域是 C.直线是函数 图象的一条对称轴 D.的单调递减区间是(, 59 【解析】对于A，的周期和周期相同，即 ，故A正确. 对于B，的值域为，，即函数的值域为 ， 故B错误. 对于C，结合绝对值的意义，（解析式加绝对值，所以函数在 轴下方的图象应翻折 到 轴上方） 由，,得 , ，则直线不是函数 图象的一条对称轴，故C错误. 对于D，由 ，得， ，则函 数的单调递减区间是，，故D正确.故选 ． 60 图5.4.3-1 7.已知函数 ,其图象如图5.4.3 -1所示，图中阴影部分的面积为 ,则 ___． 0 【解析】由题图可知， ,即 , （ 的图象为中心对称图形，通过平移，可将原阴影 部分的图形转化为长为,宽为 的长方形） 且,则 , 则 , 所以 ． 61 8.已知函数,,在)上单调递增，则 的取值范围为_____ ___. 【解析】,, 若函数在 上单调递增， 则，求得，又，故 的取值范围为 ． 62 9.已知直线与函数 的图象所有交点之间 的最小距离为2，且其中一个交点为，则函数 的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和为___． 6 63 【解析】由已知得的最小正周期为2，即，所以 ，则 . 因为直线与函数图象的其中一个交点为 , 所以，则 , 解得，又，所以 , 所以 . 又，所以的图象关于点（ ，0）中心对称，作出 和（,作出函数的图象，再向右平移 个单位长 度即可，所以的图象也关于中心对称），且 的图象, 64 图D 5.4.3-1 如图D 5.4.3-1所示. 可知两函数图象共有4个交点，且关于点（ ，0） 对称，故这4个交点的横坐标之和为 ． 65 10.已知函数的最小正周期为 . （1）求 图象的对称中心； 【答案】由，得,故 ． 由，得 ， 所以图象的对称中心为 ． （2）求不等式在(, )上的解集． 【答案】由，得 , 由，得 ， 所以，得 ， 故不等式在(,)上的解集为(, )． 66 $