5.4.3正切函数的性质与图象（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象，涵盖定义域、周期性、奇偶性、单调性及“三点两线法”作图等核心内容。课堂导入通过回顾正弦、余弦函数的研究路径，引导学生类比迁移，搭建“定义→性质→图象→应用”的学习支架，促进知识衔接。 其亮点在于以互动探究为载体，通过周期性判断、奇偶性验证等活动培养数学思维，利用“三点两线法”简化作图发展几何直观，结合整体代换思想解决单调区间问题。小结部分从知识与方法层面系统梳理，帮助学生构建知识体系，既提升学生探究能力，也为教师提供结构化教学资源。

第五章 三角函数 5.4.3正切函数的性质与图象 5.4三角函数的图象与性质 【新教材】人教A版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 3 理解正切函数 y=tanx 的定义域、周期性、奇偶性和单调性； 掌握正切函数图象的画法（利用正切线或”三点两线”法），能正确画出 (-,)的图象并通过周期性延拓得到整体图象； 理解正切曲线的渐近线特征，能利用图象解决简单问题。 同学们，前面我们已经系统地学习了正弦函数和余弦函数。大家回忆一下，我们是按照怎样的思路来研究它们的？ 明确研究路径 定义 →图象→性质（周期性、奇偶性、单调性等） → 应用。 那么今天我们要研究的正切函数 y=tanx，能不能也按照这样的”套路”来研究呢？正切函数有哪些性质？它的图象又长什么样呢？ 我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象． 目标一：正切函数的周期性 正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？ 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？ 由诱导公式可知： tan(x+π)=tanx 发现 y=tanx 是周期函数, 且 π 是它的一个周期. 从诱导到周期 函数 的最小正周期为（） A. B. C. D. 仿照正余弦型函数周期求法： 解：设z=, = ]= ,所以，原函数周期是C. 周期性：最小正周期为 解：T=,𝛚=3,T= 目标二：正切函数的奇偶性 奇偶性 ，定义域关于原 点对称. 为奇函数. 目标三：正切函数的图象 思考：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 对于一个周期函数，如果把握了它一个周期内的情况，那么整个函数的情况也就把握了；同样，知道了函数的奇偶性，这个函数图象的对称情况也就清楚了. 可以先考察函数 y=tanx, x∈[0,) 的图象与性质，然后再根据奇偶性、 周期性进行拓展． 思考：如何画出函数 y=tanx, x∈[0,) 的图象? 如图, 设, 在直角坐标系中画出角的 终边与单位圆的交点. 过点 作 轴的垂线 垂足为 ; 过点 作 轴的垂线与角 的终边 交于点 , 则. 构图 由此可见,当 时,线段 的 长度就是相应角 的正切值. 我们可以利 用线段 画出函数 的图象, 如图所示. 观察上图可知，当x∈[0,)时，随着 x 的增大，线段 AT 的长度也在增大，而且当 x 趋向于时，AT 的长度趋向于无穷大．相应地，函数y=tanx，x∈[0,)的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x=． 思考：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？ 根据正切函数是奇函数，只要画y=tanx, x∈[0,)的图象关于原点的对称图形，就可得到y=tanx, x∈(-,0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数y=tanx, x∈(-)的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y=tanx, x∈R, x≠+kπ, k∈Z的图象. 正切函数 y=tanx, x∈R, x≠+kπ, k∈Z 的图象，叫做 正切曲线（如右图）. 正切曲线 从图可以看出, 正切曲线是由被与 y 轴平行的一系列直线x=+kπ, k∈Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. 简化画法 除了利用正切线画正切函数曲线,我们还有其他的办法吗? “三点两线法”作简图 三点： 两线： 直线 和 根据这三点和两条直线便可以得到函数 在一个周期上的简图. 简化画法 画出 y=tanx, x∈(-) 的图象； 再把图象向左、向右平行移动（每次移动 π 个单位长度）； 可得到 y=tanx, x∈R, x≠+kπ, k∈Z 的图象． 回扣周期性 直线 y=a（a 为常数）与正切曲线 y=tanωx（ω 为常数，且 ω≠0）相交的两相邻点间的距离为( C ) π B. C. D. 与 a 值有关 直线 与正切曲线 相交的两相邻点间的距离，就是此正切曲线的最小正周期的值，因此距离为 ． 这个可以做为求正切型函数周期的公式，前面我们已经用到。 牛刀小试 回扣奇偶性 求函数 的图像的对称中心. 对称中心： 如： 分析 是奇函数, 它的图像的对称中心有无穷多个, 其坐标为 . 解析 由 , 解得 . 其图像的对称中心的坐标为 . 牛刀小试 目标四：正切函数的单调性 单调性 发现 当 在区间 上时：曲线逐渐上升，由负无穷大逐渐上升至正无穷大. 正切函数是整个定义域上的增函数吗？ 注意 在每一个开区间 (-+kπ,+kπ),k∈Z 内都是增函数. 求单调区间 函数 的单调递减区间为____。 先变形： 求 的递减区间，等价于求 的递增区间。 正切函数 的递增区间： 令 ： 答案： 提负号，整 体代增得减区间。 牛刀小试 目标五：正切函数性质总述 函数 图象 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间上单调递增 基本性质 基本性质 注意事项 正切函数在定义域上不具备单调性，因此不能说函数在其定义域上是单调递增函数． 正切函数没有最大值和最小值． 正切曲线是由被互相平行的直线 正切函数 y=Atan(ωx+φ) (A,ω,φ" 为常数" ,A≠0,ω>0) 的性质． 定义域: 由 ，求出的 的取值集合即为函数的定义域，即 值域:  单调性：在求函数 （ 为常数，）的单调区间时，首先要保证 的系数为正值，如果 的系数为负数，那么先用诱导公式把 的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由 ，求出 的取值范围即可，同时应注意 的正负对函数单调性的影响． 正切函数 y=Atan(ωx+φ) (A,ω,φ" 为常数" ,A≠0,ω>0) 的性质． 奇偶性: 若 或 ，即 ，则函数 为常数, 为奇函数，否则为非奇非偶函数.   周期性: 最小正周期为 . 对称性: 函数 为常数, 的图象是中心对称图形, 由 解出的 的值为对称中心的横坐标, 纵坐标为零, 但其图象不具有轴对称性. 目标六：典型例题 设函数 . 求函数 的定义域、周期和单调区间； 求不等式 的解集； 作出函数 在一个周期内的简图. 1 综合应用 将 看做一个整体，结合正切函数的性质 和图象求解． 由 ，解得 ， . 函数 的定义域是： . 周期 由 ， 解得 ， 函数 的单调递增区间是 典例分析 例 设函数 . 求函数 的定义域、周期和单调区间； 求不等式 的解集； 作出函数 在一个周期内的简图. 1 综合应用 将 看做一个整体，结合正切函数的性质 和图象求解． 由 ，得 解得 不等式 的解集是： 典例分析 例 设函数 . 求函数 的定义域、周期和单调区间； 求不等式 的解集； 作出函数 在一个周期内的简图. 1 综合应用 令 ，则 ． 令 ，则 ， 函数 的图象与 轴的一个交点 的坐标是 ， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线的方程分别是 ， 从而得到函数 在区间 内的简图． 典例分析 例 目标七：针对训练 举一反三 1.函数的定义域为( ) A B. C. D. 答案: D 解析:由可得 举一反三 2.下列区间中，函数单调递减的区间是( ) A. B. C. D. 答案: A 解析: 令 , 解得 , , 令 , 可得 . 故选:A. 举一反三 (多选) 已知函数，若在区间内单调递增，则实数的可能取值是( ) A. B. C. D. 答案：BC 解析：因为，故， ，由函数在区间内单调递增，得，所以.故选 BC. 举一反三 4.函数 的单调递增区间为__________. 答案： 解析：令，得 即的单调递增区间为 举一反三 5.不求值, 分别比较下列各组正切值的大小. 和; 和. 答案: (1) ; (2) 解析: (1) 因为, . 又, 而函数在上是增函数, , , 即. 举一反三 5.不求值, 分别比较下列各组正切值的大小. 和; 和. , . 又 在 上是增函数, 且 , 所以 , 所以 .   目标八：小结 学海拾贝 知识小结 正切函数的核心性质： 定义域：{x∣x≠+kπ,k∈Z} 周期：最小正周期为 π 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称 单调性：在每个开区间 (-+kπ,+kπ) 内单调递增 值域：R（全体实数） 正切曲线特征：被无数条竖直线 x=+kπ 隔开，形成无穷多支形状相同的曲线，向上、下无限延伸。 学海拾贝 【方法层面】 研究三角函数的一般路径：定义 → 图象→性质 → 应用 作图策略：先研究性质（缩小范围、利用奇偶性），再描点作图，最后通过周期性复制。 【思想层面】 数形结合：用性质指导画图，用图象验证性质； 类比迁移：借鉴正弦函数的研究经验，自主探究新函数； 化归思想：将整体图象问题化归到一个周期内的图象问题。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $