26.1 二次函数的概念 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练通过三级难度分层设计，聚焦二次函数概念的基础巩固与递进应用，培养抽象能力、运算能力和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|二次函数定义、系数识别、简单性质|以选择填空为主，如判断二次函数（第1题）、确定二次项系数（第2题），强化符号意识| |★★☆|表达式转化、待定系数法、函数值计算|包含解答题，如判断函数类型（第13题）、求表达式（第17题），发展运算能力与推理意识| |★★★|综合应用、新定义问题|结合实际情境（第21题销售利润）和创新概念（第22题“莫奈特性”），提升模型观念与创新意识|

第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 难度：★☆☆ 1.下列关于 x 的各式中，是二次函数的是( ) A. y = 3x - 5 B. y = x² + 1 C. y = x³ - x D. y = 1+x 2.函数 y = -2x² + 3x - 5 的二次项系数是( ) A. -2 B. 2 C. -5 D. 3 3.一般式 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)中，a + b + c 表示( ) A. 二次项系数与一次项系数的和 B. 一次项系数与常数项的和 C. 二次项系数与常数项的和 D. 三个系数 a、b、c 的代数和 4.二次函数 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)的图像对称于 y 轴，则( ) A. b = 0 B. c = 0 C. a = 0 D. 无法确定 5.若函数 y = (m-3)x² + 2x - 1 是二次函数，则 m 的取值范围是( ) A. m > 3 B. m ≠ 3 C. m < 3 D. m ≥ 3 6.用一根长为24 m的铁丝围成一个矩形，则矩形的面积y（m²）与它的一边长x（m）之间的函数关系式为（ ） A．y＝x(12－x) B．y＝x(24－x) C．y＝12x D．y＝24x 7.下列函数中，二次项系数为正数的有( ) ① y = 2x² ② y = -x² + 3x ③ y = (x+1)(x-1) ④ y = x² - 2x + 1 ⑤ y = 3x² - 1 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 8.函数 y = x² - 4x + 3，当自变量取 x = 2 时，函数值为( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. -3 9.若二次函数 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)的图像经过点 (0，-1) 和 (1，2)，则一定有( ) A. c = -1 且 a + b + c = 2 B. c = -1 且 a + b = 3 C. c = 0 且 a + b = 2 D. 以上均不正确 10.下列说法正确的是( ) A. 若函数 y=ax2+bx+c是二次函数，则a>0 B. y=2x2+是二次函数 C. 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)中，自变量最高次数为 2 D.y=3x+1是二次函数 11.下列各式中，是二次函数的有( ) ① y = 3x² - 2x + 1 ② y = (x-2)² ③ y = 2x² - x² ④ y = x² + |x| A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 12.若函数 y = mx² + (m+1)x - 3(m 为常数)是二次函数，则 m 的取值不能为( ) A. -1 B. 0 C. -1 或 0 D. 无法判断 难度：★★☆ 13.判断下列各式是否为二次函数，并说明理由： (1)y = 5x² - 3x + 1 (2)y = -x² + 4 (3)y = (x+2)(x-3) - x² (4)y = ax² + bx + c(a、b、c 均为常数，a ≠ 0) 14.二次函数y＝2x－4x²＋7的二次项系数、一次项系数、常数项分别是________。 15.若函数 y = (k-2)x² + 3x - 5 是二次函数，则 k 的取值范围是 ；若不是二次函数，则 k 的值可能为 。 16.小明写出了一个二次函数 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 满足 a + b + c = 0，a - b + c = 6，a = 1。则这个函数的表达式为 。 17.用待定系数法求二次函数的表达式： (1)已知函数过点 (0，-1) ， (1，2)和 (-1，0)，求这个二次函数的表达式。 (2)已知函数的图像对称于 y 轴，且过点 (1，3)， (0，0)求这个二次函数的表达式。 18.若二次函数 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)满足 4a + 2b + c = 0，则其图像必定经过点( ) A. (2，0) B. (-2，0) C. (0，2) D. (0，-2) 19.小明将下列各式的 x 取 0 时代入，得到函数值： ① y = (m²+1)x² + 3x - 1(m为常数) ② y = (x+1)² - x² ③ y = x² + 2x ④ y = 3x² - 2x² + x 其中，结果相同的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 20.已知二次函数 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)当 x = -1 时，y = 2；当 x = 0 时，y = -1；当 x = 2 时，y = -5。则 x = 1 时，y = 。 难度：★★★ 21.某型号手机每日的销售利润 y(元)与定价 x(元/部)满足关系 y = -x² + 120x - 2000(x > 0)。 (1)化为一般式 y = ax² + bx + c，写出 a、b、c 的值； (2)若二次函数 y = x² + mx + n 的图像过点 (1，0) 和 (-1，0)，求 m、n 的值。 22.阅读材料： "莫奈特性"：若二次函数 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)满足 a = b，则称这个函数具有“莫奈特性”。 (1)判断函数 y = x² + x + 1 是否具有“莫奈特性”，并说明理由； (2)若函数 y = (m+1)x² + (2m-3)x + 1 具有“莫奈特性”，求 m 的值； 23.小亮发现：若二次函数 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)的图像过点 (1，0)，则有 a + b + c = 0；若再过点 (-1，0)，则还有 a - b + c = 0。 (1)请验证以上结论，并说明理由(用函数值的概念进行推导)； (2)若 a = 2，且 a + b + c = 0，a - b + c = 0，求这个二次函数的表达式； (3)若二次函数 y = x² + mx + n 的图像过点 (1，0) 和 (-1，0)，求 m、n 的值。 参考答案 1. B 2. A 3. D 4. A 5. B 6. A 7. C 8. B 9. A 10. C 11. C 12. B 13. (1)是，因二次项系数为 5(≠0)，满足定义。 (2)是，因二次项系数为 -1(≠0)。 (3)不是，因 y = (x+2)(x-3) - x² = x² - x - 6 - x² = -x - 6，是一次函数。 (4)是，因 a、b、c 均为常数且 a ≠ 0。 14. 二次项系数：－4；一次项系数：2；常数项：7。 15. k ≠ 2；k = 2 16. y = x² - 3x + 2 17. (1)设 y = ax² + bx + c，代入 得,该函数解析式为y=2x2+x-1 (2)b=0代入两点得a=3，c=0，∴y=3x2 18. A(将 x = 2 代入 y = ax² + bx + c 得 y = 4a + 2b + c = 0，即过 (2，0)) 19. B(2个：③和④) 20. - (a=,b=- ,c=-1) 21. (1)a = -1，b = 120，c = -2000。 (2)m = 0，n = -1 22. (1)具有，y = x² + x + 1 中 a = 1，b = 1，a ＝b，故具备“莫奈特性”。 (2)由 a = b 得 m+1 = 2m-3，解得 m = 4。 23. (1)将 x = 1 代入得 a + b + c = y = 0，故过 (1，0)；同理 x = -1 得 a - b + c = 0，过 (-1,0)。 (2)由 a=2，a+b+c=0，a-b+c=0 解得 b=0，c=-2，故 y = 2x² - 2。 (3)代入两点得 m=0，n=-1。 学科网（北京）股份有限公司 $