精品解析：湖北省高中名校联盟2027届高三上学期8月联考数学试卷

数　　学 本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】易知，所以． 3. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，则,． 由与互相垂直得， 即，化简得， 解得． 4. 若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，圆锥的底面半径，设母线长为，则， 所以该圆锥的侧面积为. 5. 已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 6. 已知函数的部分图象如图所示，，是图象与轴的交点，且，，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点求出点横坐标，进而确定的周期，得出，再利用向量数量积公式得到，再将点坐标代入函数即可求解. 【详解】由图可知，点的横坐标为，则，所以． 因为，所以，得． 因为，所以．将点坐标代入函数，得，即． 所以，即．因为，所以． 7. 已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设过，点的切线方程，分别与抛物线联立，求得切线方程，将切线方程联立，可求得．又，，即可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 8. 已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为两个函数图象公共点问题，令，得，令，求导，根据导数判断函数的性质，得出直线与函数的图象有两个交点时的取值范围. 【详解】若存在正实数，使得， 则函数与的图象有两个公共点． 所以，即在时有两个不同的解． 又．令，问题转化为求直线与函数的图象有两个交点时的取值范围． ，令，得，解得． 当时，单调递增；当时，单调递减． 因此在处取得最大值，所以． 当时，；当时，，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 数据，，，，，的分位数是 C. 若随机变量，，则 D. 当相关系数时，样本点都落在同一条直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据方差的性质即可求解；对于选项B，根据百分位数的计算公式，即可求解；对于选项C，根据正态分布的性质，即可求解；对于选项D，根据相关系数的概念，即可判断. 【详解】对于A选项，由，解得，故A正确； 对于B选项，因为，所以数据，，，，，的分位数是，故B错误； 对于C选项，若随机变量，则， 所以，故C正确； 对于D，当相关系数满足时，所有样本点完全线性相关，即全部样本点都在同一条直线上，故D正确． 综上所述，选项ACD正确. 10. 记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. C. D. 数列为周期数列 【答案】AC 【解析】 【分析】令得到，结合，可判断A，再结合A进一步可判断BCD. 【详解】令，则． 因为，所以． 于是，所以，即． 所以是以为首项，公差为的等差数列． 所以，所以． 选项A：因为，所以为等差数列，所以A正确． 选项B：．因为时，所以不恒成立，B错误． 选项C：由， 得． 而，所以，C正确． 选项D：通项随变化，对应的点分布在函数的图象上，不是周期数列，D错误． 11. 已知曲线，点在上，为坐标原点，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 直线与有且仅有4个交点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先将原曲线方程变形得到，结合的隐含条件，针对四个选项的不同设问方向分别构造单变量函数，通过导数分析函数的单调性、最值、零点情况，逐一判断选项正误． 【详解】对于A选项，曲线方程变形为， 因为点在上，所以， 因为，所以． 令，， ，所以函数在上单调递减， 又，所以的解集为， 所以的解集为， 所以，故A正确； 对于B选项，， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C选项，联立与，得， 令，构造函数， 求导，所以在单调递增， 当时，；当时，， 由零点存在定理，存在唯一的使得，对应两个横坐标， 即两个交点和，共2个交点，故C错误； 对于D选项，要证，等价于证， 令，由，得， 则， 下面证明当时，， 设，只需证， 求导，显然在单调递增， 当时，；当时，， 所以存在唯一极值点，满足， 且在单调递减，在单调递增， 故在上的最大值为， 故当时，， 因此， 第一个等号当且仅当或1时成立，第二个等号当且仅当时成立， 因此两个等号无法同时取得，所以，即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 【答案】10 【解析】 【详解】由二项式定理知，的展开式中的项为，即对应系数为10. 13. 已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】确定两个切点坐标，得到直线方程，结合点到线距离公式即可求解. 【详解】 如图，其中一条切线为轴，设切点为． 设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2， 得，解得． 所以的方程为． 联立， 消去化简的：， 解得，故， 即，所以． 所以的方程为：，即：． 所以的最小值为点到直线的距离，即． 14. 在正方体中，为的中点．设正方体的所有顶点与棱的中点构成集合，若从中任取两个点连成直线，则与直线垂直的直线条数为________． 【答案】18 【解析】 【分析】先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直性质定理，确定所有与垂直的直线有平面，平面和平面.再利用组合数公式与加法原理求得与直线垂直的直线条数即可. 【详解】如图，在正方体中， 设对应棱上的点（非顶点）为棱的中点， 连接，． 因为， 所以平面． 因为平面， 所以． 又因为，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 同理． 因为平面，所以平面． 故所有与垂直的直线在平面内或与平面平行． 易知与平面平行的平面有平面，平面和平面． 所以满足条件的直线条数为：（条）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，解之得，从而可得的通项公式； （2）由可得，，利用错位相减法即可得结果. 【小问1详解】 由已知条件可得，解之得，，所以，. 【小问2详解】 由可得，，设数列的前项和为. 则， ∴， 以上二式相减得， 所以，. 16. 如图，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，． （1）求二面角的余弦值； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用菱形中角构造等边三角形，取中点，证明平面 ，找到二面角的平面角 ，再通过勾股定理和余弦定理计算其余弦值； （2）以第一问中的平面角为基础，过点作底面的垂线，确定三棱柱的高，再用体积公式即可求得体积． 【小问1详解】 取的中点，连接． 四边形为菱形，， 与是等边三角形，． ． ， 是二面角的平面角． 又，平面，平面平面． 平面． ． ． 所以二面角的余弦值为． 【小问2详解】 过作于点，则，，． 平面，平面，． 且平面面． 所以． 所以三棱柱的体积为． 17. 记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． （1）若为的角平分线，，，求的面积； （2）若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线将三角形面积分割为两个小三角形面积之和，建立与的关系，再结合余弦定理建立方程组消去，解出后直接代入面积公式即可； （2）利用中线向量公式将表示为的函数，结合余弦定理和正弦定理消去，转化为关于角的三角函数；再由锐角三角形条件确定角的范围，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 因为是的角平分线，所以． 因为，所以． 因为， 所以，化简得． 又因为，由余弦定理得，所以． 所以，解得． 所以的面积为． 【小问2详解】 由余弦定理，得，即． 因为为边的中线，所以． 所以． 由正弦定理，得， 所以． 所以 ． 因为为锐角三角形，， 所以，解得． 所以． 所以． 所以，即． 18. 已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． （1）求的标准方程； （2）若，求的方程； （3）记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线距离得到方程，求出双曲线方程； （2）设出直线，联立直线和双曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出两三角形面积，得到方程，求出答案； （3）作出辅助线，根据内心的性质和双曲线定义可得，，结合韦达定理得到，并求出面积的最大值. 【小问1详解】 因为右焦点到渐近线的距离， 所以． 又离心率，且，解得． 所以的标准方程为． 【小问2详解】 设直线，点在第一象限，故， 联立消去得． 由韦达定理，得． 因为与的右支交于两点，所以，即． 因为，且，所以． 所以，解得，满足要求， 由于，故，故，解得，故， 所以的方程为． 【小问3详解】 由已知得． 过的内心作的垂线，垂足分别为，如图所示． 根据切线长定理，得， 由，得． 又，所以． 而，则． 所以．同理． 所以． 又， 所以． 因为， 所以，解得． 即，同理．所以． 因为， 所以． 所以． 又， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为，所以当时，取最大值． 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验，产品按质量分为一等品和二等品．已知每个产品为一等品的概率都为，且各产品是否为一等品相互独立．现从这批产品中有放回地抽取件作检验，记其中一等品的个数为．定义该批产品的综合质量指数为． （1）求； （2）设，记，证明：； （3）设，且正实数，满足，定义函数，证明：对任意满足条件的，． 【答案】（1） （2）因为，所以． 所以 ． 所以． 求导得．因为，所以在上单调递增． 所以． 由于，所以． 所以原不等式成立． （3）由题意可知 因为，所以． 所以． 又，所以． 又， 所以． 所以，所以原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）应用数学期望公式结合二项分布数学期望公式计算求解； （2）应用导数正负得出函数单调性及最值计算证明； （3）应用新定义结合基本不等式列式计算证明. 【小问1详解】 由题意可知，，则． 所以． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数　　学 本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，，是图象与轴的交点，且，，．则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 数据，，，，，的分位数是 C. 若随机变量，，则 D. 当相关系数时，样本点都落在同一条直线上 10. 记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. C. D. 数列为周期数列 11. 已知曲线，点在上，为坐标原点，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 直线与有且仅有4个交点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 13. 已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 14. 在正方体中，为的中点．设正方体的所有顶点与棱的中点构成集合，若从中任取两个点连成直线，则与直线垂直的直线条数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，． （1）求二面角的余弦值； （2）求三棱柱的体积． 17. 记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． （1）若为的角平分线，，，求的面积； （2）若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 18. 已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． （1）求的标准方程； （2）若，求的方程； （3）记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 19. 某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验，产品按质量分为一等品和二等品．已知每个产品为一等品的概率都为，且各产品是否为一等品相互独立．现从这批产品中有放回地抽取件作检验，记其中一等品的个数为．定义该批产品的综合质量指数为． （1）求； （2）设，记，证明：； （3）设，且正实数，满足，定义函数，证明：对任意满足条件的，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $