26.1 二次函数的概念 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层递进式设计，通过基础概念辨析、实际情境应用到动态几何综合，构建从概念理解到创新应用的知识巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|二次函数定义、系数识别、简单实际问题|以选择填空为主，如判断函数是否为二次函数，强化概念辨析| |能力提升|实际情境建模、几何图形中的函数关系|结合生活情境，如利润问题、矩形面积，提升应用能力| |思维拓展|动态几何中的面积变化|动态问题与函数结合，如等边三角形移动重叠面积，发展几何直观|

第二十六章　二次函数 26.1　二次函数的概念 —— 夯实基础 —— 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数是关于的二次函数，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 3．若函数□是二次函数，则“□”可以是（　　） A． B． C． D． 4．若是二次函数，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 5．已知是二次函数，则（　　） A．不为零 B．不为零 C．不为零 D．，，均不为零 6．关于的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，， B．，4，1 C．2，，1 D．，4， 7．把一根长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则与的函数关系式为　　 （写出自变量取值范围）． 8．在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是　　 ．（填写序号） 9．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为，则12月份化肥的产量与之间的函数关系式为　　 ． 10．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） —— 能力提升 —— 11．下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元与每件售价（元的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 12．线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 13．如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，中间用篱笆隔开，，墙长．设，矩形的面积为，则关于的函数关系式是　　 ，的取值范围是　　 ． 14．已知函数是关于的二次函数． （1）求的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 15.一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形垂直于地面的一边长为2.5 m. (1)求隧道截面的面积S(m2)与上部半圆的半径r(m)之间的函数关系式； (2)当上部半圆的半径为2 m时，截面面积是多少(参考数据：π≈3.14，结果精确到0.1 m2)? —— 思维拓展 —— 16．如图，等边三角形ABC以2 m/s的速度沿直线l向菱形DCEF移动，直到AB与DC重合，其中∠DCE＝60°，等边三角形ABC和菱形DCEF的边长均为10 m．设当x s时，等边三角形ABC与菱形DCEF重叠部分的面积为y m2. (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)当x＝和x＝1时，y分别是多少？ (3)当重叠部分的面积是菱形DCEF面积的时，等边三角形ABC移动了多长时间？ 答案详解 1．解：根据二次函数的概念逐项分析判断如下： ，最高次项为三次，不是二次函数，故不符合题意； ，最高次项为一次，不是二次函数，故不符合题意； ，符合形式，且，是二次函数，故符合题意； 含有分式，不是二次函数，故不符合题意． 故选：． 2．解：函数是关于的二次函数， ， ． 故选：． 3．解：根据二次函数的定义，要使得函数□是二次函数，只有选项“□”可以是． 、，不是二次函数，故选项错误； 、，是一次函数，故选项错误； 、，是二次函数，故选项正确； 、，是一次函数，故选项错误； 故选：． 4．解：由题意可得：，且． 由，得，解得或． 又，即， ． 故选：． 5．解：是二次函数， ， 故选：． 6．解：关于的二次函数的解析式是，其中二次项系数是、一次项系数是4、常数项是1， 故选：． 7．解：把一根长为的铁丝围成一个矩形， 设矩形的一边长为，面积为， 另一边长为， 则面积，需满足． 故答案为：． 8．解：①，其中，是二次函数，符合题意； ②，可能为0，不一定是二次函数，不符合题意； ③，为一次函数，不是二次函数，不符合题意； ④，是分式函数，不是二次函数，不符合题意． 故答案为：①． 9．解：月份生产某种产品，平均每月的增长率为， 月份化肥的产量与月平均增长率之间的函数关系式是：． 故答案为：． 10．解：的二次项系数为，一次项系数为2，常数项为； 的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为； 的二次项系数为，一次项系数为1，常数项为0； 填表如下： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 故答案为：（1），2，； （2），0，； （3），1，0． 11．解：①，是的反比例函数； ②，是的正比例函数； ③，是的二次函数； 所以与满足的函数关系是二次函数的是③， 故选：． 12．解：根据题意可得：， ， 的面积，属于二次函数关系， 正方形周长，属于一次函数关系， 故选：． 13．解：由已知得：， ， 墙长， ， 解得， 的取值范围为； 故答案为：，． 14．解：（1）由条件可得， ． （2）二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 15.解：(1)∵上部半圆的半径为r m， ∴矩形的另一边长为2r m. ∴S＝S半圆＋S矩形＝πr2＋2.5×2r＝πr2＋5r. 答：S与r之间的函数关系式为S＝πr2＋5r. (2)当r＝2时，S＝π×22＋5×2≈16.3. 答：当上部半圆的半径为2 m时，截面面积约是16.3 m2. 16．解：(1)设平移后的△ABC为△A′B′C′，A′C′交CD于点G. ∵∠A′C′B′＝∠DCE＝60°， ∴△CGC′为等边三角形． 过点G作GH⊥直线l于点H，则CG＝CC′＝2x m. ∴CH＝x m．∴GH＝＝x m. ∴y＝×2x·x＝x2(0≤x≤5)． (2)当x＝时，y＝×()2＝； 当x＝1时，y＝×12＝. (3)过点F作FM⊥直线l于点M. ∵EF＝10 m，∠FEM＝∠DCE＝60°，∴∠EFM＝30°. ∴EM＝5 m．∴FM＝＝5 m. ∴S菱形DCEF＝10×5＝50(m2)． 在y＝x2中，令y＝×50，则x2＝×50， 解得x1＝2，x2＝－2(不符合题意，舍去)． ∴当重叠部分的面积是菱形DCEF面积的时，等边三角形ABC移动了2 s. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26．1　二次函数的概念 ▶ 【1分钟知识回顾】 1．什么是函数？什么是一次函数？ 解：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数；形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数． 2．一元二次方程的一般形式如何表示？ 解：一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0). ★ 【教学目标】 课题 26.1　二次函数的概念 授课人 素养目标 1.学生能够理解二次函数的概念，能够根据实际问题列出二次函数解析式，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围． 2．通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，拓展学生的数学思维，增强学好数学的信心. 教学重点 对二次函数概念的理解. 教学难点 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.什么叫函数？我们之前学过了哪些函数？ 2．它们的形式是怎样的？ 3．一次函数(y＝kx＋b)的自变量是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？k值对函数性质有什么影响？ 通过复习函数的概念及一次函数的相关知识，帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解； 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数解析式是什么？它是一次函数吗？有什么特点？ 学生思考后回答，教师点拨：这是我们今天需要学习和研究的“二次函数”数学模型. 以正方体表面积等学生熟悉、感兴趣的问题引入新课，让学生在具体情境中感受变量之间的函数关系 活动二：实践探究、交流新知 1.探究新知 (1)n个球队参加比赛，每两个队之间都要进行一场比赛，场数m与球队数n之间有什么关系？每个队要与几个队各比赛一场？ (2)某产品今年的年产量是20 吨，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将由计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 教师提问： (1)以上问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？列出问题中的函数解析式． (2)观察上面的函数解析式，分析解析式有什么特点． 让学生独立思考完成解答，教师适当地引导与点拨，共同得到问题的结论． 教师归纳总结：在上面的问题中m＝n2－n，y＝20x2＋40x＋20都是用自变量的二次式表示的． 教师板书： 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数． 2．解析新知 教师指导学生观察二次函数的定义，交流、讨论二次函数的特征，并进行总结： ①等式左边是函数y，右边是关于自变量的整式； ②a，b，c都是常数，a≠0； ③等式右边自变量的最高次数为2，一次项和常数项可以为0，但是必须保留二次项； ④自变量x的取值范围是全体实数． 教师做好归纳： 二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，ax2叫作二次项，a叫作二次项系数，bx叫作一次项，b叫作一次项系数，c是常数项. 从比赛场次、产量增长等现实问题入手，为学生创设熟悉的问题情境，通过解决这些问题抽象出二次函数关系式，为得出定义做好铺垫，让学生感受到身边的数学；组织学生分析、交流，自主探究二次函数的概念，加深对定义及关键条件的理解，为后续学习打下基础。 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第31页例)(1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式． (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位：万件)关于x的函数解析式． 解：(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S＝2πr2＋2πr·r，即S＝4πr2. (2)一年后产品的年销售量为8(1－x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以y＝8(1－x)2，即y＝8x2－16x＋8. 师生活动：学生自主进行解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论，并获得解题的经验． 【变式训练】 1．若y＝(a＋3)x|a|-1＋3x是二次函数，则a＝3． 2．已知直角三角形的两条直角边的和等于8 cm，设它的一条直角边为x cm，面积为y cm2. (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x＝4时，求y的值． 解：(1)y＝x(8－x)＝－x2＋4x(0＜x＜8)． (2)当x＝4时，y＝－×42＋4×4＝8. 教师重点关注：学生对已解问题与未解问题的对比分析能力；给予学生一定的时间去思考、充分讨论，争取让学生自己得到解答方法，并对学习有困难的学生适当引导、点拨. 1.通过例题学习与教师规范板演，帮助学生巩固根据实际问题列出二次函数解析式的方法，掌握建模步骤。2.通过变式训练体现知识延伸，引导学生同时关注指数与系数的要求，学会用分类讨论思想分析含参数的函数问题，提升思维的严谨性与灵活性。 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.二次函数y＝3x－x2的二次项系数是－，一次项系数是3． 2．(1)在函数y＝中，自变量x的取值范围是__x≠2__； (2)函数y＝的自变量x的取值范围为__x≥2__． 3．若函数y＝(a－2)xa²-2＋a是二次函数． (1)求a的值． (2)求函数解析式． (3)当x＝－2时，y的值是多少？ 解：(1)由题意，得解得a＝－2. (2)当a＝－2时，函数解析式为y＝(－2－2)x2－2＝－4x2－2. (3)将x＝－2代入函数解析式中，得y＝－4×(－2)2－2＝－18. 4．有一块矩形草地，长为8 m，宽为6 m．若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若要使草地的面积增加32 m2，则长和宽都增加多少米？ 解：(1)y＝(8＋x)(6＋x)－8×6，即y＝x2＋14x. (2)当y＝32时，x2＋14x＝32， 解得x1＝2，x2＝－16(舍去)． 答：长和宽都增加2 m. 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 从简单的应用问题入手，从判断函数类型、确定各项系数等多个角度设计练习，及时巩固二次函数概念这一新知，帮助学生在应用中加深对定义本质的理解，达到学有所成的目的， 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 教师进行总结：①二次函数的定义及各部分名称；②根据实际问题列二次函数解析式及求函数值． 2．布置作业： 教材第31页练习第1，2，3题，教材第32页习题26.1第1，2，3，4题. 引导学生自主归纳本节课学习的主要内容，让学生在梳理知识的过程中理清思路、形成体系， 教学反思 以面积、利润等实际问题为载体，学生经历了"从具体情境中抽象出函数关系式"的过程，再类比一次函数的定义方式，归纳出二次函数"形如 y＝ax2＋bx＋c（a、b、c 是常数，a≠0）"的结构特征。从练习看，多数学生能识别二次函数、说出各项系数，也能把函数与实际问题联系起来。 但是建模环节的变量选择：情境稍复杂，就有学生设不对自变量，或列式时漏掉某个数量关系，没有内化成学生的自觉步骤。二是含参数的判断问题：a≠0 这一条件被频繁遗漏。  后续可以考虑把"找变量、定关系、列表达式"固定为建模题的必写步骤，用书写规范逼出思维规范；二是用"a＝0 时函数退化"的正反对比做专项辨析，让学生从"记住 a≠0"走向"理解 a≠0"； 回顾反思本节教学，进一步提升效果． 学科网（北京）股份有限公司 $