2026-2027学年苏科版九年级数学上学期第一次月考复习卷

**基本信息** 试卷以一元二次方程和反比例函数为核心，融合天舟九号加热餐具（科技）、杨辉几何解法（文化）、乒乓球运动人数增长（社会热点）情境，设置基础（解方程）、能力（函数综合）、创新（差根方程新定义）三级梯度，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程根的判别（3）、反比例函数图像（2）、几何与代数综合（6、7）|结合杨辉数学文化（7），考查几何直观（5）| |填空题|6/18|方程一般形式（11）、反比例函数性质（12）、面积问题（14）|设置开放探究（15），培养抽象能力（13）| |解答题|9/72|实际应用（21增长率、22加热函数）、函数综合（20、25）、新定义（23差根方程）|融合科技情境（22），发展模型意识（21）、推理能力（23）|

2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考复习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1.若x=1是关于x的方程ax2-x+2=0的解，则a的值为() A.-1 B.1 C.2 D.-2 2.反比例函数y=-9的图象一定经过下列哪个点( ) A.1,9 B.-3,-3 C.-1,-9 D.9,-1 3.关于x的一元二次方程x+bx-1=0的实数根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 4.若x1,水2是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根，则x-x1+x2的值是() A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 5.若a,b互为相反数，则函数y=ax-b与y=a在同一平面直角坐标系中的大致图象是 X 6.如图，过原点的直线与反比例函数y=Kk>0的图象交于点A,B,分别过A,B作x轴，y 轴的垂线，垂足分别为D,C.若四边形ABCD的面积为12，则k=(). A.4 B.6 C.8 D.10 7.在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十 四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步， 长和宽共60步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几 何解法，如图：用四个完全相同的面积为864平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地 的宽为x,则可列方程为() A.(60-2x}=60-4×864 B.x60+x=864 C.(60+2x)2=602-4×864 D.x60-2x=864 8.如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A0,3,O0,0,B4,0,C4,3,动点F在边BC上 (不与B、C重合)，过点F的反比例函数y=K的图象与边AC交于点E,直线EF分别与y轴 X 不和x轴相交于点D和G若DEG瓷则的使为《) BG六主 A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知整式N:anx+an-1x-1+…+a1x+a,其中n为正整数，a为自然数，a1,az…an是 从1,2中任意选取的一个数，且Sn=an+an-+…+a1+ao.下列说法： ①若n=1,则满足条件的单项式W共有3个； ②若n=2且S2=3,则使得方程N=0的所有实数根的和为5： ③若n=3,a,=2且S3=6,则满足条件的整式N共有24个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知P是反比例函数y=12x0图象上一点，点B的坐标为5,0，A是y轴正半轴上一点， 且AP⊥BP,AP:BP=1:3,那么四边形AOBP的面积为() A.16 B.20 C.24 D.28 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.把方程3x+22x-3=0化为一般形式是 12.已知点A-2,y1和点Bm,y2均在反比例函数y=《k<0的图象上.若0<m<1,则y,+y2 0.（填“>”“=”或“<”) 13.若关于X的一元二次方程ax+bx+2=0(a≠0)有一个实数根为x=2026,则一元二次方 程ax-1'+bx-b+2=0必有一个实数根为 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y=上k≠0，x<0图象上一点，线段 BC⊥OC于点C,交反比例函数y=《k≠0，x<0图象于点D,连接OD,线段BO经过点A,且 A为线段BO的中点，若△OAD的面积是15，则k= D 15.已知实数a,b,c满足a+b-2c=10,ab-50=2c2,则a-b-c的值为 16.如图，点A在x轴正半轴上，点B的坐标为0,2，点C在第一象限，若反比例函数 y=kk>0的图像经过点C,∠ABC=90°，AB平分∠OAC.当AC最小时，k的值为 O A 三、解容题（本大题共9小题，满分72分） 17.(6分)解方程： (1)4x2-8x+1=0 (2)3x2+52x+1=0 18.(6分)已知反比例函数y=k-1(k为常数，k≠1) X (1)若该反比例函数图象与正比例函数y=X的图象的一个交点为P,且点P的纵坐标是2，求k 的值. (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围. 19.(6分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-3=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)设X1,X2是原方程的两个实数根.若k为正整数，求X1X2的值. 20.(8分)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OC,OA分别在坐标轴上，且OA=3, OC=6,反比例函数y=kk>0的图象与AB,BC分别交于点D,E,连接DE,OD,OE.若 △OAD的面积为2： 个y B O C (1)求反比例函数的表达式： (2)求△ODE的面积. 21.(8分)“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平.据统计在伦敦 世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人， (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台.该公司规定：若购 买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元， 但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球 台的台数. 22.(9分)天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的 “太空快递”.快递中有一个给食物加热的餐具.该餐具给食物加热的时间与食物的温度之 间的函数图象如图所示.该餐具4分钟就可以将20℃的食物加热到100℃，此后停止加热， 食物温度开始下降.已知食物温度下降过程中食物温度y(单位：℃)与时间x(单位：in )成反比例关系. 个y/℃ 100- 20 04 x/min (1)求食物温度下降过程中y与x的函数关系式.（无需写出自变量x的取值范围） (2)若食物需要从20℃加热到100℃，然后降温到40℃方可食用.问食物从开始加热，到可 以食用需要等待多长时间？ 23.(9分)已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0有两个实数根x1,X2,若满足 xx=1,则此类方程叫做“差根方程”。根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是；（填写序号) ①x2-x=0;②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x+2ax=0是“差根方程”，求a的值. (3)已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为V7,若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次 项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”· 24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的 正半轴上，点A在反比例函数y=kk>0,x>0的图像上，点D的坐标为8,61. o(c (1)求反比例函数的关系式； (2)设点M在反比例函数的图像x>O上，连接MA,MD,若△MAD的面积是菱形ABCD面积的 求M点的坐标. 25.(10分)如图，一次函数y=mx+nm≠0的图象与反比例函数y=Kk≠0l的图象交于第一、 三象限内的A,B两点，与y轴交于点C,过点B作BM⊥x轴，垂足为点M,BM=OM=2,点 A的纵坐标为4. M D B (1)求该反比例函数和一次函数的表达式： (2)直线AB交x轴于点D,过点D作直线！⊥x轴，如果直线1上存在点P,坐标平面内存在点 Q.使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标. 参考答案 一、选择题 1.A 解：把x=1代入方程ax2-x+2=0,得a·12-1+2=0,即a+1=0, 解得a=-1. 2.D 解：：反比例函数解析式为y=-9 ∴.对图象上任意一点(x,y,都满足y=-9. A、1×9=9≠-9，不满足，故此选项不符合题意； B、（-3)×(-3)=9≠-9，不满足，故此选项不符合题意； C、（-1)×(-9)=9≠-9，不满足，故此选项不符合题意； D、9×(-1)=-9,满足条件，故此选项符合题意. 3.A 解：，一元二次方程x+bx-1=0中，a=1,c=-1, ∴.4=b2-4ac=b2-4×1×-1=b2+4, .b2≥0， .b2+4>0, .方程有两个不相等的实数根. 4.C 解：x1是一元二次方程x2-2x-2026=0的实数根， .x-2x1-2026=0, .x1=2X1+2026 ·X-X+X2=2x1+2026-x1+x2=x1+x2+2026 X1,x2是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根， .X1+X2=2, .x1-X1+X2=2+2026=2028. 5.D 解：，a,b互为相反数， ∴a=-b, 当a>0,b<0时，函数y=ax-b的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象 限，无此选项； 当a<0,b>0时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，选项D 符合. 故选：D. 6.C 解：设Ax,y,其中x>0,y>0, :点A在反比例函数y=k>0上， X ∴.xXy=k' 直线AB过原点， :点A与点B关于原点对称， .B-x,-y' :AD⊥x轴，BC⊥y轴， ..D x,0'C0,y' ∴.OD=x’AD=y'OC=y'BC=x' .∠COD=90, x=号k, &S0cm)0C·OD= :'S四边形ABCD=S△OAD+SA0Bc+SA0CD' .3k=12, . k=8 7.A 解：设矩形田地的宽为x,则长为60-x,小正方形的边长为60-2x, 根据小正方形面积的两种求法可列方程为(60-2x?=60-4×864. 8.A 解：设k=12m,则E4m,3,F4,3m,AE=4m, 设直线EP的解析式为y=aK+b,则4b3 03 解得， 4 b=3m+3 ·直线EF的解析式为y=- 4x+3m+3, 当x=0时，y=3m+3,即D0,3m+3, 当y=0时，x=4m+4,即G4m+4,0, ∴.AD=3m, 由勾股定理得，DE=VAE2+AD=5m, 如图，作EM⊥OB于M,则OM=4m,EM=3, 0 M BG ∴.MG=OG-OM=4, 由勾股定理得，EG=VME2+MG=5, DE·EG=5mx5=25 2 解得，m=12 k=1, 故选：A. 9.B 解：逐个验证三个说法： ①当n=1时，N=a1x+a,由题知a1)是从1,2中任意选取的一个数，即a1≠0，若N是单项式， 则必须=0，a1可取±1，±2，共4个满足条件的单项式，故①错误，不符合题意； ②当n=2:N=a,x2+a,x+a,'S,=3时，S,=a,+a+a=3 a1,a2是从1,2中任意选取的一个数，a0为自然数， S2=a+a1+a,=3' (a)a1=a2=1,a=1,则N=a2x2+a1x+1, N=0, ∴.a2x+a1x+1=0, 情况-：a1=a2=1,则x+x+1=0,4<0,不符合条件， 情况=：0=a,=-1,则-×2-x+1=04>0,X+x=-子=-1， 将况三：a=1,0,=-1,则-+x1-040,名*8-片1， 情况四：a1=-1,a2=1,则x2-x+1=0,△<0，不符合条件， (b)a1=a2=2,a=-1,矛盾，不符合题意； (c)a1=1,a2=2,a0=0,则N=a2x2+a1x N=0, ∴.a2x+a1X=0, 情况：a=1,a=2,则2x2+x=0,X+x=之 情况=：4=10=2则-240，为*%之分 情况三：0=-1，a=2,则2-x=0X*%=-号分 情况国：a=-1,0,=-2,则-2-X=0X+X=-二号分 (d)a=2,a2=1,a=0,则N=a2x2+a1x N=0, ∴.a2X+a1X=0, 情况：a=2,a=1,则242x=0X*X=子-2 2=2 情况二：a,=2,a,=-1,则-X2+2x=0,X1+x=- 情况三：a1=-2,a,=1,则x2-2x=0,X+x,=-2-2, 1 将况国：a=-2,0,=-1,则-父-2x=0,+=-二子-2 等上，俊释方程N0碳所车实数限的尔为-1+1-号号号是2+22-2-0，款②相民，不 符合题意； ®当n=3a,=2:N=ax+a,x2+a1x+2:S,=6时，lag+)az+a1=6-2=4 情况-：a3=2,a2=1,a1=1, 则有： 2,1,1,2,1,-1,2,-1,1,2,-1,-1,-2,1,1,-2,1,-1,-2,-1,1,-2,-1,-1 共有8个满足条件的整式N, 情况二：ag=1,a2=2,a1=1, 则有： 1,2,1,1,2,-1,-1,2,1,-1,2,-1,1,-2,1,1,-2,-1,-1,-2,1,-1,-2,-1 共有8个满足条件的整式N, 情况三：a=1,a2=1,a=2, 则有： 1,1,2,1,-1,2,-1,1,2,-1,-1,2,1,1,-2,1,-1,-2,-1,1,-2,-1,-1,-2 共有8个满足条件的整式N, 综上，一共有24个满足条件的整式N, 故③正确，符合题意； 综上，正确的个数只有1个. 10.B 解：如图，作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,则∠PMO=∠PMB=∠PNA=90°， NA- D 0 M ∠AOB=90°， .四边形PMON是矩形， AP⊥BP, ∴.∠APB=90°， .∠APN=∠BPM=90°-∠APM, 在PB上取点C,使得PC=PA,过点C作CD⊥PM于点D,则∠PDC=90°，连接BD,CM, ∴.∠PDC=∠PNA, ∴.△PDC≌△PNA AAS, .PD=PN. .AP:BP=1:3 ∴.PB=3PA=3PC, ∴.S△PBD=3S△PCD, .∠PDC=∠PMB ∴.CD‖BM, :.SABCD=SAMCD; .SAPCM=SAPCD+SACDM=SAPCD+SABCD=SAPBD=3SAPCD, ∴.PM=3PD=3PN, .设PN=X,PM=3x, ..Px,3x, :点Px,3x是反比例函数y=12x>0图象上一点， X 3x=12 X ∴.x=2(负根不合题意，舍去)， .PN=2,PM=6,P2,6, ·点B的坐标为5,0， ∴.BM=3, S,mDM~PM=x3×6=9. .PM=3PD. .SAPBD3S△PBM=3 .PB=3PC, 1 SAPD=3SAP=1. .S△PAN=S△PCD=1, S四边形PMON=PM·PN=6×2=12 ∴.S口@5am=Sg边形PMON+S△1-S0△=12+9-1=20. 二、填空题 11.6x2-5x-6=0 解：，3x+22x-3 =3x…2x+3x-3+2·2x+2·-3 =6x2-9x+4x-6 =6x2-5x-6' :.原方程化为一般形式为6X-5x-6=0 12.< 解：点A-2,y,和点Bm,y,均在反比例函数y=Kk<0的图象上 :由反比例函数图象的对称性可知，点(2，-y在图象上， .k<0 :反比例函数图象在二、四象限，且y随x的增大而增大， .0<m<1 .y2<-y1' ∴.y1+y2<0' 故答案为：< 13.x=2027 解：.ax-12+bx-b+2=0. .ax-1+bx-1+2=0, 设m=x-1, 则方程ax-1'+bx-1+2=0可化为am2+bm+2=0 ,'关于x的一元二次方程ax+bx+2=0(a≠0)有一个实数根为x=2026, .关于m的一元二次方程am+bm+2=0(a≠0)有一个实数根为m=2026, ∴.2026=x-1, ∴.x=2027, .一元二次方程ax-1+bx-b+2=0必有一个实数根为x=2027. 14.-20 解：设Aa, a A为线段BO的中点， 2.B2a,2k a' SAB0D=2SAA0D=2×15=30, .BC⊥OC, G2a0.n2a会 OC=-2a,CD=k, BC=2k 2a a S-SAmc-SD-OCBC-OCCD, 2 2 30--2a×20-2×2六 a 2 解得k=-20】 15.-5 解：.a+b=10+2c,ab=2c2+50, ∴.a,b为方程的x2-10+2cx+2c2+50=0的两实根， △=-10+2cl-42c2+50=-4c-5≥0' ∴.c=5,a+b=20,ab=100, ∴.a20-a=100,即a2-20a+100=0,解得：a1=a2=10, ∴.a=b=10, ∴.a-b-c=10-10-5=-5, 16.8 解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D,延长CB交x轴于点E, Db--- B E OA .点B的坐标为0,2， .OB=2 .AB平分∠OAC ∴.∠EAB=∠CAB 又.∠ABE=∠ABC=90°，AB=AB .∴△EAB≌△CAB ASA ∴.BE=BC .CD⊥y轴 ∴.∠CDB=∠EOB 又.∠DBC=∠OBE ∴.△DBC≌△OBEAAS ..DB=OB=2 ∴.0D=4,即D0,4 ,CD⊥y轴 .点C的纵坐标是4， 点C在第一象限内的直线y=4上运动， 当AC⊥x轴时，AC最小，如图， ∴.∠OAC=90° ,AB平分∠OAC ∴.∠OAB=45° .∵∠AOB=90° ∴.∠ABO=45° ∴.OA=OB=2 ∴.C2,4 将C2,4代入y=k得，4= 解得k=8. 三、解答题 17.(1)解：4x2-8x+1=0, :父-2=-子 1 X-2x+1=-4+1, 即，x-- 3 .X-1=±2 *13 水=1+3 2 (2)解：原方程整理，得，3x+10x+5=0, .a=3,b=10,c=5' .4=102-4×3×5=40 x=-10±40.-5±/10 2×3 3 30,x5-10 ·x=5+10 3 18.解：(1)把y=2代入y=x得：x=2, 即P2,2, 代入y=k-1得：k,1=2, 2 解得：k=5; (2)由题意知，k-1<0, 解得k<1. 19.(1)解：关于x的一元二次方程X+2x+2k-3=0有两个不相等的实数根， .4=22-42k-3>0, 解得，k<2, ∴.k的取值范围为k<2; (2)解：x1,X2是原方程的两个实数根，k<2, k为正整数， .k=1, .方程为x2+2x-1=0, .X1X2=-1 20.(1)解：四边形OABC是矩形， .∠OAD=90°， ,△OAD的面积为2， :K=2Ik>0, .k=4, ∴反比例函数的表达式为y=4x>0 (2)解：，四边形OABC是矩形， ∴.OA=BC=3,OC=AB=6, :反比例函数的表达式为y=4x>0,OA=3, X ∴.点D的纵坐标是3， 3，帮得：X营 X D哈3 42 同理当x=6时，y=63' 6弘 AD李BD=AB-AD=6-专兰CEBE=Bc-CE=3-号子 .S△ODE=S知形0ABc-SAOAD-SA0CE-S△BDE -0A0c-令台方6D-BE =6×3- 44114、7 22233 Γ9 21.(1)解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x, 由题意得：3.2(1+x=5, 解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意，舍去)， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为25%； (2)解：100×1600=160000（元）<240000元， ∴.购买的乒乓球台数超过100台. 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由斑客得：160-40×”70≥10， 解得m≤250， 又m1600-m-10×40=2400, 10 整理得：m2-500m+60000=0, 解得：m1=200,m2=300(不符合题意，舍去)， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台. 22.(1)解：食物温度下降过程中y与x成反比例关系，设y=《 反比例函数的图象过点4,100， 10=学解得k=40, 400 .y= X (2)令y=40,得40-40，解得x=10. 答：食物从餐具开始加热，到可以食用需要等待10min. 23.(1)解：①x2-x=0 解得：x1=1或x2=0, .x1-x2=1-0=1 ①是“差根方程”； ②x2-4x-5=0 解得：X1=5,X2=-1, :x1-x2=5--1=6≠1' :②不是“差根方程”； (2)解：方程x+2ax=0 因式分解得：xx+2a=0, 解得：X1=0,X2=-2a, 方程x+2ax=0是“差根方程”， ∴.0--2a=1' ∴.2a=1' 2a=1或2a=-1 架得：0或知= (3)解：设AB=x1、AC=X2, :△ABC是直角三角形，斜边BC的长为7， ..AB2+AC2=BC2, .x+x2=7 :XX是“差根方程”的两个实数根， X1-x2=1 ∴.x1-x2=1’ .x7+x3-2X1x2=1 .7-2X1X2=1 .X1X2=3 ∴.x1+x2=x1+x3+2x1X2=7+2×3=13 “X飞，是三角形的边长，均为正数， ∴.1+x2=13, …方程二次项系数为1， :.所求差根方程为x-/13x+3=0 24.(1)解：如下图，延长AD交x轴于点E, B D O(C)E ,四边形ABCD为菱形，且顶点C与原点O重合， ∴.OBAD,AB=BO=OD=AD, .∠BOE=90°， ∴.∠AEO=180°-∠B0E=90°，即AE⊥x轴， 点D的坐标为8,6， .OE=8,DE=6, ∴在Rt△ODE中，OD=VOE2+DE2=82+62=10, ∴.AB=BO=OD=AD=10, ∴.AE=AD+DE=10+6=16, .A8,16, 将点A8,16)代入反比例函数y=K 可得168，解得k=128) 该反比例函数的关系式为y=128 X (2)点M在反比例函数的图像上， 可设Mm, 128 m>0, m :SAam=OB×OE=10×8=80,△MAD的面积是菱形ABCD面积的7 S05w40, ,AE⊥x轴，且AD=10, 5au×A0D×m-8F40.即}10m-8=40, 2 .m-8=8, 解得m=16或m=0, .m>0, .m=16,此时y 128=8, 16 .M16,8. 25.（1)解：，BM=OM=2,BM⊥X轴， 点B的坐标为-2，-2， 把-2，-2代入得：k=-2×-2=4, 反比例函数的解析式为y=4 .点A的纵坐标是4， 4=4,解得：x=1, X .点A的坐标为1,4， 把点-2，-2,1,4代入y=mx+nm≠0，得： -2mn2小解：2 即一次函数的解析式为y=2x+2; (2)解：存在， 对于y=2x+2,当y=0时，x=-1 .D-1,0, .0D=1, 直线1上x轴， ∴.可设P-1,a, 四边形OPAQ是矩形， 如图，此时OA2-PA2=OP2=PD+0D2, 12+42-1+12+4-a2）=12+a2, 解得：a=2±2， 此时点P的坐标为-1,2+V2或-1,2-V2: 综上所述，点P的坐标为-1,2+V2或-1,2-V2.