第5章 5.4.3 正切函数的性质与图象（课件PPT）-【优化指导】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

三角函数 5.4.3　正切函数的性质与图象 第五章 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.了解正切函数图象的画法，借助图象，理解正切函数的性质． 2．能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点一　正切函数的周期性与奇偶性 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 正切函数的周期性与奇偶性 周期性 正切函数是周期函数，周期为__ 奇偶性 正切函数是______ π 奇函数 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 正切函数的图象 (1)正切函数的图象，如图． (2)正切函数的图象叫做__________． (3)正切函数的图象特征： 正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线________________所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 正切曲线 知识点二　正切函数的图象 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点三　正切函数的单调性与最值 单调递增 R 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．知识清单 (1)正切函数图象的画法； (2)正切函数的性质． 2．方法归纳：整体代换、换元法． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 ABD 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 课时梯级训练（54） 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．诱导公式tan (π＋x)＝tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z，说明了正切函数的什么性质？ 2．诱导公式tan (－x)＝－tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z，说明了正切函数的什么性质？ “正切函数”与正弦函数、余弦函数都是周期函数，正切函数的周期公式为T＝. [例1] (1)函数f(x)＝tan (－4x＋)的最小正周期为 (　　) A． B． C．π D．2π (2)函数f(x)＝是 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 (1)方法一　函数f(x)＝tan (ωx＋φ)的周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝. 方法二　由诱导公式可得tan (－4x＋)＝tan (－4x＋－π)＝tan [－4(x＋)＋]， 所以f(x＋)＝f(x)， 所以周期T＝. (2)因为函数f(x)的定义域为{x|x≠，k∈Z}，关于原点对称，且f(x)＝＝，所以f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 有关正切函数周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． [练1](2025·重庆高一检测)函数f(x)＝tan 是 (　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为2π的奇函数 C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数 由正切函数性质知f(x)的最小正周期为T＝＝2π，定义域为关于原点对称，且f(－x)＝tan (－)＝－tan ＝－f(x)，即f(x)为奇函数． 所以f(x)是周期为2π的奇函数． [练2](2024·河池高一期末)“y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为π”是“ω＝1”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为π， 则T＝＝π，解得ω＝±1， 故“y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为π”是“ω＝1”的必要不充分条件． x＝＋kπ，k∈Z “正切曲线”只有对称中心，对称中心的坐标为(，0)(k∈Z)，没有对称轴且是无数支曲线． [例2] (1)作出函数y＝tan |x|的图象； (2)利用正切函数图象解不等式tan x≥. (1)y＝tan |x|＝其图象如下． (2)在同一平面直角坐标系中作出正切函数在(－，)上的图象和直线y＝，如图所示，显然在(－，)上，x＝满足tan x＝. 由图可知在(－，)上，使不等式tan x≥成立的x的取值范围是≤x＜. 故使不等式成立的x的集合为{x|kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z}． [变式探究] 将本例(1)中的“y＝tan |x|”改为“y＝|tan x|”呢？函数y＝|tan x|的最小正周期是多少呢？ 作出y＝|tan x|的图象，如图所示． 由图可知，函数y＝|tan x|的最小正周期是π. [练3]y＝tan (2x＋)的对称中心为________． 答案：(－，0)(k∈Z)　 令2x＋＝(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)， 所以对称中心为(－，0)(k∈Z). 与y＝tan x有关的一些图象，结合y＝tan x，x∈(－，)的图象及变换进行作图． 1．单调性：正切函数在每一个区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上都________． 2．值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集____． [例3] (1)函数y＝tan (－2x＋)的单调递减区间为________． 答案：(－，＋)，k∈Z　 由题意可知y＝－tan (2x－)，则要求函数的单调递减区间只需求y＝tan (2x－)的单调递增区间， 由kπ－＜2x－＜kπ＋，k∈Z，得－＜x＜＋，k∈Z， 所以函数y＝tan (－2x＋)的单调递减区间为(－，＋)，k∈Z. (2)(2025·济宁高一检测)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小． ①tan 与tan ； ②tan (－)与tan (－). ①tan ＝tan (3π＋)＝tan ，tan ＝tan (3π＋)＝tan . 因为正切函数y＝tan x在(－，)上单调递增，且0＜＜＜， 所以tan ＜tan ，即tan ＜tan . ②tan (－)＝tan (－3π－)＝tan (－)＝－tan ，tan (－)＝tan (－3π－)＝－tan . 因为正切函数y＝tan x在(－，)上单调递增，且0＜＜＜，所以tan ＞tan ， 所以－tan ＜－tan ， 即tan (－)＜tan (－). 正切函数单调性问题的解题方法 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；②运用单调性比较大小关系． (2)求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． [练4]函数f(x)＝tan x在上的最小值为 (　　) A．1 B．2 C． D．－ 因为f(x)＝tan x在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝tan ＝－. 3．常见误区：最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(，0)(k∈Z). ◎随堂演练 1．函数y＝tan (2x＋)的最小正周期是 (　　) A．π B．2π C． D． 最小正周期为T＝＝. 2．函数y＝tan (x－)在一个周期内的图象是 (　　) 当x＝时，y＝0，C，D错误；函数y＝tan (x－)的周期为T＝＝2π，B错误．故选A. 3．(多选)已知函数f(x)＝tan ，则 (　　) A．函数f(x)的最小正周期为 B．函数f(x)的定义域为 C．函数f(x)的图象的对称中心为，k∈Z D．函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z 函数f(x)＝tan 的最小正周期为T＝＝，A正确； 令2x－≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z， 所以f(x)的定义域为，B正确； 令2x－＝，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z， 所以函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z，C错误； 令－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z， 解得－＋<x<＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z，D正确． 4．比较大小：tan ______tan .(填“＞”或“＜”) 答案：>　 因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0<<<，y＝tan x在(0，)上单调递增，所以tan <tan ，即tan <tan . $$