26.1 二次函数的概念 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级数学上册“26.1二次函数的概念”同步练习，通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，实现从概念识别到模型构建的知识进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、系数识别、简单函数类型判断|以单选（1-4）、解答12为主，直接考查概念辨析，强化符号意识| |发展层|列二次函数关系式、实际情境应用|结合商品利润（5）、矩形折叠（7）等情境，填空题9通过图形规律培养几何直观，体现模型意识| |综合层|跨知识点应用、探究性问题|填空11融合分式方程与二次函数顶点，解答13-14结合几何动点与函数关系，发展推理能力与创新意识|

26.1 二次函数的概念 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 3．下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 6．下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（   ） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．某商品在6月的售价为元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系 C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系 D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系 7．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知是关于的函数，且当时，随的增大而减小，则这个函数的解析式可以是______． 9．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是________，它是________函数． 10．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是______． 11．从 ，，，，0，1，2，3这八个数中，随机抽取一个数记为，若数使关于的分式方程 有整数解，又使抛物线的顶点在第四象限，那么这八个数中满足条件的的值是___________． 三、解答题 12．下列函数中，哪些是二次函数？并分别指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． 13．如图，在等腰中，，点D为延长线上一点，且．现有一动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点D作，交的延长线于点E，连接．设运动时间为t（s）．（） (1)试猜想与的位置关系，并证明． (2)当t为何值时，？ (3)直接写出四边形的面积与之间的函数关系式． (4)取中点M，连接并延长，交于点N，随着时间t的变化，N点位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． (1)线段与有什么数量关系？ ． ①当点M坐标时，点P的坐标是 ； ②当点M坐标时，点P的坐标是 ． (2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． ． (3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？ 15．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C A D A B C 1．【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 2．【答案】C 【知识点】列一次函数解析式并求值、列二次函数关系式 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（、、为常数，）的整式函数为二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．将展开得，符合二次函数定义，是二次函数； B．当时，是一次函数，故该函数不一定是二次函数； C．是一次函数，不符合二次函数定义 D．中含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选A． 4．【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 5．【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据题意分别列出各项中的y与x之间的关系，进行判断即可； 【详解】解：A、正方体的体积y与棱长x之间的关系为： ，与不是二次函数关系，不符合题意； B、该商品8月的售价y与x之间的关系为： ，与是二次函数关系；符合题意； C、距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间成反比例关系，不符合题意； D、等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间成一次函数关系，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的表达形式；熟练根据题意列出相对应的函数表达式是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 8．【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】此题考查了二次函数的图像和性质．根据函数的增减性写出答案即可． 【详解】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴这个函数的解析式可以是， 故答案为： 9．【答案】 二次 【知识点】图形类规律探索、二次函数的识别 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 10．【答案】/4.5/ 【知识点】列二次函数关系式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q．证明，得出 ，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出 y的最大与最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q． 在和中， ， ， 设，则，设， ， ， 时，y有最大值4，此时 ． , y有最小值0，此时点B与点P重合， 综上所述，点B的运动路径的长为． 故答案为：． 11．【答案】或1 【知识点】根据分式方程解的情况求值、根据二次函数的定义求参数、解分式方程（化为一元一次） 【分析】通过解分式方程可得出，由x为整数且，可得出或或1，再根据函数的顶点在第四象限，可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，进而可确定a的值，即可得出结论． 【详解】解：解分式方程 ， 去分母，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得， 为整数且， 或或1 又抛物线的顶点在第四象限， 解得， 故这八个数中满足条件的的值是或1， 故答案为：或1 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及分式方程的解，通过解分式方程及抛物线的顶点在第四象限确定a值是解题的关键． 12．【答案】(1)是二次函数，二次项系数是3，一次项系数是，常数项4 (2)不是二次函数 (3)是二次函数，二次项系数是，一次项系数是0，常数项3 (4)不是二次函数 (5)是二次函数，二次项系数是，一次项系数是0，常数项0 【知识点】根据二次函数的定义求参数、二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义，二次函数的一般形式，是解题的关键．二次函数的定义：形如（a、b、c常数，）的函数，称为二次函数． （1）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，是二次函数，写出各项系数； （2）根据二次函数的定义判定，不是二次函数； （3）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，是二次函数，写出各项系数； （4）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，不是二次函数； （5）根据二次函数的定义判定，是二次函数，写出各项系数． 【详解】（1）解：， 是二次函数， 二次项系数是3，一次项系数是，常数项4． （2）解：， 不是二次函数； （3）解：， 是二次函数， 二次项系数是，一次项系数是0，常数项3． （4）解：， 不是二次函数； （5）解：， 是二次函数， 二次项系数是，一次项系数是0，常数项0． 13．【答案】(1) ，理由如下： 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ； (2)当t值为1时， (3) (4) N点位置不发生变化，，理由如下： 如下图： ， ， 是中点， ， ， ， 随着时间t的变化，N点位置不发生变化，． 【知识点】列二次函数关系式、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、平行四边形性质和判定的应用 【分析】（1）证明，得出即可证明结论； （2）先求出，证明四边形是平行四边形，得出，进而列方程求出结论； （3）根据即可求出； （4）证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得：， 当t值为1时，； （3）解：，，， ； （4）略 【点睛】本题考查的是相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，求函数解析式等知识，熟练掌握这些知识是解题关键． 14．【答案】(1)；①② (2)见解析，抛物线 (3)x，y满足的关系式为：，我得出的结论与先前我的猜想一样，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、列二次函数关系式、二次函数的识别、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案； ①根据题意画出对应的图形即可得到答案； ②根据题意画出对应的图形即可得到答案； （2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案； （3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到进而推出，由此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，点P在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：； ①如图1所示，当点M坐标时，点P的坐标是； 故答案为：； ②如图2所示，当点M坐标时，设点P的坐标是， ∴， ∴， 即点P的坐标是， 故答案为：； （2）解：观察画出的曲线L，可知曲线L是抛物线，如图3， 故答案为：抛物线； （3）解：我得出的结论与先前我的猜想一样，理由如下： ∵点P的坐标是，轴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴得出的结论与猜想一致． 15．【答案】(1) (2) 【知识点】列二次函数关系式、正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 学科网（北京）股份有限公司 $