直线和圆的方程全章综合检测-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学直线与圆的方程单元复习卷，覆盖直线倾斜角、圆的方程等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，培养运算能力、推理意识及模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|直线倾斜角、直线与线段相交、圆的标准方程|基础巩固，如直线方向向量求倾斜角（题1）| |多项选择题|3/18|圆的距离问题、直线方程、圆的位置关系|辨析性强，如圆与直线距离及参数范围（题9）| |填空题|3/15|直线过定点、圆上点的最值、弦长问题|聚焦关键技能，如含参直线过定点（题12）| |解答题|5/77|直线斜率、三角形面积、圆的切线与轨迹方程|综合应用，如结合基本不等式求面积最值（题15）、轨迹方程探究（题19）|

直线和圆的方程全章综合检测 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.若直线l的一个方向向量（1，），则l的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 解：由直线l的方向向量可知直线的斜率k，设直线的倾斜角为α，0°≤α＜180°，即tanα，所以α＝120°．故选：C． 2.已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y＝k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取 值范围是（　　） A．[，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D．[﹣2，] 解：∵直线l：y＝k（x﹣2）+1过点P（2，1）， 连接P与线段AB上的点A（1，3）时直线l的斜率最小，为， 连接P与线段AB上的点B（﹣2，﹣1）时直线l的斜率最大，为． ∴k的取值范围是．故选：D． 3.“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y+7＝0平行”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 解：当a＝3时，两直线分别为：3x+2y+9＝0，3x+2y+7＝0， ∴两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则 ∴a＝3或a＝﹣2，综上所述，a＝3是两直线平行的充分不必要条件．故选：A． 4.在平面直角坐标系xOy中，已知P（﹣2，4）、Q（2，6）两点，若圆M以PQ为直径， 则圆M的标准方程为（　　） A．x2+（y+5）2＝5 B．x2+（y﹣5）2＝5 C．x2+（y+5）2＝25 D．x2+（y﹣5）2＝25 解：因为圆M以P1P2为直径，所以圆心M的坐标为（0，5）， 半径为，∴圆M的标准方程为x2+（y﹣5）2＝5． 故选：B． 5.已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，则过点P（3，0）的圆C的切线方程是（　　） A． B．y＝±2（x﹣3） C． D． 解：圆C：x2+y2﹣2x＝0可化为（x﹣1）2+y2＝1，当直线的斜率不存在时，x＝3与圆C显然不相切，故可设切线方程为y﹣0＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k＝0，则1， 解得k，故切线方程为y（x﹣3）．故选：C． 6.已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最 小值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．9 解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0，且l1⊥l2， ∴（a﹣1）+2b＝0，即a+2b＝1≥2∴ab，8，当且仅当a＝2b时，等号成立．则的最小值为8，故选：C． 7.已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值 为（　　） A．5 B． C．5 D． 解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上， ∴点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧， 设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b）， 则，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2）， ∴|PA|+|PB|的最小值为：|BC|2． 故选：D． 8.已知直线l1：mx+y+4＝0与直线l2：x﹣my﹣6﹣4m＝0交于点P（x0，y0），则的最 大值为（　　） A．4 B．8 C．32 D．64 解：由题知：直线l1：mx+y+4＝0恒过定点B（0，﹣4）， 直线l2：x﹣my﹣6﹣4m＝0化简为：x﹣m（y+4）﹣6＝0， 当y＝﹣4时，x＝6，直线恒过点A（6，﹣4）． 当m＝0时，直线l2的斜率不存在，直线l1的斜率k1＝0，则l1⊥l2． 当m≠0时，k1＝﹣m，，k1•k2＝﹣1，则l1⊥l2． 综上：直线l1恒过定点B（0，﹣4），直线l2恒过定点A（6，﹣4），且l1⊥l2． 因为直线l1与直线l2交于点P（x0，y0）， 所以点P在以AB为直径的圆上，线段AB的中点坐标为C（3，﹣4）， 且|AB|＝6，则其轨迹方程为（x﹣3）2+（y+4）2＝9（除点（0，﹣4）外），圆的半径r＝3， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则dmax＝r+|OC|＝8，所以的最大值为64．故选：D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）已知圆x2+y2﹣2x﹣6y+a＝0上至多有一点到直线3x+4y+5＝0的距离为2，则实 数a可能的取值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．10 解：由x2+y2﹣2x﹣6y+a＝0，得（x﹣1）2+（y﹣3）2＝10﹣a，则10﹣a＞0，得a＜10． ∵圆心（1，3）到直线3x+4y+5＝0的距离d4， ∴要使圆x2+y2﹣2x﹣6y+a＝0上至多有一点到直线3x+4y+5＝0的距离为2， 则42，即a≥6．∴a的取值范围为[6，10）． 结合选项可知，实数a的值可以是7，6．故选：BC． 10.（多选）已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(　　) A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0 C．3x－2y＋18＝0 D．2x＋3y－18＝0 解：依题意，设直线l：y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0， 则有，因此－5k＋2＝k＋6或－5k＋2＝－(k＋6)， 解得k＝或k＝2，故直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.故选：AB。 11.（多选）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3） B．圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线4x﹣3y+3＝0的距离为2 C．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线 D．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为：x+2y+6＝0 解：直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）即mx+4（y﹣3）＝0对m∈R恒成立，所以直线恒过定点（0，3），所以A正确； 圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心（1，4）到直线4x﹣3y+3＝0的距离为d1≠2，所以B不正确； 圆C1：x2+y2+2x＝0的圆心（﹣1，0）半径为1，圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0的圆心（2，4），半径为4， 两个圆的圆心距为：d5＝1+4，所以两个圆外切，所以了两个圆有恰有三条公切线，所以C正确； 两圆x2+y2+4x﹣4y＝0的圆心（﹣2，2），半径为：2， x2+y2+2x﹣12＝0的圆心（﹣1，0），半径为：，圆心距为：，半径和为：2，半径差为：，所以两个圆相交，两个圆的方程作差，可得公共弦所在的直线方程为：x﹣2y+6＝0，所以D不正确；故选：AC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.对任意的实数λ，直线（2+λ）x﹣（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0所过的定点为　　 ． 解：直线（2+λ）x﹣（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0可变形为2x﹣y﹣6+λ（x﹣y﹣4）＝0， 由，解得， 因为对∀λ∈R，点（2，﹣2）都满足方程（2+λ）x+（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0， 所以直线（2+λ）x﹣（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0经过的定点的坐标为（2，﹣2）． 故答案为：（2，﹣2）． 13.已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣2x+4y+4＝0上运动，则的最小值是　 　． 解：由x2+y2﹣2x+4y+4＝0得（x﹣1）2+（y+2）2＝1，表示以（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆．令，则x﹣my＝0表示直线，从而圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得3m2+4m≤0，解得，即的最小值为．故答案为：． 14.当直线l：mx+y﹣m﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣4x＝0截得的弦长最短时，实数m＝　 　． 解：将直线l：mx+y﹣m﹣1＝0，化为m（x﹣1）+y﹣1＝0， 令，解得，所以直线l过定点P（1，1）， 又圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4，则圆心为C（2，0）， 由（1﹣2）2+12＝2＜4，则点P在圆C内， 故当PC⊥l时，圆心C到直线l的距离取得最大值，此时直线l被圆C截得的弦长最短， 则，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）已知直线l：． （1）若直线l的斜率小于2，求实数m的取值范围； （2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积最大值及此时l的方程． 解：（1）∵直线l过点（m，0）和（0，4﹣m），（m≠0且m≠4）， ∴斜率， 即，等同于m•（m+4）＞0且m≠0且m≠4， 解得m＞0且m≠4或m＜﹣4， ∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，4）∪（4，+∞）； （2）由题意可知m＞0且4﹣m＞0，解得0＜m＜4， 则△AOB的面积， ∴当m＝2时，△AOB面积取最大值2，此时直线l的方程为x+y﹣2＝0． 16.（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2）， B（4，3），C（2，1）． （1）求经过点A且与直线BC平行的直线方程； （2）在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程． 解：（1）由△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（4，3），C（2，1）， 可得直线BC的斜率，所以过点A且与直线BC平行的直线方程为y﹣2＝（x+3），即x﹣y+5＝0． （2）由直线BC的斜率kBC＝1，可得BC边上的高线斜率k＝﹣1， 所以BC边上的高线方程为y﹣2＝﹣（x+3）， 即BC边上的高线所在的直线方程为x+y+1＝0． 17.（15分）已知圆C：x2+（y+1）2＝4． （1）求过点A（3，﹣3）且与圆C相切的直线方程； （2）求圆心在直线2x﹣y＝0上，并且经过圆C与圆Q：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的交点的圆的方程． 解：（1）已知圆C：x2+（y+1）2＝4，则圆心C（0，﹣1），半径为2， 当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为y+3＝k（x﹣3）， 即kx﹣y﹣3k﹣3＝0，∵圆心C（0，﹣1）到切线的距离等于半径2， ∴，解得k＝0或， 因此，所求切线方程为y+3＝0或12x+5y﹣21＝0， 当直线无斜率时，则x＝3，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故过点A（3，﹣3）且与圆C相切的直线方程为y+3＝0或12x+5y﹣21＝0； （2）法一：联立，解得或， ∴圆C与圆Q的交点为A（0，1），B（2，﹣1）， 线段AB的垂直平分线为x﹣y﹣1＝0，设所求圆的圆心为M（a，b），半径为r， 由，解得， 所以圆心为， 因此，所求圆的方程为（x+1）2+（y+2）2＝10； 法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：x2+（y+1）2﹣4+λ（（x﹣2）2+（y﹣1）2﹣4）＝0（λ≠﹣1），即x2+y2+2y﹣3+λ（x2+y2﹣4x﹣2y+1）＝0， 即（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣4λx+（2﹣2λ）y+λ﹣3＝0， 圆心代入直线2x﹣y＝0，得， 因此，所求圆的方程为x2+y2+2x+4y﹣5＝0． 18.（17分）如果实数满足方程，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最大值与最小值； （3）的最大值与最小值． 解：记圆，设，则点的轨迹就是已知圆. （1）的几何意义是直线(是原点)的斜率．设，则直线的方程为. 当直线与圆相切时，斜率取得最值．因为圆心到直线的距离， 所以当，即时，直线与圆相切，所以的最大值与最小值分别是. （2）设，则.当直线与圆相切时，截距取得最值． 因为圆心到直线的距离， 所以当，即时，直线与圆相切， 所以的最大值与最小值分别是. （3）代数式的几何意义是圆上的点到定点的距离． 因为圆心与定点间的距离是，圆的半径是， 所以定点在圆外，所以的最大值是，最小值是。 19.（17分）如图，已知直角坐标平面上点和圆，动点到圆的切线长与的比值等于常数。求动点的轨迹方程，说明它表示什么曲线。 解：如图，连接，设与圆相切于点，则动点组成的集合是。 因为圆的半径，所以。 设点的坐标为，则。 整理得。 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合。故这个方程即所求的轨迹方程。 当时，轨迹方程为，它表示一条直线，该直线与轴垂直且交轴于点； 当时，轨迹方程为，它表示圆，该圆的圆心坐标为，半径为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线和圆的方程全章综合检测 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.若直线l的一个方向向量（1，），则l的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 2.已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y＝k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取 值范围是（　　） A．[，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D．[﹣2，] 3.“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y+7＝0平行”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4.在平面直角坐标系xOy中，已知P（﹣2，4）、Q（2，6）两点，若圆M以PQ为直径， 则圆M的标准方程为（　　） A．x2+（y+5）2＝5 B．x2+（y﹣5）2＝5 C．x2+（y+5）2＝25 D．x2+（y﹣5）2＝25 5.已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，则过点P（3，0）的圆C的切线方程是（　　） A． B．y＝±2（x﹣3） C． D． 6.已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最 小值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．9 7.已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值 为（　　） A．5 B． C．5 D． 8.已知直线l1：mx+y+4＝0与直线l2：x﹣my﹣6﹣4m＝0交于点P（x0，y0），则的最 大值为（　　） A．4 B．8 C．32 D．64 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）已知圆x2+y2﹣2x﹣6y+a＝0上至多有一点到直线3x+4y+5＝0的距离为2，则实 数a可能的取值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．10 10.（多选）已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(　　) A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0 C．3x－2y＋18＝0 D．2x＋3y－18＝0 11.（多选）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3） B．圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线4x﹣3y+3＝0的距离为2 C．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线 D．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为：x+2y+6＝0 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.对任意的实数λ，直线（2+λ）x﹣（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0所过的定点为　　 ． 13.已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣2x+4y+4＝0上运动，则的最小值是　 　． 14.当直线l：mx+y﹣m﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣4x＝0截得的弦长最短时，实数m＝　 　． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）已知直线l：． （1）若直线l的斜率小于2，求实数m的取值范围； （2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积最大值及此时l的方程． 16.（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2）， B（4，3），C（2，1）． （1）求经过点A且与直线BC平行的直线方程； （2）在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程． 17.（15分）已知圆C：x2+（y+1）2＝4． （1）求过点A（3，﹣3）且与圆C相切的直线方程； （2）求圆心在直线2x﹣y＝0上，并且经过圆C与圆Q：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的交点的圆的方程． 18.（17分）如果实数满足方程，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最大值与最小值； （3）的最大值与最小值． 19.（17分）如图，已知直角坐标平面上点和圆，动点到圆的切线长与的比值等于常数。求动点的轨迹方程，说明它表示什么曲线。 1 学科网（北京）股份有限公司 $